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Analyse des corrélations

5 La corrélation est-elle significativement non nulle à 5 ? (REF 1 pages 18 et 19) (t-calculé = 19 26) Remarque : vous avez deux pistes possibles pour la règle de décision comparer la statistique de test avec le quantile de la loi de Student (LOI STUDENT INVERSE N) (REF 2 page 12)



Cours 12 : Corrélation et régression

R R – Université Lyon 2 2 Objectif de l’étude L’exemple des races canines Traitements réalisés • Réaliser une AFCM (ACM) sur un fichier de données • Afficher les valeurs propres Construire le graphiques éboulis des valeurs propres •



Introduction à l’Analyse en Composantes Principales (ACP)

de corrélation linéaire des variables prises deux à deux C’est une succession d’analyses bivariées constituant un premier pas vers l’analyse multivariée Coefficients de corrélation MATH PHYS FRAN ANGL MATH 1 00 0 98 0 23 0 51 PHYS 0 98 1 00 0 40 0 65 FRAN 0 23 0 40 1 00 0 95 ANGL 0 51 0 65 0 95 1 00



Chapitre III : Analyse bivariée et corrélation Modèle et

4) Test du coefficient de corrélation : On pose 2 hypothèses : Ho : = 0 : pas de relation H1 : : relation entre X et Y On fait un test de student : Rem : on ne peut faire ce test que si la distribution des points sur le graphique forme une ellipse Si on reprend notre exemple des ARNm et des protéines on a :



Cours 12 : Corrélation et régression - University of Ottawa

souvent appelé le coefficient de corrélation de Pearson du nom de son inventeur pour le distinguer d’autres indices de corrélations (tel le coefficient de Spearman) 3 1 Calcule du r Pour calculer le coefficient de corrélation il faut premièrement pouvoir calculer la covariance entre deux échantillons



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Analyse de corrélation Nous allons à présent nous intéresser à l’analyse de la relation entre deux variables mesurées sur les individus d’une même population Certains cas par-ticuliers de relations ont déjà été abordés au chapitre 5 Par exemple lorsque nous avons comparé la croissance des Onobrychiscultivés à deux niveaux

Qu'est-ce que la corrélation?

  • La corrélation est une statistique qui caractérise l’existence ou l’absence d’une relation entre deux échantillons de valeurs prise sur un même groupe de sujets. Le coefficient de corrélation permet de quantifier cette relation 1- par le signe de la corrélation (positive et négative), et par la force de cette corrélation.

Quel est le lien entre corrélation partielle et régression?

  • 2.6.1 Lien entre corrélation partielle et régression Ces deux notions sont extrêmement liées: i. Le coefficient d'une variable dans une régression multiple peut s'obtenir de la matrice de covariance partielle (cf. cas de deux variables). ii.

Quel est le coefficient de corrélation entre deux échantillons?

  • Nous noterons rXY le coefficient de corrélation entre deux échantillons X et Y. Il est aussi souvent appelé le coefficient de corrélation de Pearson, du nom de son inventeur, pour le distinguer d’autres indices de corrélations (tel le coefficient de Spearman).

Comment définir le coefficient de corrélation simple?

  • On définit le coefficient de corrélation simple par: xy xy xy ? ? ?? 2.1 où ?xest l'écart-type de la variable X et ?xyest la covariance entre les variables X et Y On se rappellera que:
?? ?????? ??X? x {(xi,yi),i= 1,...,n}? n n i=1xi 1 n n i=1(xi-¯x)2

COV(X,Y) =E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}?????

COV(X,Y) =E[XY]-E[X]E[Y]?????

COV(X,X) =E{[X-E(X)][X-E(X)]}

=E{[X-E(X)]2} =V(X) >0

E[X] +E[Y]?

COV(X,Y)

X,Yindependants⇒COV(X,Y) = 0

??????E[X×Y] =E[X]×E[Y]??

Sxy=∑

n i=1(xi-¯x)(yi-¯y) n n

COV(X,Y)?

COV(X,Y) =∑

n i=1(xi-¯x)(yi-¯y) n-1=∑ n i=1xiyi-n¯x¯y n-1????? r xy=COV(X,Y)

V(X)×V(Y)

COV(X,Y)

x×σy ???????X??Y? V(X x+Y y)0)r 1 V(X xY y)0)r+1

ˆr=∑

n i=1(xi-¯x)(yi-¯y) n n i=1(yi-¯y)2?????

ˆr=∑xiyi-n¯x¯y

y2i-n¯y2????? crx??????cry? ??? ??????? ??X??????Y? cr xi=xi-¯x s x

ˆr=1

n n i=1cr xi×cryi??????

E[ˆr] =r-r(1-r2)

2n 1-n-1 n-2(1-ˆr2)??????

102138444??197200?

543169.291?

H

0:r= 0

H

1:r̸= 0

t=ˆr 1^r2 n2??????

R.C.:|t|> t1

2 (n-2) ??t1 2 2

10:94752

282= 15.1171

p

ˆz=1

2 ln1 + ˆr

1-ˆr??????

2 ln1+r 1r+r

2(n1)? ?? ? ? ??

E[ˆz]≈1

2 ln1 +r 1-r

V[ˆz]≈1

n-3

ˆr=e2^z-1

e

2^z+ 1??????

z

1,2= ˆz±u1

2 1 n-3?????? 2 ln1+0.9475

10.9475= 1.8072

1

283= 0.2

r

1=e21.4152-1

e

21.4152+ 1= 0.8886

r

2=e22.1992-1

e

22.1992+ 1= 0.9757

[0.8886; 0.9757] 2 ln1+r0 H

0:z=z0

U=ˆz-z0

1 n-3?????? ?? ??????5% H

0:r= 0.9

H

1:r >0.9

2 ln1+0.9

10.9= 1.4722

28-3 = 1.6750

??????? ???????u0.95= 1.6449 H

0:r1=r2

H

1:r1̸=r2

D= ˆz1-ˆz2??????

E[D] = 0

V[D] =1

n 1-3+1 n 2-3

R.C.:U=|ˆz1-ˆz2|

1 n 13+1 n

23≥u1

2 153+1

203= 0.1422

p

0.1422=0.3652

0.3770= 0.2771

H

0:r1=r2=···=rK

2=K∑

k=1(nk-3)ˆz2k-[∑K k=1(nk-3)ˆzk]2 K k=1(nk-3)?????? ?????? ??ˆrk???????ˆzk=1 2 ln1+^rk 1^rk? ???? ??????? ?????A=∑ k(nk-3)ˆzk= 3178.7259?B=∑ k(nk-3) = 28?C=∑ k(nk-3)ˆz2k=

113.6718?

B = 0.1459? A= [(15-3)×0.6417 + (20-3)×0.5372]2= 283.3678

B= (15-3) + (20-3) = 29

C= (15-3)×0.64172+ (20-3)×0.53722= 9.8481

B H

0:ryx=ryz

(n-1)(1 + ˆrxz) 2 n1 n3|R|+ ¯r2(1-ˆrxz)3?????? ??¯r= (ˆryx+ ˆryz)/2?|R|= 1-ˆr2yx-ˆr2yz-ˆr2xz+ 2ˆryxˆryzˆrxz ????? ??????? ???n= 28?

B= (n-1)(1 + ˆrxz= 52.5838

|R|= 1-ˆr2yx-ˆr2yz-ˆr2xz+ 2ˆryxˆryzˆrxz= 0.0191

¯r= (ˆryx+ ˆryz)/2 = 0.8898

C= (1-ˆrxz)3= 0.0001

B 2 27
25

0.0191+0.88980.0001= 0.1448

H

0:rxy=rzw

H

1:rxy̸=rzw

n-3

2-2¯s??????

ˆz=1

2 ln1+^r

¯s=ψ

(1r2)2?

¯r=^r12+^r34

2

ψ= 0.5{[(ˆr13-ˆr23¯r)(ˆr24-ˆr23¯r)] + [(ˆr14-ˆr13¯r)(ˆr23-ˆr13¯r)] + [(ˆr13-ˆr14¯r)(ˆr24-ˆr14¯r)] + [(ˆr14-

ˆr24¯r)(ˆr23-ˆr24¯r)]}

ˆr12= 0.3??ˆr34= 0.4?

r pb=¯y1-¯y0 s n 1n0 n(n-1)????? ???????s2n1=1 n1∑ n i=1(yi-¯y)2? t r=rpb 1r2pb n

1+n02?????

?????tc???? ??? ??? ?? ??????? ? ?(n1+n0-2)?????? ?? ??????? t c=y1-y0 s s

2=(n11)s2

1+(n01)s2

0 n

1+n02(1

n 1+1 n 0)? ????s2j=1 n j1∑ nj ?s1= 0.071?s0= 0.061??

20+152(1

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