[PDF] Compléments sur les nombres complexes - Lycée dAdultes





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T.D. 5 : Développement - Linéarisation CORRECTION

2. (x) sin. 2. (x) + sin. 4. (x) ii) sin(5x) = 5 cos. 4. (x) sin(x) – 10 cos. 2. (x) sin. 3. (x) + sin. 5. (x) iii) cos(5x) = cos. 5. (x) – 10 cos. 3. (x) sin.



Cours de Mathématiques L1 Semestre 1

22 nov. 2016 de sin. Plan : la formule du binôme linéariser un polynôme trigonométrique



Linéarisation des expressions Trigonométriques

(a + b)5. = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5. Les formules trigonomériques usuelles de − sin(5x) + sin(3x) + 2 sin(x). 16. ♧. ♢. ♡. ♤. LATEX 2ε.



Chapitre 2 : Nombres complexes

5 nov. 2020 Laquelle des propositions suivantes est la linéarisation de cos(x)sin(x) ? 1 cos(x)sin(x). 2 sin(2x). 2. 3 cos(2x). 2i. 4 sin(2x). 2. °. 1. 2. 5.



Nombres complexes

sin(θ)×polynômes de cos(θ)). 46. Page 59. 5. Linéarisation et antilinéarisation c) Antilinéarisation.



Trigonométrie circulaire

linéarise à l'aide de formules de. . . linéarisation. ⋄ Dériver ... pour tout réel x 3 cos(x) + 4 sin(x) = 5(cos(x) cos(θ) + sin(x) sin(θ)) = 5 cos(x − θ).



Révision sur les complexes Attention : pour être homogène avec le

Page 5. II) Formules de Moivre et d'Euler a)Calculer cos(4x) et sin(4x) en fonction de cos(x) et sin(x). )x(sin)x(sin)xcos(j4)x²(sin)x²(cos6)xsin()x(cosj4)x(cos. ) 



Université Blaise Pascal : L1S1 mathématiques

https://www.impan.pl/~cmrozinski/Site/Teaching_files/poly_L1S1_C.pdf



CORRECTION EXERCICES COMPLÉMENTAIRES TD 15 Exercice

Écrivez cos5(x) en fonction de cos(nx) sin(nx)



Trigonométrie circulaire

3.4 Formules de linéarisation . 3.7 Transformation de a cos(x) + b sin(x) . ... 5 . Calculer sin(x) tan(x) et cotan(x). 2) On suppose que x est un réel ...



Cours de Mathématiques L1 Semestre 1

22 nov. 2016 de sin. Plan : la formule du binôme linéariser un polynôme ... cos(x) ou sin(x). ... 5 J'ai ré échi mais je ne sais pas répondre.



T.D. 5 : Développement - Linéarisation CORRECTION

T.D. 5 : Développement - Linéarisation. CORRECTION. 1. Développer les expressions suivantes : i) cos(4x) = cos. 4. (x) – 6cos. 2. (x) sin. 2. (x) + sin.



Binôme de Newton

5. Application aux probabilités. Aimé Lachal. Binôme de Newton combinaison linéaire de cos(kx) et sin(kx) k ? {0



Nombres complexes et trigonométrie Notations algébrique et

3 sin(x). Trigonométrie - Linéarisation - Sommes. Exercice 6 et en déduire la valeur de sin ?. 5 . Exercice 8. Linéariser cos2 x sin4 x et cosxsin4 x.



Chapitre 2 : Nombres complexes

Jeudi 5 Novembre 2020 Linéarisation. À venir. Question 1. 1 ?25. 5 ! < ?25 ... cos(nx) et sin(nx) en fonction de cos(x) et sin(x).



Compléments sur les nombres complexes - Lycée dAdultes

27 févr. 2017 3 Écriture complexe des transformations élémentaires. 5. 3.1 Définition . ... Formule de Moivre : (cos B + i sin B)n = cos(nB) + i sin(nB).



GELE5313 - Chapitre 2

On verra aussi comment linéariser des équations. 5 e?atu(t). 1 s +a. 6 sin(?t)u(t) ... s2 +s +5. = s +1+. 2 s2 +s +5. La transformée inverse est :.



PCSI2 Formulaire de trigonométrie tan(x) = sin(x) cos(x) définie si x

sin(x) définie si x =0 (?) cos2(x) + sin2(x) = 1 1 + tan2(x) = cos (? ? x) = ?cos(x) cos(?2 ? x) = sin(x) ... Formules de linéarisation : sin(a) ...



Trigonométrie

5. cos2 x ? 1. 2. I = [0



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Les formules trigonomériques usuelles de linéarisation cos2(t) = 1 + cos(2t) 2 sin2(t) = 1 ? cos(2t) 2 cos(t) sin(t) = sin(2t)



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22 nov 2016 · la formule du binôme linéariser un polynôme trigonométrique exprimer cos(nx) ou sin(nx) sous forme de polynômes en cos(x) ou sin(x) Page 3 



[PDF] Trigonométrie circulaire

3 4 Formules de linéarisation 5 Calculer sin(x) tan(x) et cotan(x) 2) On suppose que x est un réel élément de [? 3? 2 ] tel que tan(x) =



Linéarisation de sin^5x-complexes binôme euler- prépa MPSI PCSI

14 oct 2021 · Lien https://www dropbox com/s/gkrm5ajlptg5ikj/Livret-complexes dl=0Partie 1 la forme Durée : 6:24Postée : 14 oct 2021



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trigonométrie en puissance - linéarisation - Gerard Villemin

Nombres curiosités théorie et usages: linéarisation des puissances des Exemples pour les puissances de 2 à 5 cos4(x) – sin4(x) = cos (2x) 



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c)Linéariser )x(cos 4 sin(x) III) Racines nèmes d'un nombre complexe Déterminer : Les racines carrées de 1+j Les racines carrées de –5+12j



La linéarisation - Méthode Maths

La linéarisation consiste à transformer une fonction avec des cosinus et des sinus à une certaine puissance (cosn(x) et sinn(x)) en somme de cos(ax) et 

:
DERNIÈRE IMPRESSION LE27 février 2017 à 15:47

Compléments sur les nombres

complexes

Table des matières

1 Trigonométrie2

1.1 Formules de Moivre et d"Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Linéarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Transformation deacosx+bsinx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Racinesn-ième de l"unité4

3 Écriture complexe des transformations élémentaires5

3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Écriture complexe d"une translation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3 Écriture complexe d"une rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.4 Écriture complexe d"une homothétie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR

1. TRIGONOMÉTRIE

1 Trigonométrie

1.1 Formules de Moivre et d"Euler

Théorème 1 :Pour tout réelθet pour tout entier naturelnon a : •Formule de Moivre :(cosθ+isinθ)n=cos(nθ) +isin(nθ) •Formules d"Euler : cosθ=eiθ+e-iθ2et sinθ=eiθ-e-iθ2i

Démonstration :

•La formule de Moivre vient de la propriété de la fonction exponentielle : (cosθ+isinθ)n=?eiθ?n=einθ=cos(nθ) +isin(nθ)

•Les formules d"Euler viennent des relations :

?eiθ=cosθ+isinθ(1) e 2 (1)-(2)sinθ=eiθ-e-iθ 2i

1.2 Linéarisation

Le but de la linéarisation consiste à écrire cos nxou sinnxen une combinaison linéaire de cos(kx)ou sin(kx). La linéarisation permet de trouver une primitive d"une fonction circulaire. On utilise conjointement les formules d"Euler et la formule du binôme : cos nx=?eix+e-ix 2? n et sin nx=?eix-e-ix2i? n Exemple :Linéariser cos3xet sin3xpuis calculer? 2

0sin3xdx.

•cos3x=?eix+e-ix2?

3 =18?e3ix+3e2ixe-ix+3eixe-2ix+e-3ix? 1 8? e3ix+3eix+3e-ix+e-3ix? =14? e3ix+e-3ix2+3×eix+e-ix2? 1

4(cos3x+3cosx)

•sin3x=?eix-e-ix2i?

3 =-18i?e3ix-3e2ixe-ix+3eixe-2ix-e-3ix? =-1 8i? e3ix-3eix+3e-ix-e-3ix? =-14? e3ix-e-3ix2i-3×eix-e-ix2i? =-1

4(sin3x-3sinx) =14(3sinx-sin3x)

PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR

1. TRIGONOMÉTRIE

?π2

0sin3xdx=1

4? 2

0(3sinx-sin3x)dx=1

4? -3cosx+cos3x3? 2 0 1 4? -0+0+3-13? =23

1.3 Transformation deacosx+bsinx

Théorème 2 :Soitaetbdeux réel. On a l"égalité suivante : acosx+bsinx=Re? eix(a-ib)?

Démonstration :Il suffit de développer :

e ix(a-ib) = (cosx+isinx)(a-ib) =acosx+iasinx-ibcosx+bsinx = (acosx+bsinx) +i(asinx-bcosx)

On a donc bien : Re

?eix(a-ib)?=acosx+bsinx Exemple :Résoudre dansRl"équation cosx+⎷

3sinx=1

On détermine la forme exponentielle de 1-i⎷

3=2e-iπ3

On simplifie l"expression avec :eix(1-i⎷

3) =eix×2e-iπ3=2ei(x-π3)

En prenant la partie réelle, l"équation devient : 2cos x-π 3? =1?cos? x-π3? =12?cos? x-π3? =cosπ3

On obtient alors les deux familles de solutions :

?x-π

3=π3[2π]

x-π

3=-π3[2π]????x=2π

3[2π]

x=0[2π] Remarque :Uneautreméthodemoinséléganteconsisteàfactoriserpar⎷ a2+b2 puis à reconnaître une formule d"addition : cosx+⎷

3sinx=?12+ (⎷3)2×?

12cosx+⎷

3 2? =2? cos? 3? cosx-sin? -π3? sinx? =2cos? x-π 3?

PAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR

2. RACINESN-IÈME DE L"UNITÉ

2 Racinesn-ième de l"unité

Théorème 3 :Les racinesn-ième de l"unité (n?2).

•Ce sont les solutions de l"équationzn=1.

•Il y en an:zk=ei2kπnaveck?[[0 ;n-1]]

Leur module vaut 1 et leur argument

2kπ

n.

•Leur somme est nulle :n-1∑

k=0z k=1+z1+z2+···+zn-1=0 •Leurs images Mkdans le plan complexe sont les sommets d"un polygone régu- lier dencôtés inscrit dans le cercle unité.

•Sin=2 , deux solutions 1 et-1.

Sin=3 , trois solutions solutions 1,j=-1

2+i⎷

3

2etj2=-12-i⎷

3 2.

Sin=4 , quatre solutions solutions 1,i,-1 et-i.

Démonstration :

•On utilise la forme exponentielle décomposée en module et argument z n=1? |zn|=1 et arg(zn) =2kπ? |z|n=1 etnarg(z) =2kπ ? |z|=1 et arg(z) =2kπ n Il y a doncnangles distincts correspondant aux valeurs dekdans[[0 ;n-1]] On peut alors remarquer que les solutions sont les puissances dez1=ei2π n.

En effetzk=ei2kπ

n=? ei2πn?k=zk1 n-1∑ k=0z k=n-1∑ k=0zk1=1+z1+···+zn-11=1-zn1

1-z1=0 carzn1=z0=1

•Soit les points Mk(zk), on a alors(---→OMk,----→OMk+1) =2πnaveck?[[0 ;n-1]].

Les points M

ksont alors les sommets d"un polygone régulier dencôtés. •On peut visualiser les solutions dezn=1 pourn?[[2 ; 6]]

On remarquera le nombrej=ei2π

3=-12+i⎷

3 2. Ce nombre possède les propriétés suivantes qu"il est bon de mémoriser :

1+j+j2=0 ,j2=

j,-j2=1+j=eiπ3

PAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR

3. ÉCRITURE COMPLEXE DES TRANSFORMATIONS ÉLÉMENTAIRES

n=2n=3n=4 n=5n=6 -111j j 21i
-1 -i 1e i2π 5 e i4π 5 e i6π 5 e i8π 51
-j2j -1 j 2-j

3 Écriturecomplexedestransformationsélémentaires

3.1 Définition

Définition 1 :Une transformation planetest une bijection du planPdans lui-même. À un point M on associe un point M" appelé image de M par la trans- formationt. On appelle écriture complexe d"une transformation, la fonction bijective com- plexefqui à l"affixezde M associe l"affixez?de M" :z?=f(z) Remarque :Comme une transformation est une bijection, à toute transfomation til existe une transformation réciproquet-1. On s"intéressera dans une transformation aux points fixes (M" = M) etaux images de droites ou de cercles. Exemple :Soit la transformation d"écriture complexe :z?= (2+3i)z+1-i

3.2 Écriture complexe d"une translation

Théorème 4 :Soitt?ula translation

de vecteur ?u, on a alors : ---→MM"=?u

Si M(z), M"(z?)et?u(b), l"écriture com-

plexe de la translation est donc : z ?=z+b O ?u MM" ?u

Remarque :La translation n"a pas de point fixe.

PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR

3. ÉCRITURE COMPLEXE DES TRANSFORMATIONS ÉLÉMENTAIRES

Exemple :Soit A(1-i)et B(3+2i)

Déterminer l"écriture complexe de la translation qui transforme A en B.

On a alors

?u=z-→AB=3+2i-1+i=2+3i. On obtient alors l"écriture complexe :z?=z+2+3i

3.3 Écriture complexe d"une rotation

Théorème 5 :SoitrΩ,θla rotation de

centreΩet d"angleθ. On a alors : ΩM"=ΩM et(--→ΩM ,---→ΩM") =θ

Si M(z), M"(z?)etΩ(ω), on a alors :

z ?-ω=eiθ(z-ω) O ?M ?M" Remarque :La rotation possède un point fixe : son centre. Lorsqueθ=πla rotation est alors la symétrie de centreΩ.

Lorsqueθ=π

2ouθ=-π2la rotation est un quart de tour direct ou indirect.

Exemple :Écriture complexe d"un quart de tour direct de centreΩ(1+2i). z ?-(1+2i) =eiπ

2(z-1-2i)?z?=iz-i+2+1+2i

z ?=iz+3+i

3.4 Écriture complexe d"une homothétie

Théorème 6 :SoithΩ,kl"homothétie

de centreΩet de rapport non nulk. :

ΩM"=k--→ΩM ,k?R?

Si M(z), M(z?)etΩ(ω), on a alors :

z ?-ω=k(z-ω) O M?M" Remarque :L"homothétie possède un point fixe : son centre. Sik=-1 l"homothétie est alors la symétrie de centreΩ |k|>1 correspond à un agrandissement et|k|<1 correspond à une réduction Exemple :hest l"homothétie de centre O qui transforme A(2-2i)en B(-3+3i).

Écriture complexe deh.

On a alorsz?=kzdonck=-3+3i

2-2i=-3(1-i)2(1-i)=-32

L"écriture complexe est alors :z?=-3

2z.

PAUL MILAN6VERS LE SUPÉRIEUR

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