Déformations - Exercice 1
Considérons un état plan de contraintes. (σzz=σzx=σzy=0). Dans l'espace des contraintes de traction σ et des contraintes de cisaillement τ l'état de contrainte
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Déformations - Exercice 1
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7) Vérifier que les deux tenseurs possèdent les mêmes directions principales. Déduire les contraintes principales. 8) Calculer la contrainte moyenne et déduire
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repère principale le tenseur des contraintes en Do. Exercice 2: On considère en petites déformations le champ de déplacement suivant :.
INTRODUCT MMI Ex TION A LA MECANIQU MIILIEUX CONTINUS
Corrigés. Exercice A. Soit un tenseur symétrique. Dans la base.
CORRIGE
L'expression d'une contrainte est celle d'une force divisé par une exercice 1 : ... Allongement : Si la déformation est élastique l'allongement ?L ...
Elaboré par : Dr Imene BENAISSA République Algérienne
exercices corrigés destiné aux étudiants de 2ème année (S4) licence de L'analyse des contraintes et déformations est très complexe au niveau des points.
EXERCICES PRATIQUES MODULE 3 Le comportement
donné les contraintes aux déformations. Le comportement rhéologique des roches s'étudie par le biais d'essais mécaniques au laboratoire
Présentation PowerPoint
On cherche les plans de cisaillement. Pas d'indice de rotation. Ellipsoïde des déformation (Ox Oz). Ellipsoïde des contraintes (?1 selon oz ?3 selon Ox).
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TD2 : CONTRAINTES Exercice 1 : Mohr a montré la propriété intéressante suivante pour le tenseur des contraintes indépendante du comportement du matériau
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Exercice 2: Soit le tenseur des contraintes défini par : (M)=0 1 0 MPa Déterminer le tenseur des déformations au point M(X1 X2 X3)
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Étiquette contraintes et déformations exercices corrigés pdf Mécanique des Milieux Continus – MMC – cours et exercices
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8) Calculer la contrainte moyenne et déduire le module de compressibilité volumique K du matériau Solution 1) du1/dx1 = (1 75 - 0 75) / 150 = 0 0067 du2/dx2 =
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R´esistance des mat´eriaux :
´elasticit´e,
m´ethodes ´energ´etiques, m´ethode des ´el´ements finisRappels de cours
et exercices avec solutionsYves Debard
Institut Universitaire de Technologie du Mans
D´epartement G´enie M´ecanique et Productique20 juin 2011
Table des mati`eres
1´Elasticit´e
11.1 Rappels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 D´eplacements et d´eformations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Contraintes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Loi de comportement ou loi constitutive
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4 Cas particulier : ´etat de contraintes planes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.5 Formules math´ematiques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 M´ethode des ´el´ements finis : approche r´esistance des mat´eriaux
252.1 Rappels : r´esolution d'un probl`eme stationnaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.1 Partition des degr´es de libert´e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Calcul des d´eplacements inconnus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.3 Calcul des r´eactions d'appui
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 Poutre soumise `a un effort normal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.1 Rappels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.2 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Treillis plans `a noeuds articul´es
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.1 Rappels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.2 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4 Poutre soumise `a un moment de torsion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4.1 Rappels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4.2 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.5 Flexion des poutres `a plan moyen : mod`ele de Bernoulli
. . . . . . . . . . . . . . . . . 582.5.1 Rappels : flexion dans le plan{xy}
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.5.2 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 M´ethodes ´energ´etiques : poutres
833.1 Rappels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.1.1 Expression de l'´energie de d´eformation en fonction des forces appliqu´ees : for-
mule de Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.1.2 Th´eor`eme de r´eciprocit´e de Maxwell-Betti
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.1.3 Th´eor`eme de Castigliano
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.1.4 Th´eor`eme de M´enabr´ea
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.1.5´Energie de d´eformation d'une poutre
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.1.6 Formules math´ematiques utiles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.2 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85IIExercices de resistance des materiaux
4 M´ethode des ´el´ements finis
1214.1 Rappels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.1.1´Energie de d´eformation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.1.2´Energie cin´etique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.1.3´Energie potentielle et ´el´ements finis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.1.4 Modes propres
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.2 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.2.1 Assemblage
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.2.2 ´El´ement de poutre droite soumis `a un effort normal . . . . . . . . . . . . . . . 1264.2.3 Exercice : mise en ´equation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.2.4 Exercice : mise en ´equation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.2.5 Exercice : contraintes et ´energie de d´eformation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.2.6 Exercice : contraintes et ´energie de d´eformation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.2.7 ´El´ement de poutre droite soumis `a un effort normal . . . . . . . . . . . . . . . 1374.2.8 Exercice : modes propres
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.2.9´El´ement fini de torsion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.2.10
´El´ement fini de flexion : mod`ele de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.2.11 Exercice : ´elasticit´e plane
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Chapitre 1
Elasticit´e
1.1 Rappels
Les d´eplacements et les d´eformations sont petits.1.1.1 D´eplacements et d´eformations
Vecteur d´eplacement :
⃗u=---→M0M ,{u}= u(x,y,z) v(x,y,z) w(x,y,z) (1.1.1)Tenseur des d´eformations :
xx1 2γxy1
2γxz
1 2γxyεyy1
2γyz
1 2γxz1
2γyzεzz
,[ε]T= [ε](1.1.2) xx=∂u ∂x , εyy=∂v ∂y , εzz=∂w ∂z (1.1.3a) xy=∂u ∂y +∂v ∂x , γxz=∂u ∂z +∂w ∂x , γyz=∂w ∂y +∂v ∂z (1.1.3b) Allongement unitaire enMdans la direction{n}= n x n y n zε(M,⃗n) ={n}T[ε(M)]{n}
Glissement enMdans les directions orthogonales⃗naet⃗nb: γ(M,⃗na,⃗nb) = 2{nb}T[ε(M)]{na},{nb}T{na}= 0(1.1.5)Variation relative de volume :
V(M) = tr[ε] =εxx+εyy+εzz(1.1.6)
2Exercices de resistance des materiaux
1.1.2 Contraintes
Vecteur contrainte sur la facette⃗nenM:
T(M,⃗n) =σn⃗n+⃗τn(1.1.7a)
Soit{n}=
n x n y n z un vecteur unitaire enM. Le vecteur contrainte sur la facette⃗nenMest donn´e par la formule de Cauchy : T x T y T z xxσyxσzx xyσyyσzy xzσyzσzz n x n y n z ,{T}= [σ(M)]{n}(1.1.8) o`u [σ(M)] est le tenseur des contraintes enM.Le tenseur des contraintes est sym´etrique :
[σ] = [σ]Tsoitσxy=σyx, σxz=σzx, σyz=σzy(1.1.9)La contrainte normale sur la facette⃗nest :
n={n}T[σ]{n} =n2xσxx+n2yσyy+n2zσzz+ 2nxnyσxy+ 2nxnzσxz+ 2nynzσyz(1.1.10) Soientσ1,σ2etσ3les trois contraintes principales en un pointMd'un solide. Les crit`eres deRankine, Von Mises et de Tresca s'´ecrivent :
1 21.1.3 Loi de comportement ou loi constitutive
Si le mat´eriau est isotrope, la loi de comportement s'´ecrit : xx=1 E (σxx-ν(σyy+σzz)) yy=1 E (σyy-ν(σxx+σzz)) zz=1 E (σzz-ν(σxx+σyy))(1.1.12a) xy=σxy G , γxz=σxz G , γyz=σyz G , G=E2(1 +ν)(1.1.12b)
o`uEetνsont respectivement le module de Young et le coefficient de Poisson du mat´eriau.Elasticite3
1.1.4 Cas particulier : ´etat de contraintes planes
Le tenseur des contraintes se r´eduit `a :
xxσxy0 xyσyy00 0 0
(1.1.13) d'o`u l'expression du tenseur des d´eformations : xx1 2γxy0
1 2γxyεyy0
0 0εzz
(1.1.14) et de la loi de comportement : xx=E1-ν2(εxx+ν εyy), σyy=E
1-ν2(εyy+ν εxx)
zz=-ν E (σxx+σyy), σxy=Gγxy, G=E2(1 +ν)(1.1.15)
Les contraintes et les d´eformations principales sont : 1 2} =σxx+σyy 2 ±1 2 (σxx-σyy)2+ 4σ2xy, σ3= 0(1.1.16) 1 2} =εxx+εyy 2 ±1 2 (εxx-εyy)2+γ2xy, ε3=εzz(1.1.17)Les directions principales sont :
{n1}= cosθ1 sinθ10
,{n2}= -sinθ1 cosθ10
,{n3}= 0 01
avec tanθ1=σ1-σxx xy(1.1.18) Les crit`eres de Rankine, Von Mises et de Tresca se r´eduisent `a : L'allongement unitaire enMdans la direction{n}= n x n y0
se r´eduit `a : ε(M,⃗n) ={n}T[ε(M)]{n}=n2xεxx+n2yεyy+nxnyγxy(1.1.20)4Exercices de resistance des materiaux
1.1.5 Formules math´ematiques
Valeurs et vecteurs propres d'une matrice sym´etrique de dimension deux `a coefficients r´eels :
Consid´erons la matrice sym´etrique [S] :
[S] =[SxxSxy S xySyy] ,([S]T= [S])(1.1.21) Les valeurs propresSn=1,2et les vecteurs propres{n}sont les solutions de l'´equation : [S]{n}=Sn{n},[SxxSxy S xySyy]{ nx n y} =Sn{nx n y} avecn2x+n2y= 1(1.1.22) soit :Sxx-SnSxy
S xySyy-Sn]{ nx n y} ={0 0} (1.1.23) Cette ´equation n'a de solution autre que la solution trivialenx=ny= 0 que si et seulement si : det [Sxx-SnSxy S xySyy-Sn] = 0(1.1.24) d'o`u l'´equation caract´eristique : S2n-(Sxx+Syy)|
{z tr[S]=S1+S2S n+SxxSyy-S2xy| {z det[S]=S1S2= 0(1.1.25) et les valeurs propres : S 1 S 2} =Sxx+Syy 2 ±1 2 (Sxx-Syy)2+ 4S2xy(1.1.26)Les vecteurs propres associ´es sont :
{n1}={cosθ1 sinθ1} ,{n2}={cosθ2 sinθ2} ={-sinθ1 cosθ1} (1.1.27) avec : tanθ1=S1-Sxx S xy,tanθ2=S2-Sxx S xy(1.1.28) Remarque: les deux directions principales sont orthogonales : |θ1-θ2|=π 2 ,tan2θ1= tan2θ2=2Sxy S xx-Syy,tanθ1tanθ2=-1 (1.1.29) D´eterminant d'une matrice carr´ee sym´etrique de dimension 3 : det S11S12S13
S21S22S23
S31S32S33
=S11det[S22S23 S32S33]
-S21det[S12S13 S32S33]
+S31det[S12S13 S22S23]
=S11S22S33-S11S223-S33S212-S22S213+ 2S12S13S23(1.1.30)Elasticite5
Formules trigonom´etriques :
tanφ=sinφ cosφ,cos(-φ) = cosφ ,sin(-φ) =-sinφ(1.1.31) cos(φ1+φ2) = cos(φ1) cos(φ2)-sin(φ1) sin(φ2)(1.1.32) sin(φ1+φ2) = sinφ1cosφ2+ cosφ1sinφ2(1.1.33) cos2φ=1 + cos2φ
2 ,sin2φ=1-cos2φ 2 ,sinφcosφ=sin2φ 2 (1.1.34) cos 2 = sinφ(1.1.35) cos45 ◦= sin45◦=1 2 2 2 ,cos60◦=1 2 3 2 (1.1.36) cos120 ◦=-1 2 3 2 (1.1.37)Sixetysont petits devant l'unit´e :
|x|≪1,|y|≪1(1.1.38a) on a les relations :1 +x≃1 +x
2 ,11 +x≃1-x ,(1 +x)(1 +y)≃1 +x+y(1.1.38b)
sinx≃x ,cosx≃1-x2 2 ,tanx≃x(1.1.38c)6Exercices de resistance des materiaux
1.2 Exercices
ELA1 : vecteur contrainte sur une facette
En un pointMd'un solide, dans le rep`ere orthonorm´e{⃗ı,⃗ȷ,⃗k}, le tenseur des contraintes a pour
valeur : [σ(M)] = 100-40 20 -40-60 5020 50 40
MPa 1. Faire un dessin qui montre la signification physique des composantes du tenseur des contraintes. 2.Soit le vecteur unitaire⃗nde composantes :
{n}=1 3 1 22
Sur la facette⃗n:
(a)Calculer les composantes du vecteur contrainte
⃗T(M,⃗n). (b)Calculer la contrainte normaleσn.
(c) Calculer les composantes du vecteur cisaillement⃗τn, puis le moduleτndu cisaillement.Solution
Repr´esentation graphique des composantes du tenseur des contraintes Les composantes en MPa du tenseur des contraintes dans le rep`ere{⃗ı,⃗ȷ,⃗k}: composantes surquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] calcul flexion plaque rectangulaire
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