[PDF] Unité de Recherche Clinique et Évaluative

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Validation de modèles paramétriques

Atelier de formation A09

Plateforme de recherche clinique et évaluative

Anne -Sophie Julien, M.Sc., biostatistique rechclinique@crchudequebec.ulaval.ca

V181001

Objectifsd'apprentissage

1.Connaîtreles postulatset les sources de biais

des principalesanalyses statistiques paramétriques

2.Pouvoirvérifiersiles résultatsobtenuspar un

modèled'ANOVA, de régressionlinéaireou logistiquesontfiables 1

Plan de la présentation

1.Définitionset concepts

2.Postulats

3.Sources de biaisstatistique

4.Pouvoirprédictif

5.Exemplede validation d'uneANOVA

6.Exemplede validation d'unerégressionlinéaire

7.Exemplede validation d'unerégression

logistique 2

Validation de modèlesparamétriques

-Postulats •Hypothèsesdu modèledoiventêtrerespectés -Sources de biais

•Sélectionnon aléatoiredes sujets

•Absence de randomisation

•HypothèsesH0& H1mal spécifiées

•Valeursinfluentes

•Multicolinéarité

•Donnéesmanquantes

•Sélectionvariables & observations

-Pouvoirprédictifdu modèle

•Pouvoirexplicatifdes variables explicatives

•Validation des prédictions

•Validation croisée

3

Sans validation, la

conclusion d'une analyse pourrait

êtreerronnée!

Résidus

•Résidu ordinaire: ݁

•Oùܻ

valeurobservéeet ෠ܻ = valeurprédite

•Bon modèle: Résidustousprèsde 0

•Résidustudentisé: ݁

divisépar son écart-type •Ramèneles résidussuruneéchelleconnue: scores Z 4

Section 1:

Postulats

Postulats

Fréquemmentrencontrés:

•Normalitédes résidus

•Homoscédasticitédes résidus(variances égales)

•Linéarité

•Indépendance(absence d'auto-corrélation) 6

Normalitédes résidus

•Les modèlessupposentqueles résidussuiventunedistribution normalede moyenne0 et de variance ߪ

(homoscédasticité) •Analyses robustesà unelégèredéviationde la normalité •Test T, ANOVA, Régressionlinéaire, et plusieursautres •Validation graphique, par des statistiquesoudes tests 7

Normalitédes résidus

Vérificationgraphique

•Diagrammesà moustaches (symétrique, moyenne = médiane, peude valeursinfluentes, moustaches plus longuesquela boîte) •Histogramme(cloche) •QQ Plot / Droitede Henry (points surla diagonale) 8

Normalitédes résidus

Vérificationgraphique

9

Normalitédes résidus

Statistiqueset Tests

•Coefficient d'asymétrie ("Skewness») •Coefficient d'aplatissement ("Kurtosis») •Tests de normalité (Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov) •H 0 : Distribution normale •H 1 : Distribution pas normale •On ne veut pas rejeter l'hypothèse nulle *Regarder plusieurs critères avant de prendre une décision* 10

Normalité

respectée si valeurs entre

1 et 1

Normalitédes résidus

Sources de non normalité

•Donnéesnon continues, ordinales, qui manquent de variabilité •Distribution asymétrique •Hétéroscédasticité •Concentrations logarithmiques

Impact

•Estimation biaisée 11

Normalitédes résidus

Solutions

•Transformation de Box-Cox pour Y •Exemple: concentrations -> log •Éliminer des données aberrantes (lorsque kurtosis

élevé)

•Analyses pour données ordinales (lorsque asymétrie et manque de variabilité) •Valider les résultats avec une analyse non paramétrique (lorsque possible) 12

Homogénéitédes variances

•Les modèlessupposentqueles résidussuiventunedistribution normalede moyenne0 et de variance ߪ

(homoscédasticité)

•Lorsquela variance des résidusdiffèreselonles groupesoula valeurde Y, ily a hétéroscédasticité

•Test T, ANOVA, Régressionlinéaire& logistique, et plusieursautres

•Validation graphiqueoupar des tests

13

Homogénéitédes variances

Vérificationgraphique

•Graphiquedes résidusstudentisésenfonctiondes valeursprédites •Pas de problèmesi: •Valeursentre [-3,3], limitesà 99% d'uneloinormale •Valeursaléatoiresenformede rectangle •Positifset négatifs •Problèmesi: •Variabilitédes résidusdiffèreselonla valeurprédite •Formed'entonnoir •Touspositifsounégatifs 14

Homogénéitédes variances

1

ANOVA / TestTRégressionlinéaire

Homoscédasticité

Hétéroscédasticité

Homogénéitédes variances

Test de Levene

•H 0 : Les variances sontégales •H 1 : Les variances sontinégales •On ne veutpas rejeterl'hypothèsenulle •Si P > 0,01 -> Ok, variances égales •Si P <= 0,01 -> Les variances sontinégales •Utiliser 0,01 plutôtque0,05: ne pas se casserla tête si le problèmen'estpas sévère 16

Homogénéitédes variances

Sources d'hétéroscédasticité

•Groupeplus variable qu'unautre(anova+ test T) •Donnéesaberrantes •Non normalité •Précisionvarieselonle Y

Impact

•Erreurs-type, intervallede confiance, significativité erronés 17

Homogénéitédes variances

Solutions à l'hétéroscédasticité

•Transformation de Box Cox •Régressionpondérée •Modèlesmixtes

NB: L'analysenon paramétriquen'estpas une

solution (Wilcoxon et Kruskall-Wallis supposent aussil'homogénéité) 18

Linéarité

•Le modèlede régressionlinéairesuppose qu'ilexisteunerelation linéaireentre VD et VI

•Le modèlede régressionlogistiquesuppose unerelation linéaireentre le logit de la probabilitéde succès(ʋ) et la VI

log •Si la relation n'estpas linéaire, le modèlene sera pas un bon indicateurde la relation •Vérificationgraphiqueoupar test d'ajoutde termesde degréssupérieurs 19

Linéarité

Vérificationgraphique

•Graphiquedes résidusenfonctiondes valeurs prédites •Pas de problèmesi: •Valeursentre [-3,3], limitesà 99% d'uneloinormale •Valeursaléatoiresdansle rectangle •Problèmessi: •Valeurssituéessurunecourbe 20

Linéarité

21

Linéaire

Non Linéaire

Linéarité

Sources de non linéarité

•Relation de degrésupérieur(quadratique, cubique, etc.) •Formeexponentielleoulogarithmique •Présenced'interactions

Impact

•Mauvaisecaractérisationde la relation, estimation biaisée 22

Linéarité

Solutions

•Ajouterdes termesde degréssupérieurs, des interactions •Transformation de Box-Cox pour la VD •Autrefamillede modèle 23

Non corrélationdes résidus

•Les modèlessupposentqueles résidusne sontpas corrélés: ܥ A =0,്݆݅ •Lorsquecen'estpas le cas, ily a auto-corrélation, oudépendanceentre les observations

•Supposéepar tousles modèlesprésentésdansl'atelier2, saufles analyses pour donnéespairées(Mc Nemar, T Pairé, Wilcoxon rangssignés)

•Vérificationgraphiqueoupar test

24

Non corrélationdes résidus

Vérificationgraphique

•Graphiquedes résidusenfonctiondes numéros d'observations •Pas de problèmesi: •Résidusnégatifssuivispar des résiduspositifs •Problèmesi: •Résidusnégatifssuccèdentà plusieursrésidusnégatifs et vice versa 25

Non corrélationdes résidus

26

Présenced'auto-corrélation

Absence d'auto-corrélation

Auto-corrélationdes résidus

Test de Durbin Watson

•0 <= D-W <= 4 •Prèsde 0: Autocorrélationpositive •Supérieurà 2: Autocorrélationnégative •Attention siD-W <1 •Tests et tables disponiblespour obtenirunevaleurp 27

Non corrélationdes résidus

Sources d'auto-corrélation

•Dépendancespatielleoutemporelleentre les observations la collecte

Impact

•Mauvaiseestimation de la variance, largeurde l'intervallede confiance, significativitéerronée 28

Auto-corrélationdes résidus

Solutions

•Ajouterunevariable explicative pour expliquerla dépendance •Modèlemixte •Modèlepour sérieschronologiques 29

Section 2:

Sources de biais statistique

Valeursinfluentes

31

Valeuraberrante

Observations ayant

unecombinaisonde valeurs(VI, VD) très différentedu reste des observations -> impact légerLevier

Observation ayant

unevaleurde VI loin de la moyennedes VI -> impact légerValeur influente

Observation avec levier et

valeur VD différente des autres avec même VI -> impact sur paramètres estimés et prédiction

Valeursinfluentes

Statistiques

•Levier (LEV): Distance avec le centre des VI

•Résidus studentiséssupprimés (SDR): Résidu basé sur l'échantillon sans la i e valeur •DFFITS (DFF): Influence sur la valeur prédite

•Distance de Cook (COO) et DFBETAS (DFB_): Influence sur l'estimation des coefficients de régression

•COVRATIO (COV): Influence sur la variance des estimateurs 32

Valeursinfluentes

Identification

•LEV se démarquant des autres

•SDRse démarquant ou en dehors de [-3, 3].

•DFFse démarquant ou en dehors de [-2,2].

•COOse démarquant ou supérieur à 4/n

•DFB_se démarquant ou supérieur à 2/racine(n) en valeur absolue •COVprès de 0 ou très élevés, entre autres ceux inférieurs à 1-

3p/n et ceux supérieurs à 1+3p/n, où p

= # paramètres dans le modèle *Regarder plusieurs critères avant de prendre une décision* 33

Valeursinfluentes

Solutions

•Corrigerla valeurs'ils'agitd'erreurde saisie •Supprimerl'observationsiellene fait pas partie de la population cible •Analyse de sensibilité(avec et sans l'observation) siellefait partiede la population cible 34

Multicolinéarité

•Problèmesurvenantlorsquedes observations

apportentde l'informationredondante, lorsqu'unedes VI estobtenuepar une combinaisonlinéairedes autresVI •Impact surles variances, la sélectionde variables, les variables significatives 35

Multicolinéarité

36
Z ZZ Z

Multicolinéarité

Vérification

•Tolérance •% de variation d'uneVI qui n'estpas expliquépar les autresVI •Valeurssupérieuresà 10% -> ok •Facteurd'inflationde variance •VIF = 1/TOL = 1 / (1-ܴ •Coefficient multipliantla variance de ɴ •Valeursinférieuresà 10 -> ok •Index de condition •Valeursinférieuresà 30 -> ok •Proportion de variance •Proportion de variance de ɴexpliquépar la dépendancelinéaire •Les variables problématiquesontun PV > 60% surla lignede CI >30 37

Multicolinéarité

Solutions

•Supprimerunedes variables problématiques •Combiner les variables problématiques •Transformation non-linéaired'unedes variables •Autreméthoded'estimation 38

Donnéesmanquantes

Scénarios

•MCAR: Missing completely at random •MAR: Missing at random -> attention! •MNAR: Missing not at random -> danger!

Solutions(lorsqueconditions respectées)

•Imputation (plusieursméthodesexistent) •Méthoded'estimationplus complexe 39

Sélectiondes variables & observations

•Variables confondantes

•Omission de variables importantes

•Observations non sélectionnéesaléatoirement ouabsence de randomisation aléatoire

•Tailled'échantilloninsuffisante

•Plan d'expérience(ouméthodede sélection) non incorporédansl'analyse

•MauvaiseshypothèsesH0et H1

40

Section 3:

Pouvoir prédictif

Pouvoirprédictif(Rég. Linéaire)

•Examiner résidusbruts: est-cequeles différencessont acceptables? •R 2 = Coefficient de détermination -% de la variabilitéde VD expliquépar les VI -Prèsde 1: les VI sontdes bonsprédicteursde VD

•Validation croisée, RMSE

42

Pouvoirprédictif(Rég. Logistique)

•R 2 généralisé= Équivalentdu coefficient de détermination -N'estpas un % de variabilité -Plusieursformules: Cox & Snell, Nagelkerke, Tjur,

McFadden

-Le maximum n'estpas toujours1 -Utile pour comparer des modèles

•Test d'ajustementde Hosmer& Lemeshow

-H 0 : Le modèles'ajustebienaux données -H 1 : Le modèles'ajustemal aux données -Grande valeurp souhaitée -Mauvaisajustement: ajouterdes interactions, degrés supérieurs, etc. 43

Pouvoirprédictif(Rég. Logistique)

•CourbeROC

-Variable quantitative = Probabilitépréditepar le modèle -Variable d'état = VD -Impact de différentspoints de coupuresurla prédiction de VD -Airesous la courbe: 50% ->pas mieuxquele hazard.

100% -> trèsbon modèle

•Classification des prédictions

-Choisirun point de coupurepour classifier les observations selonla probabilitéprédite -Tableau croiséavec la VD -% d'observationscorrectementclassées 44

Section 4:

Validation d'une ANOVA

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