Espaces vectoriels
Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions. Espaces Vectoriels. Pascal lainé. 23. Allez à : Exercice 21. Correction ...
[PDF] Exo7 - Exercices de mathématiques
E4 n'est pas un sous-espace vectoriel. Indication pour l'exercice 3 Α. 1. Discuter suivant la dimension des sous-espaces. 2. Penser aux droites vectorielles
Leçon 09 – Correction des exercices
K n'est pas un sous-espace vectoriel de IR4. Exercice 5 - Les vecteurs suivants engendrent-ils IR3 : 1) (2-1
Applications linéaires matrices
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espaces-vectoriels.pdf
Montrer que E × E est alors un C-espace vectoriel. Celui-ci est appelé complexifié de E. Sous espaces vectoriels. Exercice 2 [ 01681 ] [Correction].
Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base
Indication pour l'exercice 2 △. E est un sous-espace vectoriel de R4. Une base comporte trois vecteurs. Indication pour l'exercice 3 △. C'est une base pour t
Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et
et linéaire donc son noyau N est un sous-espace vectoriel de L(E). Exercice 9 : Soit F l'ensemble des applications de classe C1 de R dans R vérifiant f (x) −
Cours dAlgèbre I et II avec Exercices CorrigésOM DE VOTRE
Notion de IK− Espaces vectoriels(IK étant un Corps. Commutatif) avec Exercices Corrigés. 1. Espace vectoriel et sous espace vectoriel. Soit IK un corps
Exercices Corrigés Sous-espaces vectoriels Exercice 1 – On
3) Donner un syst`eme d'équations de G relativement `a la base canonique de R4. Exercice 4 – Soir E un K-espace vectoriel de dimension 4 et b = (e1e2
Espaces vectoriels
vecteurs 1 2
Espaces vectoriels
Dans R3 donner un exemple de deux sous-espaces dont l'union n'est pas un sous-espace vectoriel. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [006869]. Exercice 4.
Exercices corrigés Alg`ebre linéaire 1
En donner une base et la dimension. Exercice 10 Soient (E+
Applications linéaires matrices
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Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base
Exercice 2. Dans R4 on considère l'ensemble E des vecteurs (x1x2
Exercices Corrigés Sous-espaces vectoriels Exercice 1 – On
On note F = Vect(u1u2). 1) Donner une base de F échelonnée relativement `a la base b. En déduire la dimension du sous-espace vectoriel F.
Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et
et linéaire donc son noyau N est un sous-espace vectoriel de L(E). Exercice 9 : Soit F l'ensemble des applications de classe C1 de R dans R vérifiant.
70 exercices dalg`ebre linéaire 1 Espaces vectoriels
Calculer les dimensions de E ? F et du sous-espace vectoriel de R4E + F
Exercices Corrigés Sous-espaces vectoriels Exercice 1 – On
3) Donner un syst`eme d'équations de G relativement `a la base canonique de R4. Exercice 4 – Soir E un K-espace vectoriel de dimension 4 et b = (e1e2
Cours dAlgèbre I et II avec Exercices CorrigésOM DE VOTRE
avec Exercices Corrigés. 43. 1. Espace vectoriel et sous espace vectoriel. 43. 2. Somme de deux sous espaces vectoriels. 45. 3. Somme directe de deux sous
Exercices corrigés - Espaces vectoriels - bibmathnet
Exercice 4[Sous-espaces vectoriels de RN] Dire si les ensembles suivants sont ou non des (sous-)espaces vectoriels de RN: 1 les suites bornées; 2 les suites convergentes; 3 les suites ayant une limite; 4 les suites tendant vers a(pour a?R xé); 5 les suites géométriques; 6 les suites arithmétiques; 7 les suites arithmético-géométriques;
Espaces vectoriels
1 Montrer que est un sous-espace vectoriel de ?3 et déterminer une base de cet espace-vectoriel 2 A-t-on ? =?3? On justifiera la réponse Allez à : Correction exercice 25 Exercice 26 Soit ={( 1 2 3 4)??4 1+ 3=0 et 2+ 4=0} Soient 1=(1111) 2=(1?11?1) et 3=(1010)
Exo7 - Exercices de mathématiques
1 Décrire les sous-espaces vectoriels de R ; puis de R2 et R3 2 Dans R 3 donner un exemple de deux sous-espaces dont l’union n’est pas un sous-espace vectoriel Indication H Correction H Vidéo [006869]
Chapitre 4 Espaces vectoriels - Université Laval
n’est pas un sous-espace car (00) ?/ S b) Pour trois nombres r´eels abc arbitraires; W = {(xyz)ax+by +cz = 0}est un sous-espace vectoriel de R3 W n’est pas vide car (000) ?W En outre (A1) Soient (x1y1z1) et (x2y2z2) ?W ; alors (x1y1z1) +(x2y2z2) = (x1 +x2y1 +y2z1 +z2) ?W car
Comment calculer les sous-espaces vectoriels ?
Dans E = R4, on considère les sous-espaces vectoriels F = {(x, y, z, t) ? R4: x + y + z + t = 0} et G = {(2a, ? a, 0, a), avec a ? R} . Démontrer que F et G sont en somme directe. Soit (x, y, z, t) ? R4. Déterminer a ? R tel que le vecteur (x ? 2a, y + a, z, t ? a) ? F. En déduire que F et G sont supplémentaires.
Comment calculer l'espace vectoriel d'une fonction ?
Soit E = F(R, R) l'espace vectoriel des fonctions de R dans R . On note F le sous-espace vectoriel des fonctions paires (ie f( ? x) = f(x) pour tout x ? R ) et G le sous-espace vectoriel des fonctions impaires (ie f( ? x) = ? f(x) pour tout x ? R ). Montrer que F et G sont supplémentaires.
Comment montrer que deux espaces ne peuvent engendrés tout l’espace de dimension 4 ?
Un autre type de raisonnement, beaucoup plus rapide, est de dire que ces deux espaces ne peuventengendrés tout R4car il n’y pas assez de vecteurs en effet 3 vecteurs ne peuvent engendrer l’espaceR4de dimension 4. Oui. NotonsF=Vectfv1;v2get G=Vectfv4;v5g. Pour montrer FbG=R4il faut montrerFG=f(0;0;0;0)get F+G=R4. MontronsFG=f(0;0;0;0g.
Comment calculer le sous-espace d'une fonction ?
On désigne par F le sous-espace des fonctions constantes et par Ga le sous-espace des fonctions qui s'annulent en a. Montrer que F et Ga sont supplémentaires dans E . Plus généralement, soient a0, …, aN des éléments distincts de R et G = {f ? E; f(a0) = ? = f(aN) = 0}. Trouver un supplémentaire à G . Exercice 22 - Par deux, mais par trois?
Exercices corrig´es
Alg`ebre lin´eaire 1
1 Enonc´es
Exercice 1On rappelle que (E,+,·) est unK-espace vectoriel si (I) (E,+) est un groupe commutatif; (II-1)?x,y?E,?α?K,α·(x+y) =α·x+α·y; (II-2)?x?E,?α,β?K, (α+β)·x=α·x+β·x; (II-3)?x?E,?α,β?K,α·(β·x) = (αβ)·x; (II-4) 1·x=x.Soit (E,+,·) unK-espace vectoriel. On note 0El"´el´ement neutre de (E,+) (que l"on appelle aussi
l"originede (E,+,·)) et 0Kle nombre z´ero (dansK). Pour toutxdansE, le sym´etrique dexest not´e
-x. (1) Montrer que, pour toutx?E,x+x= 2·x. (2) Montrer que, pour toutx?E, 0K·x= 0E. (3) Montrer que, pour toutx?E, (-1)·x=-x. Exercice 2SoientF1,...,Fmdes sous-espaces vectoriels d"unR-espace vectoriel (E,+,·). Montrer queF:=F1∩...∩Fmest un sous-espace vectoriel deE. Exercice 3Soient (E,+,·) unR-espace vectoriel,{x1,...,xm}une famille de vecteurs deE. Montrer queF:= vect{x1,...,xm}est un sous-espace vectoriel deE. Exercice 4Soient (E,+,·) unR-espace vectoriel,Fun sous-espace vectoriel deEetA,Bdeux sous-ensembles deE. (1) Montrer que, siA?B, alors vectA?vectB. (2) Montrer queAest un sous-espace vectoriel deEsi et seulement si vectA=A. (3) Montrer que, siA?B?FetAengendreF, alorsBengendreF. Exercice 5Consid´erons les vecteurs deR4suivants : e 1=( ((1 1 1 1) )),e2=( ((0 1 2 -1) )),e3=( ((1 0 -2 3) )),e4=( ((2 1 0 -1) La famille{e1,e2,e3,e4}est-elle libre? Est-ce une base deR4? Exercice 6Consid´erons les vecteurs deR4suivants : e 1=( ((1 1 1 1) )),e2=( ((0 1 2 1) )),e3=( ((1 0 -2 3) )),e4=( ((1 1 2 -2) 1 (1) La famille{e1,e2,e3,e4}est-elle libre? (2) Quel est le rang de la famille{e1,e2,e3,e4}?(3) D´eterminer une relation entre les nombres r´eelsαetβpour que le vecteuru= (1,1,α,β)t
appartienne au sous-espace vectoriel engendr´e par la famille{e1,e2,e3,e4}. Exercice 7SoitE=RR, l"espace des fonctions deRdansR. (1) Soientcetsles fonctions d´efinies par ?x?R, c(x) = cosxets(x) = sinx. Montrer que{c,s}est une famille libre deE. Quelle est la dimension du sous-espace vectorielT engendr´e par la famille{c,s}? (2) Soientα,β,γtrois r´eels fix´es. Soientf,g,hles fonctions d´efinies par ?x?R, f(x) = cos(x+α), g(x) = cos(x+β) eth(x) = cos(x+γ). Montrer quef,g,happartiennent `aT, et expliciter leurs coordonn´ees dans la base{c,s}deT. La famille{f,g,h}est-elle libre? Quel est son rang?(3) Soienta1,a2,a3trois r´eels distincts. Pour tout entierk? {1,2,3}on notefkla fonction d´efinie
surRpar ?x?R, fk(x) =|x-ak|.Montrer que{f1,f2,f3}est une famille libre deE.
Exercice 8(1) On rappelle queC0(R) d´esigne l"espace des fonctions continues deRdansR. Montrer queA:={f? C0(R)|?x?R, f(x) =f(-x)}etB:={f? C0(R)|?x?R, f(x) =-f(-x)}sont des sous-espaces vectoriels deC0(R). Sont-ils en somme directe? (2) Montrer queA:={(x,y,z)?R3|x+y+z= 0}etB:={(x,y,z)?R3|x-y+z= 0}sont des sous-espaces vectoriels deR3. Sont-ils en somme directe? Exercice 9(1) SoientF:={(x,x,x)?R3|x?R}etG:={(0,y,z)?R3|y,z?R}. Montrer que FetGsont deux sous-espaces vectoriels deR3. Pr´eciser leurs bases et leurs dimensions. Sont-ils en somme directe? (2) SoitH:={(x,y,z,t)?R4|x= 2y-z, t=x+y+z}. V´erifier queHest un sous-espace vectoriel deR4. En donner une base et la dimension. Exercice 10Soient (E,+,·) unR-espace vectoriel etA,B,Ctrois sous-espaces vectoriels deE. (1) Montrer que (A∩C)+(B∩C)?(A+B)∩C. Donner un exemple dansR2pour lequel l"inclusion est stricte. (2) Montrer que, siA+B=A+C,A∩B=A∩CetB?C, alorsB=C. Exercice 11On consid`ere l"application donn´ee par ?:R3-→R3 (x y z) (-x+ 2y+ 2z -8x+ 7y+ 4z -13x+ 5y+ 8z) (1) Montrer que?est une application lin´eaire. D´eterminer l"image par?des vecteurs de la base canonique{e1,e2,e3}deR3. Calculer?(2e1+e2-e3). (2) D´eterminer le noyau de?. En donner une base et pr´eciser sa dimension. 2 (3) L"application?est-elle injective? surjective? bijective? (4) Soitψl"application lin´eaire donn´ee parψ:R2-→R3
x y? (x-y x+y x+ 2y)D´eterminer?◦ψ.
Exercice 12On consid`ere l"application donn´ee par ?:R3-→R2 (x y z) ?-→?y+z x? ainsi que les vecteursu:= (1,2,3)tetv:= (1,1,1)t. (1) Montrer que?est lin´eaire. D´eterminer?(u),?(v) et?(u-2v). (2) D´eterminer le noyau de?. En donner une base et pr´eciser sa dimension. (3) D´eterminer l"image de?. En donner une base et pr´eciser sa dimension. Exercice 13SoientEetFdeuxR-espaces vectoriels et?une application lin´eaire deEdansF. SoitA:={x1,...,xm}une famille de vecteurs deE.
(1) Montrer que, siAest li´ee, alorsf(A) ={?(x1),...,?(xm)}est li´ee. (2) Montrer que, si?(A) est libre, alorsAest libre. (3) Montrer que, siAest libre et?est injective, alors?(A) est libre.2 Solutions
Solution de l"exercice 1
(1) Pour toutx?E, 2·x= (1 + 1)·x= 1·x+ 1·x=x+x, o`u l"on a utilis´e successivement les
axiomes (II-2) et (II-4). (2) On a : 0K·x= (0K2)·x
= 0K·(2·x) [d"apr`es l"axiome (II-3)]
= 0K·(x+x) [d"apr`es la question (1)]
= 0K·x+ 0K·x.
En simplifiant (c"est-`a-dire, en ajoutant-(0K·x) des deux cˆot´es), on obtient l"´egalit´e 0E= 0K·x.
(3) D"apr`es la question (2), 0 E= 0K·x= (1 + (-1))·x= (1·x) + ((-1)·x) =x+ ((-1)·x), o`ula troisi`eme ´egalit´e r´esulte de l"axiome (II-2) et o`u la derni`ere ´egalit´e r´esulte de l"axiome (II-4).
On en d´eduit que (-1)·xest le sym´etrique dex, c"est-`a-dire,-x. Solution de l"exercice 2: Nous devons montrer que pour tousx,y?Fet pour toutα?R, x+αy?F. Soient doncx,y?Fetα?Rquelconques. Par d´efinition de l"intersection, pour tout k? {1,...,m},x,y?Fk. CommeFkest un sous-espace vectoriel deEnous d´eduisons que x+αy?Fk, 3 et ce pour toutk? {1,...,m}. Doncx+αyappartient `a l"intersection desFk, c"est-`a-dire, `aF. Solution de l"exercice 3: Remarquons tout d"abord queFest non vide, puisque que 0E= 0·x1+···+ 0·xm?F.
Soientx,y?Fetα?Rquelconques. Alorsxetys"´ecrivent avecα1,...,αm,β1,...,βm?R. Donc, x+αy= (α1x1+···+αmxm) +α(β1x1+···+βmxm) = (α1+αβ1)x1+···+ (αm+αβm)xm.Par cons´equent,x+αyest une combinaison lin´eaire des vecteursx1,...,xm, c"est-`a-dire, un ´el´ement
deF.Solution de l"exercice 4:
(1) Supposons queA?B, et montrons que tout ´el´ement de vectAappartient `a vectB. Soit doncx quelconque dans vectA. SiA=∅, alors vectA={0}et doncxest forc´ement le vecteur nul. Comme vectBest un sous-espace vectoriel, vectB?0 et l"on a bien vectA?vectB. SiAest non vide, alors PuisqueA?B, lesxksont aussi dansB, de sorte quexest une combinaison lin´eaire de vecteurs deB, c"est-`a-dire, un ´el´ement de vectB. On a donc encore vectA?vectB. (2) Supposons queA= vectA. Puisque vectAest un sous-espace vectoriel, il en est de mˆeme deA. R´eciproquement, supposons queAsoit un sous-espace vectoriel, et montrons queA= vectA.Remarquons que tout ´el´ement deAest une combinaison lin´eaire particuli`ere d"´el´ements deA
(prendrep= 1,α1= 1 etx1=x). Donc on a clairement l"inclusionA?vectA. De plus, siA est un sous-espace vectoriel, alorsAest non vide. Soit alorsx?vectA: PuisqueAest stable par combinaison lin´eaire,x?A. On a donc aussi l"inclusion vectA?A. (3) D"apr`es le point (1), vectA?vectB?vectF. Or, vectF=FpuisqueFest un sous-espace vectoriel. De plus, vectA=FpuisqueAengendreF. Finalement, on a :quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3[PDF] obligation de service des enseignants du premier degré 2017
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