Option B : Examen du 5 Janvier Splines cubiques 1 A propos de l PDF

2 10. Exercice 6. Splines cubiques. Dans cet exercice nous souhaitons interpoler une fonction f 2 C 2([a

TD1 : Interpolation et splines

Exercice 3 (Interpolation d'Hermite). On se donne n + 1 abscisses distinctes x0x1

Chapitre II Interpolation et Approximation

Späth (1995): One Dimensional Spline Interpolation. AK Peters. [MA 65/362] Une autre approche (utilisant l'intérpolation d'Hermite) sera l'objet d'un exercice.

Réponses aux exercices du chapitre 5

Le polynôme d'interpolation par Lagrange est donné par : pn(x) = n a) Obtenir le système linéaire de dimension 3 permettant de calculer la spline cubique.

Mathématiques et méthodes numériques (exercices)

Cours 2 : interpolation par morceaux. 14. Ou de manière plus poétique… Exemple from numpy import * from scipy.interpolate import CubicSpline as spline from

MT31- Méthodes numériques

TD4 : Interpolation spline. 111. TD5 : Méthode des moindres carrés et Exercice d'application .

Exercices avec corrigé succinct du chapitre 5

Pour m = 2 le polynôme d'interpolation s'écrit p(t)=1 − t2. Remarquons que pour m > 2

Analyse Numérique

Exercices du chapitre 3 ... interpolation cubique par morceaux de Bessel. Notons que dans ce cas la ...

Série dexercices no1/5 Interpolation polynomiale

(1 point) Déterminer la forme de Lagrange d'interpolation de f en ces nœuds. Nous appelons spline cubique une fonction S vérifiant. 1. S ∈ C 2([a

Série dexercices no1/5 Interpolation polynomiale

Exercice 1. Déteminer le polynôme P1 d'interpolation de Lagrange de f aux nœuds 0 et 1. ... Nous appelons spline cubique une fonction S vérifiant.

Exercices corrigés

NB : Les exercices corrigés ici sont les exercices proposés durant les séances de Calculer le polynôme d'interpolation L passant par ces trois points.

TD1 : Interpolation et splines

TD1 : Interpolation et splines. Interpolation. Exercice 1 (Différences divisées). Soient x0x1

Réponses aux exercices du chapitre 5

Le polynôme d'interpolation par Lagrange est donné par : b) À l'aide de la spline trouvée en a) donner une approximation de f(1. 2. ) et comparer le.

Exercices avec corrigé succinct du chapitre 5

Pour m = 2 le polynôme d'interpolation s'écrit p(t)=1 ? t2. Remarquons que pour m > 2

feuille dexercices n?7

Exercice 5 : Splines cubiques. Le but de cet exercice est l'étude d'un procédé d'interpolation d'une fonction à valeurs réelles de.

Analyse Numérique

Exercice 1.1 En écrivant un petit programme trouver la capacité et le pas de seconde continue : il s'agit alors de fonctions splines d'interpolation.

MT31- Méthodes numériques

TP2 : Interpolation polynômiale et splines Exercice d'application . ... On corrige le système (a = 1) par un correcteur à avance de phase.

Analyse numérique : Approximation de fonctions

Jan 29 2013 Splines. Analyse numérique (Pagora 1A) ... Exercice introductif (correction) ... Interpolation linéaire par morceaux (correction). Exercice ...

Option B : Examen du 5 Janvier Splines cubiques 1 A propos de l

Corrigé. 1 A propos de l'interpolation de Hermite. 1. Comme R3[X] et R4 ont la même dimension et comme ? est linéaire

Spline Interpolation - Stanford University

Spline Interpolation We’ve approached the interpolation problem by choosing (high-degree) polyno-mials for our basis functions ? i: f(x) =! n j=0 c j? j(x) This approach can be e?cient (recall the barycentric form of the Lagrange interpolant) but using high degree poly-

MATH 3795 Lecture 15 Polynomial Interpolation Splines

2 1-D spline interpolation To illustrate how splines work we begin with interpolation in one di-mension by smoothing splines [9 §5 4] [18 §8 7] This can be useful in its own right shows how the mathematics work and allows easy visual-ization In §3we then consider two-dimensional (surface) interpolation 1

MATH 3795 Lecture 15 Polynomial Interpolation Splines

Polynomial Interpolation I Given data x 1 x 2 x n f 1 f 2 f n (think of f i = f(x i)) we want to compute a polynomial p n 1 of degree at most n 1 such that p n 1(x i) = f i; i= 1;:::;n: I If x i 6= x j for i6= j there exists a unique interpolation polynomial I The larger n the interpolation polynomial tends to become more oscillatory I Let

Interpolation Exercice 2 - unistrafr

Interpolation Exercice 1 Soient les oints d'interp olation suivants : ( 1; 1);(0;1);(1;0) et (2;0) Trouvez le p olynôme d'interp olation de degré 3 pas ant par ces p oints : par 2 une par 3 une à 4 l'aide méthode d'identi cation méthode de mise des p olynômes de en facteurs Lagrange Exercice 2

TD1 : Interpolation et splines

Exercice 2 (Interpolation quadratique) SoitIun intervalle etf?C3(I) Soith >0 on notep2(x)le polynôme de degré?2quiinterpole la fonctionfaux pointsxi =x0+ih?Ipouri= 012 Montrer que ?x?[x0 x2]h3 f(x)?p2(x) ??M 93 oùMest une constante ne dépendant que de la restriction defàI ?

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3 Exercice 2 a Il y’a n 1 polyn^omes q i de degr e 3 et donc 4(n 1) = 4n 4 inconnues On a n 1 equations de la forme q i(x i) = y i n 1 equations de la forme q i(x i+1) = y

What is spline interpolation in MATLAB?

Spline Interpolation. Some MATLAB's interpolation tools.One motivation for the investigation of interpolation by polynomials isthe attempt to use interpolating polynomials to approximate unknownfunction values from a discrete set of given function values. How well does the interpolating polynomialP(fjx1; : : : ; xn)approximatethe functionf?

What is the interpolation polynomial with 10 equidistant points?

The polynomial Qni=1(x xi)with 10 equidistant points and 10Chebychev points on[ 1;1]. Ifxi 6=xjfori6=j, there exists a unique interpolation polynomial. The largern, the interpolation polynomial tends to become moreoscillatory. Letx1; x2; : : : ; xnbe unequal points.

What is the difference between aperiodic and aclamped cubic spline?

functionSsatisfying (2) is called aclamped cubic spline, and functionSsatisfying (3) is called aperiodic cubic spline. wherehi =xi+1 xi. The MATLAB's functioninterp1gives a choice the specify the methodof interpolation. which is much closer to0:5then0:4994from the linear interpolation.

How to uniformly approximate a sine function by interpolating polynomials?

where!(x) =Qnj=1(x xj). he interpolation nodes(maxx2[a;b]jQni=1(x xi)j). P(fjx1; : : : ; xn)(x)j (b n! Thus, on any interval [a; b] the sine function can be uniformlyapproximated by interpolating polynomials.

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Option B : Examen du 5 Janvier

Splines cubiques

Il est important de rédiger de façon claireETsynthétique.

On peut bien entendu admettre le résultat de n"importe quelle question pour passer à la suivante.PARTIE THÉORIQUE1 A propos de l"interpolation de Hermite

On se donne deux points distinctsxg< xdainsi que quatre réelsyg;yd;zgetzd. 1.

Montrer que l"application linéaire

:R3[X]7!0 B

B@p(xg)

p 0(xg) p(xd) p

0(xd)1

C CA;

est bijective, où on rappelle queR3[X]est l"ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur

ou égal à3.

En déduire qu"il existe un unique polynôme de degré inférieur ou égal à3vérifiant

8>>>< >>:p(xg) =yg; p(xd) =yd; p

0(xg) =zg;

0(xd) =zd:

Ce polynôme est appelé le polynôme d"interpolation de Hermite pour ces données. 2. Donner une e xpressione xplicitede pen fonction des données. On pourra chercherpsous la forme p(x) =q0(x) + (xxg)(xxd)q1(x);

oùq0etq1sont des polynômes de degré inférieur ou égal à1que l"on déterminera, par exemple, dans la

base des polynômesxxgetxxd. 3. Montrer qu"il e xisteune constante uni verselleC >0(i.e. indépendante desx;yetz) telle qu"on ait sup x2[xg;xd]jp(x)j C(jygj+jydj) +Cjxdxgj(jzgj+jzdj): 4. Calculer p00(xg)etp00(xd)en fonction dexg;xd;yg;yd;zg;zd. 5.

Soit maintenant fune fonction de classeC4. On suppose que les données d"interpolation sont définies par

y g=f(xg);yd=f(xd);zg=f0(xg);etzd=f0(xd): Montrer que dans ces conditions, le polynôme de Hermitepvérifie l"estimation d"erreur suivante

8x2[xg;xd];92]xg;xd[;tel quef(x)p(x) = (xxg)2(xxd)2f(4)()4!

En déduire que

sup [xg;xd]jfpj jxdxgj4kf(4)k1384

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2 Existence et unicité de la spline cubique contrainte interpolante

On se donne des pointsx1< ::: < xnéqui-distants ainsi quenvaleursy1;:::;yn, et deux autres réelszdetzn.

On noterahle pas de la subdivision, i.e.xi+1xi=hpour touti.

Le but de cette partie est de démontrer le résultat suivant : il existe une unique fonction: [x1;xn]!R

vérifiant est de classeC2sur[x1;xn], (P1) interpole les valeurs données, i.e.(xi) =yi;8i= 1;:::;n. (P2)

La restriction deà chaque intervalle[xi;xi+1]est un polynôme de degré inférieur ou égal à3. (P3)

0(x1) =z1;et0(xn) =zn:(P4)

Une fonction vérifiant (P1),(P2) et (P3) est appelée une spline cubique interpolante. Si de plus, elle vérifie une

condition du type (P4), elle est ditecontrainte. 1.

Montrer qu"une telle fonction est complètement déterminée par la connaissance des((xi))1inet des

(0(xi))1in.

Par hypothèse, les valeurs deaux noeuds sont connues, on va donc chercher dans la suite à déterminer

les valeurs que0doit prendre en ces noeuds pour vérifier toutes les conditions demandées. 2.

Soient donc z1;z2;:::;zn1;znles valeurs de0aux noeuds à déterminer (la première et la dernière sont

en fait des données du problème).

Ecrire les équations (dépendant deh) que doivent vérifier les(yi)iet les(zi)ipour que la fonction

associée soit de classeC2. 3.

Ecrire ces équati onssous la forme d"un système linéaire carré de taille n2notéAZ=GoùZ=

(z2;:::;zn1)et oùGest un second membre dépendant des donnéesy1;:::;ynetz1;znque l"on explicitera.

4. Montrer que si ce système admet une solution alors on a l"estimation kZk1= max2in1jzij jz1j2 +jznj2 + 3 max2in1 y i+1yi12h On pourra s"intéresser à un indice2in1pour lequeljzij=kZk1, et regarder l"équation correspondante du systèmeAZ=G. 5. En déduire que le problème AZ=Gadmet une unique solution et que celle-ci vérifie kZk14kf0kL1(]a;b[): Conclure enfin à l"existence et unicité de la spline cubique contrainte interpolante pourf.

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Agrégation Externe de Mathématiques UPS - 2015/2016 PARTIE NUMÉRIQUE3 Mise en oeuvre et expérimentations numériques

On reprend ici les notations précédentes. On se donne un intervalle[a;b]deRet une fonctionfde classeC4

sur[a;b]. On suppose que la discrétisation est choisie de sorte quex1=aetxn=b, et donc que h=ban1:

On pose maintenant

y i=f(xi);8i2 f1;:::;ng;etz1=f0(x1); zn=f0(xn):

On souhaite calculer en Scilab la spline cubique interpolantecorrespondant à ces données et évaluer numérique-

ment l"erreur d"interpolation entrefet(resp. enf0et0) en fonction du pas de la discrétisation.

Plus précisément, on admet qu"on peut démontrer (ce n"est pas demandé ici) que l"on a les estimations sui-

vantes (pour unC >0indépendant deh, donc den) max

1injf0(xi)0(xi)j Ch4;(E1)

kf00kL1(]a;b[)Ch3;(E2) kfkL1(]a;b[)Ch4:(E3) 1. Ecrire une fonction Scilab function[Y,Z]= parametres_spline (a,b,n,f,f_prime) endfunction qui, à partir de la donnée dea,b,f,f0etncalcule les valeurs((xi))1inet(0(xi))1inde la spline

cubique interpolanteet de sa dérivée aux points d"interpolation équirépartis sur[a;b]. On utilisera la

méthode décrite dans la question II.3. 2.

Illustrer numériquement s urun e xemple,à l"aide d"une courbe en échelle log arithmique,l"e stimation( E1).

On pourra par exemple choisira= 0;b= 1etf(x) = sin(10x+ 1), mais tout autre exemple (non trivial) peut tout à fait convenir. 3. Ecrire une fonction Scilab function[i]= indice (a,b,n,x) endfunction qui poura;b;netx2]a;b[donnés, calcule l"unique indicei2 f1;:::;n1gtel quex2[xi;xi+1[. 4. Ecrire deux fonctions Scilab function[val_pi]= valeur_spline (a,b,n,Y,Z,x) endfunction function [val_pi_prime]= valeur_derivee_spline (a,b,n,Y,Z,x) endfunction qui poura;b;n;Y;Zetx2]a;b[donnés, calculent respectivement les valeurs(x)et0(x)de la spline

cubique pour les données d"interpolationY= (y1;:::;yn)etZ= (z1;:::;zn)et de sa dérivée au pointx.

Pour tester numériquement les estimations ( E2), (E3) on est confrontés à la difficulté de l"estimation de la

normeL1de la différence de deux fonctions. Pour ce faire on utilise la méthode aléatoire suivante

Choisir un entier M >0suffisamment grand.

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T ireraléatoirement

1Mpoints choisis selon la loi uniforme sur[a;b]et notésxk,k= 1;:::;M(ne pas

confondre avec les points d"interpolationx1;:::;xn). On décide alors d"estimer la norme infinie d"une fonction g par kgk1max1kMjg(xk)j: Programmer deux fonctions Scilabfunction[erreur]= erreur_spline (a,b,f,f_prime,n,M) endfunction function [erreur]= erreur_derivee_spline (a,b,f,f_prime,n,M) endfunction qui poura;b;f;f0;netMdonnés, renvoient respectivement une estimation dekfk1et dekf00k1 calculées par la méthode précédente.

Illustrer à l"aide de courbes logarithmiques les estimations d"erreur (E2),(E3). On fixera par exempleM=

5000, ce qui suffira pour des valeurs deninférieures à100par exemple.1. La commande Scilaba+(b-a)*rand([1:M])permet de faire cela

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Corrigé

1 A propos de l"interpolation de Hermite

Comme R3[X]etR4ont la même dimension, et commeest linéaire, il suffit de vérifier que son noyau

est réduit à0. Or, si un polynômep2R3[X]est dans le noyau de, cela signifie que p(xg) =p0(xg) = 0; p(xd) =p0(xd) = 0: Ceci montre quexgetxdsont deux racines doubles distinctes dep, donc le polynôme(xxg)2(xxd)2 doit diviserp. Commedeg(p)3, ceci n"est possible que sipest nul, ce qui conclut la preuve. 2.

On adopte l"écriture proposée

p(x) =q0(x) + (xxg)(xxd)q1(x); avec q

0(x) =a(xxg) +b(xxd);

1(x) =(xxg) +(xxd):

En évaluantpenxgetxd, on trouve de suite

p(xg) =b(xgxd);etp(xd) =a(xdxg); ce qui donne b=ygx gxd;eta=ydx dxg:

On évalue maintenantp0enxgetxdet on trouve

0(xg) = (a+b) + (xgxd)q1(xg) = (a+b) +(xdxg)2;

0(xd) = (a+b) + (xdxg)q1(xd) = (a+b) +(xdxg)2:

Ce qui donne

=1(xdxg)2 z gydygx dxg =1(xdxg)2 z dydygx dxg L"expression du polynôme de Hermite est donc in fine p(x) =ydx dxg(xxg) +ygx dxg(xxd) (xxg)(xxd)(xdxg)2zdzg=d(xxg) +zgzg=d(xxd); où on a défini z g=d=ydygx dxg:

Pour la partie numérique, on aura également besoin de l"expression de la dérivée du polynome de Hermite

0(x) =zg=d+(xxg)2(xdxg)2(zdzg=d)+(xxd)2(xdxg)2(zgzg=d)+2(xxg)(xxd)(xdxg)2(zg+zd2zg=d):

3.quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

[PDF] Option B : Examen du 5 Janvier Splines cubiques 1 A propos de l

What is spline interpolation in MATLAB?

What is the interpolation polynomial with 10 equidistant points?

What is the difference between aperiodic and aclamped cubic spline?

How to uniformly approximate a sine function by interpolating polynomials?

Option B : Examen du 5 Janvier

Splines cubiques

Montrer que l"application linéaire

B@p(xg)

0(xd)1

0(xg) =zg;

0(xd) =zd:

8x2[xg;xd];92]xg;xd[;tel quef(x)p(x) = (xxg)2(xxd)2f(4)()4!

En déduire que

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2 Existence et unicité de la spline cubique contrainte interpolante

0(x1) =z1;et0(xn) =zn:(P4)

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On pose maintenant

1injf0(xi)0(xi)j Ch4;(E1)

Choisir un entier M >0suffisamment grand.

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T ireraléatoirement

1Mpoints choisis selon la loi uniforme sur[a;b]et notésxk,k= 1;:::;M(ne pas

5000, ce qui suffira pour des valeurs deninférieures à100par exemple.1. La commande Scilaba+(b-a)*rand([1:M])permet de faire cela

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Corrigé

1 A propos de l"interpolation de Hermite

On adopte l"écriture proposée

0(x) =a(xxg) +b(xxd);

1(x) =(xxg) +(xxd):

En évaluantpenxgetxd, on trouve de suite

On évalue maintenantp0enxgetxdet on trouve

0(xg) = (a+b) + (xgxd)q1(xg) = (a+b) +(xdxg)2;

0(xd) = (a+b) + (xdxg)q1(xd) = (a+b) +(xdxg)2:

Ce qui donne

0(x) =zg=d+(xxg)2(xdxg)2(zdzg=d)+(xxd)2(xdxg)2(zgzg=d)+2(xxg)(xxd)(xdxg)2(zg+zd2zg=d):