Outils Mathématiques 4 EXERCICES
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Exercice 1 : a) Donner l'altitude des points A B
L1 ÉCO-DROIT 2009-10 (Cours de L.Gerin) CONTRÔLE CONTINU
Sauf pour l'exercice 1 tous les raisonnements devront être détaillés. Barème provisoire : 4pts f(x
RELIEF et COURBES de NIVEAU
ce sont les courbes de niveau. Une courbe de niveau est une ligne imaginaire qui joint tous les points situés à une même altitude. Sur certaines d'entre
´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
Tracer les courbes de niveau z = 0 z = 1 et z = 2. 4. Tracer l'intersection Exercices supplémentaires : Les exercices suivants sont plus difficiles que.
Exercices de cartographie géologique
On observe l'extrémité d'un pli puisqu'on peut suivre
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Exercices d'évaluation. Restitution des connaissances. 1 Pour chaque question 7 L'équidistance des courbes de niveau est : a - l'écartement des courbes de ...
1 Dérivées dérivées partielles et courbes de niveau
https://www.parisschoolofeconomics.eu/docs/chassagnon-arnold/td6-mathstats-l1gest-2020-corrige.pdf
CORRIGÉ
courbe de niveau et dirigé dans le sens des niveaux croissants. Exercice 2. : 1. Trouver le gradient de la fonction g(x y) = x - x3 + xy + sin
Niveau 11
Les courbes de niveau. En course d'orientation on a généralement. 5 mètres entre chaque courbe
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d'altitude les différences de niveau
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Exercice 1 : a) Donner l'altitude des points A B
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CORRIGÉ
courbe de niveau et dirigé dans le sens des niveaux croissants. Exercice 2. : 1. Trouver le gradient de la fonction g(x y) = x - x3 + xy + sin
DES CLES DE LECTURE DES COURBES DE NIVEAU ET
déterminer les emplacements des points du profil. Utiliser les données cumulées de préférence. Exercice 3 : Construire le profil topographique à partir des
Courbes de niveau
Les élèves apprennent ce que sont les courbes de niveau et ce Office fédéral de topographie – fiches d'exercices supplémentaires:.
Exercice 1 Exercice 2
Feuille d'exercices numéro 2 : Fonctions de plusieurs variables Déterminer le domaine de définition et tracer les courbes de niveau pour les valeurs c ...
Exercices corrigés Fonctions de deux variables Fonctions convexes
Représenter sur le même dessin que la question 1 les courbes de niveau C1C?1/2 et C0. 3. Calculer le gradient de f en tout point de Df .
30/10/2013 Correction des exercices associés au cours sur les
30 oct. 2013 Exercice 1.47. Représenter sur un même graphique
1 Courbes de niveau - unicefr
aux courbes de niveau il monte ou il descend passant d’un niveau a un autre niveau A cot´e des courbes d’´egale altitude il y a beaucoup d’autres exemples de courbes de niveau comme les courbes d’´egale temp´erature (isothermes) ou d’´egale pression (isobares) en m´et´eorologie Math´ematiquement la courbe de niveau k d
1 Courbes de niveau - unicefr
Première L cours courbes de niveau 1 1 Repérage dans l’espace 1 1 Définitions Soit O un point de l’espace et ? i ? j ? k trois vecteurs non coplanaires A chaque point M de l’espace on peut associer d’une façon unique trois nombres réels a b et c tels que : ? OM = a ? i+ b ? j+ c ? k
Exercices Courbes de Niveau - Collège Sacré Coeur
Associer les courbes de niveau au relief qu’elles représentent Exercices courbes de niveau Author: FRAISSE Created Date: 2/21/2017 5:26:38 PM
Fonctions de deux variables - unicefr
Courbes de niveau Les courbes de niveau d’une fonction f de deux variables sont les lieux ou` f est constante il y en a une par valeur prise : Niv c:= {M ? R2f(M) = c} Exemple Pour f := (xy) 7?x2 +y2 et c positif la courbe de niveau c est le cercle de rayon ? c centr´e en l’origine
CORRIGE´ - unicefr
Exercice 1 : On consid`ere la fonction de deux variables f(xy) = x2 + y2 dont des courbes de niveau sont represent´ees sur le dessin suivant 1 Marquer le point M de coordonn´ees (? ? 2 ? 2) Quelle est l’´equation de la courbe de niveau de f passant par ce point? Quelle forme a cette courbe?
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Exercice 4 Soit la fonction f(x; y) = sinxsiny Faire un dessin repr esentant toutes les courbes de niveaux de f: Solution:-10 -5 0 5 10-10-5 0 5
Qu'est-ce que les courbes de niveau ?
- 1 Courbes de niveau : Les courbes de niveau sont en cartographie les courbes reliant les points de la carte ayant la mˆeme altitude : un chemin qui suit les courbes de niveau est a plat (il ne monte ni ne descend), s’il est tranverse aux courbes de niveau, il monte ou il descend, passant d’un niveau a un autre niveau.
Comment calculer les courbes de niveau?
- Les courbes du produit « Courbes de niveau » sont calculées avec une équidistance de 5 mètres. L’équidistance est la distance verticale qui sépare sur le terrain les plans horizontaux contenant deux courbes de niveau successives d'une carte. 3.1.3 Courbes maîtresses
Qu'est-ce que les courbes de niveau en cartographie?
- En cartographie, ces courbes permettent de repr?senter les caract?ristiques topographiques tridimensionnelles d'un terrain au moyen d'une carte ou d'un plan ? deux dimensions. Quelles sont les caract?ristiques des courbes de niveau en cartographie?
Quels sont les avantages des courbes de niveau ?
- Et les courbes de niveau vont nous aider à se représenter cela. C’est quelque chose qui peut être utile pour s’orienter, pour savoir quelles parties d’un itinéraire sont en montée ou en descente et par exemple pour connaître la pente également.
Portail Maths et applications - L2OM3
Universite de Rennes 12018{2019
Feuille d'exercices numero 2 : Fonctions de plusieurs variables, limites et continuite Correction de quelques exercices non traites en TDExercice 1
Donner l'ensemble de denition des la fonctions suivantes : f(x; y) = ln(x+y); f(x; y) =py2x2; f(x; y) =ln(expx1)px2+y23;
f(x; y) =xx2y2; f(x; y) =1cos(xy); f(x; y) =ln(yx2)pxy
Exercice 2
Determiner le domaine de denition et tracer les courbes de niveau pour les valeurscindiquees pour les
fonctions suivantes : f(x; y) =xyx2+y2;c= 0;1=2;f(x; y) =x2y2;c= 0;1;f(x; y) =x2+yx+y2;c= 0;1;
f(x; y) =xyx+yxy ;c= 1;2;f(x; y) =x4+y48x2y2;c= 2;f(x; y) =xy jxyj;c=1;0;1:Solution:
5)f(x; y) =x4+y48x2y2; c= 2
Le domaine de denition defestDf=f(x;y)2R2;8x2y26= 0g=f(x;y)2R2;(xy)26= 8g=f(x;y)2 R2;p(xy)26=p8g=f(x;y)2R2;jxyj 6= 2p2g=R2 fjxyj= 2p2g:
Le domaine de denition defest le complementaire dansR2de la parabole d'equationjxyj= 2p2. La courbe de niveauf(x;y) = 2 est d'equationx4+y48x2y2= 2, ce qui donnex4+y4= 162x2y2qu'on ecrit(x2+y2)2= 16, en prenant la racine carree on obtientx2+y2= 4, on reconna^t l'equation du cercle centre
en l'origine et de rayon 2:Il faudrait retirer a ce cercle les points (x;y) pour lesquelsx2y2= 8, points qui ne
sont pas dans le domaine de denition def:Les points du cercle veriant cette relation verient :x2+8x 2= 4 c-a-dx44x2+ 8 = 0 qu'on peut ecrire sous la forme (x22)2+ 4 = 0:Mais (x22)2+ 44>0, d'ou, l'equation n'a pas de solutions dansR:Donc on ne retire aucun points, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 2 est le cercle centre en l'origine et de rayon
2:6)f(x; y) =xy jxyj; c=1;0;1
Le domaine de denition defestDf=R2:
Rappel :jxyj=(
xysixy (xy)sixy i) La c ourbede niv eauf(x;y) =1, est d'equationxyjxyj=1, alors sixy, on auraxyx+y=1, ce qui entra^ne 0 =1 ce qui est absurde, donc cette partie est vide; maintenant sixy, on aura
xy+xy=1, ce qui donne 2y= 2x+ 1 c-a-dy=x+12Ainsif(x;y) =1 est la droitey=x+12
:(dans ce cas on axy:) -2-112 2 1 12ii)La courb ede niv eauf(x;y) = 0, est d'equationxyjxyj= 0, alors sixy, on auraxyx+y= 0,
ce qui entra^ne 0 = 0 ce qui est toujours vrai, donc cette partie est egale a l'ensemble des points (x;y) tels
quexy; maintenant sixy, on auraxy+xy= 0, ce qui donne 2y= 2xc-a-dy=x:( qui est contenue dans la premiere partie)Ainsif(x;y) = 0 est le demi-planxy:
1.0-0.50.00.51.0
1.0 0.5 0.0 0.51.0iii)La courb ede niv eauf(x;y) = 1, est d'equationxyjxyj= 1, alors sixy, on auraxyx+y= 1,
ce qui entra^ne 0 = 1 ce qui est absurde, donc cette partie est vide; maintenant sixy, on aura xy+xy= 1, ce qui donne 2y= 2x1 c-a-dy=x12 mais alorsy < x, donc pas de solutionAinsif(x;y) = 1 est l'ensemble vide.
Exercice 3
Determiner le domaine de denition, les courbes de niveaux ac= 0;1;1;2;3 dans chacun des cas suivants :
f(x; y) =px2+y2; f(x; y) =xy
Solution:
1.Comme x2+y20,f(x;y) =px
2+y2est denie pour tout point (x;y)2R2, d'ou son domaine de
denitionDf=R2: (a)f(x;y) = 0 est equivalent ax=y= 0, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 0 est l'ensemblef(0;0)g: (b)f(x;y) = 1 est equivalent ax2+y2= 1, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 1 est le cercle centre en (0;0) et de rayon 1: (c)f(x;y) =1 est equivalent ax2+y2=1, qui n'a pas de solution, puisqu'un l'un est positif et l'autre negatif, ainsi la courbe de niveauf(x;y) =1 est l'ensemble vide;: (d)f(x;y) = 2 est equivalent ax2+y2= 2, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 2 est le cercle centre en (0;0) et de rayonp2: (e)f(x;y) = 3 est equivalent ax2+y2= 3, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 3 est le cercle centre en (0;0) et de rayonp3:2.f(x;y) =xy
est denie siy6= 0, ainsi domaine de denitionDf=f(x;y)2R2;y6= 0g=R2 fy= 0g: (a)f(x;y) = 0 est equivalent ax= 0, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 0 est l'axe desyprive de l'origine ( qui n'est pas dansDf). (b)f(x;y) = 1 est equivalent ax=y, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 1 est la droite d'equaation y=xprive de l'origine. (c)f(x;y) =1 est equivalent ax=y, ainsi la courbe de niveauf(x;y) =1 est la droite d'equaation y=xprive de l'origine. (d)f(x;y) = 2 est equivalent ax= 2y, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 2 est la droite d'equaation y=x2 prive de l'origine. (e)f(x;y) = 3 est equivalent ax= 3y, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 3 est la droite d'equaation y=x3 prive de l'origine.Exercice 4
Soit la fonctionf(x; y) = sinxsiny. Faire un dessin representant toutes les courbes de niveaux def:Solution:-10-50510
10 5 0 510Exercice 5
Determiner les limites suivantes quand elles existent : lim (x;y)!(0;0)exp(x2+y2)1x2+y2lim(x;y)!(0;0)sinxsinyxy
lim(x;y)!(0;0)sinxsinyx2+y2lim(x;y)!(0;0)xjyj
Exercice 6
Pour une fonctionz=f(x; y) on denit lorsqua cela est possible : l= lim(x;y)!(a;b)f(x; y); m= limx!a(limy!bf(x; y)); n= limy!b(limx!af(x; y))En utilisant les fonctions :
f(x; y) =x2y2x2+y2; f(x; y) =xyx
2+y2; f(x; y) =sinxy
; f(x; y) =sinyxainsi que le point (a; b) = (0;0) , montrer que l'on peut rencontrer les trois situations suivantes :
{Deux de ces trois limites existent mais pas la troisieme. {Une de ces trois limites existe sans que les deux autres existent. {Les limitesmetnexistent mais sont distinctes.Exercice 7
Etudier la continuite au point (0;0) des fonctions denies comme suit :8(x; y)6= (0;0);f(x; y) =jxy
jetf(0;0) = 1;8(x; y)6= (0;0);f(x; y) =x4+y4x2+y2etf(0;0) = 0
8(x; y)6= (0;0);f(x; y) =2x2y2+ 4xy4x2+y2etf(0;0) = 3;
8(x; y)6= ((0;0);f(x; y) =ysinxy
etf(0;0) = 0:Exercice 8
Determiner si les fonctions suivantes peuvent ^etre prolongees en l'origine : f(x; y) =x2yx2+y2+xy; f(x; y) =x3+y3x
2+y3; f(x; y) =x2y2x
2+y2; f(x; y) =x7+x4y+x3yx
6+x3y+y3:
Solution:On rappelle que pour prolonger une fonctionfpar continuite en un point (x0;y0) il faudrait montrer
que la limite def(x;y) lorsque (x;y) tend vers (x0;y0) existe.1.f(x;y) =x2yx
2+y2+xy:
En passant en coordonnees polaires, tout point (x;y)2R2 f(0;0)gest represente par (x;y) = (rcos;rsin) avecr=px2+y2:Alors lim(x;y)!(0;0)x2yx
2+y2+xy=r3cossinr
2(1+cossin)=rcossin1+cossin:
On a cossin=sin(2)2
d'oujcossinj 12 et par suite cossin1 + cossin cossin1 jcossinj 1112= 2:
Alors lim
r!0rcossin1+cossinlimr!02r= 0 on en deduit que lim (x;y)!(0;0)f(x;y) = lim(x;y)!(0;0)x 2yx2+y2+xy= limr!0rcossin1 + cossin= 0
doncfadmet un prolongement par continuite en (0;0) parf(0;0) = 0:2.f(x;y) =x3+y3x
2+y3: En considerant les cheminsx= 0 puisy= 0 on aura, limx!0f(x;0) = limx!0x3x2= limx!0x= 0
et lim y!0f(0;y) = limy!0y3y3= limy!01 = 1, comme ces deux limites sont dierentes, la fonction
f(x;y) =x3+y3x2+y3n'a pas de limite en (0;0), par suite elle n'admet pas de prolongement par continuite en
l'origine.3.f(x;y) =x2y2x
2+y2On a lim
x!0f(x;x) = limx!0x2x2x2+x2= limx!00 = 0 et limx!0f(x;0) = limx!0x2x
2= limy!01 = 1,
comme ces deux limites sont dierentes, la fonctionf(x;y) =x2y2x2+y2n'a pas de limite en (0;0), par suite
elle n'admet pas de prolongement par continuite en en l'origine.4.f(x;y) =x7+x4y+x3yx
6+x3y+y3:
En considerant les cheminsx= 0 puis la paraboley=x2on aura, limx!0f(x;0) = limx!0x3x 2= lim x!0x= 0 On a limx!0f(x;0) = limx!0x7x6= limx!0x= 0 et lim(x;y)!(0;0)
y=x2f(x;y) = limx!0f(x;x2) = lim x!0x7+x6+x5x6+x5+x6= limx!0x5(x2+x+1)x
5(2x+1)= limx!0x2+x+12x+1= 1, comme ces deux limites sont dierentes, la
fonctionf(x;y) =x7+x4y+x3yx6+x3y+y3n'a pas de limite en (0;0), par suite elle n'admet pas de prolongement par
continuite en l'origine.Exercice 9
Soit la fonctionfdenie comme suit :
f:R2!R=(x; y)!f(x; y) =( xy x2y2x2+y2si (x; y)6= (0;0) ;
0 si (x; y) = 0:
Etudier la continuite de cette fonction.
Exercice 10
Comment faut il choisir le nombre reelpour que la fonction denie comme suit : f:R2!R=(x; y)!f(x; y) =(1cospx
2+y2x2+y2si (x; y)6= (0;0) ;
si (x; y) = 0: soit continue?Exercice 11
Montrer que la fonction denie comme suit :
f:R2!R=(x; y)!f(x; y) =( x4y(yx2)siy(yx2)6= 0;0 siy(yx2) = 0:
n'est pas continue en l'origine mais que ses restrictions a toute droite passant par (0;0) sont continues.
Solution:Le but de l'exercice est de souligner qu'il ne sut pas de montrer que la restriction d'une fonction
a toute droite est continue en un point pour deduire qu'elle est continue en ce point. 1. Si on restrein tfa la droitey=x, on auraf(x;x) =x4x(xx2)=x4x(xx2)=x2(x), alors lim (x;y)!(0;0) y=xf(x;y) = limx!0x2(x)= 0 =f(0;0):
Si on restreintfa la droite, a l'xe desy,x= 0, on auraf(0;y) =0y(y0)= 0, ainsi lim (x;y)!(0;0) x=0f(x;y) = lim y!00 = 0 =f(0;0): On a donc la restriction defa toute droite est continue en (0;0): 2. Mais, si on consid erela par aboley= 2x2, on af(x;2x2) =x42x2(2x2x2)=x42x2(2x2x2)=x42x4=12 ;d'ou lim (x;y)!(0;0) y=2x2f(x;y) = limx!0f(x;2x2) = limx!012 =126=f(0;0):D'oufn'est pas continue en (0;0):
Exercice 12
Pour chacune des fonctions suivantes denies sur un sous ensemble deR2, a valeurs dansR, donner son domaine de denition et dire en le justiant si elle admet ou non un prolongement continu surR2: f1(x; y) =x+yx
2+y2;f2(x; y) =yx
2exp(jyjx
2);f3(x; y) = (x5y)sin(xx
2y2)Solution:On rappelle que pour prolonger une fonctionfpar continuite en un point (x0;y0) il faudrait montrer
que la limite def(x;y) lorsque (x;y) tend vers (x0;y0) d existe.1.f1(x;y) =x+yx
2+y2est denie six2+y26= 0 ce qui equivaut a (x;y)6= (0;0), ainsi son domaine de denition
estDf1=R2 f(0;0)g: La fonctionf1(x;y) est continue surDf1=R2 f(0;0)g, car c'est le quotient de deux polyn^omes ( et le denominateur ne s'annule pas).Maintenant, on considere l'origine (0;0).
Le long de la droitey= 0, onf(x;0) =xx
2=1x , mais comme limx!01x =1; f(x;y) n'a donc pas de limite en (0;0), ainsifn'admet pas de prolongement continu surR2:2.f2(x;y) =yx
2exp(jyjx
2) est denie six6= 0, ainsi son domaine de denition estDf2=R2f(0;y);y2Rg:
( le plan prive de laxe desy) La fonctionf2(x;y) est continue surDf2, car c'est produit et composition de fonctions continues.Il reste a etudier l'existence de la limite en un point qui est hors du domaineDf2c-a-d un point (0;y0):
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