[PDF] Jeu de taquin et générateurs du groupe alterné

Qu'est-ce que le groupe qui opère sur le jeu de taquin ?

Le groupe qui opère sur le jeu de taquin est un sous-groupe du groupe alterné A15, qui ne contient aucune transposition. C'est une manière simple de démontrer que la configuration de droite n'est pas résoluble. D'autres solitaires, comme l'Âne rouge ou le Rubik's cube utilisent de manière analogue le groupe alterné.

Qu'est-ce que le groupe alterné ?

Pour les articles homonymes, voir Alterné . En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, le groupe alterné de degré n, souvent noté An, est un sous-groupe distingué du groupe symétrique des permutations d'un ensemble fini à n éléments. Ce sous-groupe est constitué des permutations produits d'un nombre pair de transpositions.

Qu'est-ce que le jeu de taquin ?

Le jeu de taquin, est un jeu solitaire qui se présente sous la forme d'un damier composé de 15 cases et d'une 16e manquante. Sa théorisation mathématique date de 1879 et se fonde sur les propriétés du groupe alterné 6. Une des questions posée par Sam Loyd est celle de la résolution du jeu de taquin illustré à droite.

Comment permuter deux cases du taquin sans modifier le reste du jeu ?

Cette propriété permet de montrer qu'il n'est pas possible de permuter deux cases du taquin sans modifier le reste du jeu. Les groupes alternés de degré 4 et 5 se représentent comme le groupe des rotations laissant invariant un polyèdre régulier, le tétraèdre pour A4 et le dodécaèdre régulier ou encore l' icosaèdre pour A5 .