Contents 1 Réels
Exercice 55 (Distance `a une partie dans un espace 1) Montrer que d et f∗d sont topologiquement équivalentes si et seulement si f est un homéomorphisme.
Espaces métriques
12 oct. 2009 (ii) Ces distances sont topologiquement équivalentes. Démonstration ... alors que les deux distances sont uniformément équivalentes (voir Exercice ...
Corrigé des Exercices dapprofondissement du chapitre 2.
distance sur R qui est topologiquement équivalente `a la distance d1. Exercice 2.25. Il suffit toujours selon le même principe
1 Topologies distances
http://math.univ-lyon1.fr/~brandolese/enseignement/L3topologie/fiches-TD-topo.pdf
Topologie
Séries d'exercices avec corrigés. p.66. Sujets d'examens avec corrigés. p Deux distances uniformément équivalentes sont topologiquement équivalentes et la ré-.
Exercices de licence
distance sur U équivalente (topologiquement) `a d et que. (U δ) est complet. Exercice 248 Soit X un espace métrique et (an) une suite de Cauchy dans X. 1 ...
1 Topologie métrique
Si E = R d est-elle topologiquement equivalente à la distance usuelle ? Exercice 3. On considère l'espace R muni de la distance d(x
TD de topologie et calcul différentiel– Corrigé de la Feuille 3
Par ailleurs il est clair que d ≤ d ≤ 2d . On en conclut que les distances sont équivalentes comme dans la fin de l'exercice 1. Exercice 7. A l'aide des
Analyse Fonctionnelle TD 1 : Espaces métriques. Espaces vectoriels
Exercice 4 (Equivalence de distances). Soit (X d) (b) Comme les deux distances sont uniformément équivalentes
Analyse Fonctionnelle TD 1 : Espaces métriques. Espaces vectoriels
2 oct. 2015 L'ensemble B?(l ?) est un ouvert de (X
1 Topologies distances
http://math.univ-lyon1.fr/~brandolese/enseignement/L3topologie/fiches-TD-topo.pdf
1 Université Bordeaux1 2013. MA4011
https://www.math.u-bordeaux.fr/~npopoff/fichiers/enseignement/topo15/ds1-13.pdf
Exercices de licence
Exercice 79 On désigne par d(a b) la distance euclidienne usuelle de a
Exercices de mathématiques - Exo7
On désigne par d(ab) la distance euclidienne usuelle de a
3M360 : Topologie et Calcul Différentiel Livret dexercices
Corrigé de l'exercice 1. la distance d1 (ou d'une distance équivalente). ... X ×Y : d'apr`es le crit`ere topologique de continuité on en déduit que la ...
Cours et exercices corrigés
Dimension topologique. 287. Exercices. 297. Corrigés. 300. Chapitre 8. x ? X}; cette distance est associée à une norme quand Y est un espace vectoriel.
Filière SMA Module de topologie Cours exercices et anciens
Cours exercices et anciens examens avec corrigés. Hamza BOUJEMAA Deux distances sont topologiquement équivalentes si tout ouvert pour.
Université Paul Sabatier L3 MAF 2015-2016 Topologie et analyse
Lipschitz-équivalentes ? uniformément équivalentes ? topologiquement Corrigé. Exercice 1. 1) c0 est un sous-espace vectoriel de l'espace de Banach l? ...
Introduction `a la Topologie
1 avr. 2014 de faire est de chercher `a résoudre le maximum d'exercices par soi-même ... b) Les distances d et d sont topologiquement équivalentes si et ...
[PDF] 1 Topologies distances normes
Exercice 1 Montrer que dans un espace topologique la réunion infinie de fermés n'est pas toujours un fermé Montrer que l'intersection infinie d'ouverts
[PDF] Topologie - Faculté des Sciences de Rabat
Cours exercices et anciens examens avec corrigés Séries d'exercices avec corrigés On parle alors de distances topologiquement équivalentes:
[PDF] Analyse Fonctionnelle TD 1 : Espaces métriques Espaces vectoriels
(b) Comme les deux distances sont uniformément équivalentes elles sont topologiquement équivalentes et donc définissent les mêmes suites convergentes d'après
[PDF] Topologie des espaces métriques Mme Strouse CORRIGE
20 mar 2023 · (c) La distance d est-elle topologiquement équivalente `a la distance dusuelle de l'exercice 4? Oui la continuité de la fonction g et de son
[PDF] TD de topologie et calcul différentiel– Corrigé de la Feuille 3
On en conclut que les distances sont équivalentes comme dans la fin de l'exercice 1 Exercice 7 A l'aide des suites et de la caractérisation de l'adhérence et
[PDF] Topologie générale - Exo7 - Exercices de mathématiques
Montrer que ce sont deux normes équivalentes sur E Indication ? Correction ? [002347] Exercice 9 On désigne par d(ab) la distance euclidienne
[PDF] Exercices de Topologie
Exercice 48 (Distance SNCF) On munit R2 muni de la norme euclidienne · Pour tout x et y dans R2 on définit D(x y) = x ? y si x et y sont colinéaires et D
[PDF] Exercices de licence
Exercice 71 Montrer que sur Rn les distances d euclidienne d? et d1 définissent Les deux métriques associées sont-elles topologiquement équivalentes?
[PDF] Correction de la série N120-21 Belhadjpdf
Exercice 4 1 Montrer que deux distances métriquement équivalentes sont topologiquement équivalentes 2 Soit ? : R+ ? R+ une application strictement
I : Espaces metriques.
Exercice 1: Exemples d'espaces metriques.
Verier que les espaces suivants sont des espaces metriques : 1) R avecd(x;y) =j1x 1y j.Trouver les boules ouvertes pour cette metrique. 2) R nmuni de la metriquel1.3)C[a;b] avecd(f;g) =Sup[a;b]jfgj.
4) R nmuni de la metriquel2.5)E=f0;1gNavecd(a;b) =P1n=112
njanbnj.Exercice 2.
Soient (E;d) un espace metrique,x2Eetr >0.
1)Montrer que la boule ouverteB(x;r) est un ouvert deE.
2)Montrer quefxgest un ferme deE.
Exercice 3: Espace discret.
SoientEun ensemble etd:E2!R+l'application denie pour tousxet ypar :d(x;y) = 1 six6=y;d(x;y) = 0 six=y.1)Demontrer quedest une distance surE; elle est appeleedistance
discretesurE.2)DeterminerB(x;r) oux2Eetr >0.
3)Determiner les ouverts puis les fermes de (E;d).
Exercice 4.
Soient (E;d) un espace metrique etAune partie deE. Montrer :1)x2A, 9r >0;B(x;r)A:
2)x2A, 8r >0;B(x;r)\A6=;:
3)x2A,d(x;A) :=inffd(x;y);y2Ag= 0.
4)x2extA, 9r >0;B(x;r)\A=;.
Exercice 5.
Soient (E;d) un espace metrique,AetBdes parties non vides deE. Mon- trer que :1)AAetAA.4)(A\B)A\B.
2)AB)ABetAB.5)CEA=C
EAetCEA=
(CEA).3)A[B(A[B)6)@A=AnA.
Exercice 6.
Soient (E;d) un espace metrique et (Ai)i2f1;::;ngdes parties deE.Demontrer que
1) n\ i=1A i! =n\ i=1A i:2)n i=1A i=n[ i=1A i.Exercice 7.
Soit (E;d) un espace metrique etAE. Montrer que@A@Aet que @A @A. Donner un exemple pour lequel toutes ces inclusions sont strictes.Exercice 8.
Soient (E;d) un espace metrique etAun sous-ensemble deEnon ferme.Soitx2AnA.
Montrer que pour tout voisinageVdex, l'ensembleV\An'est pas ni.Exercice 9.
Montrer que dans un espace metriqueE, tout ensemble ferme est l'intersection d'une suite decroissante d'ensembles ouverts. De m^eme, tout ensemble ouvert est la reunion d'une suite croissante d'ensembles fermes.Exercice 10: Sous-espace metrique.
Soit (E;d) un espace metrique. Pour toute partie non videFdeE, la re- strictiondFdedaFFest une distance surFappeleedistance induite surFpar la distanced. (F;dF) se nomme sous-espace metrique deE.1)Montrer que pour touta2Fla boule ouverteb(a;r) de centreaet de
rayonrpourdFest egale aB(a;r)\FouB(a;r) est la boule ouverte de m^eme centre et rayon pourd.2)Montrer queBFest un ouvert deFSsi il existe un ouvertAdans
Etel queB=A\F.
3)Montrer queBFest un ferme deFSsi il existe un fermeAdansE
tel queB=A\F. 4)SiBFest l'adherence deBdans (F;dF) , montrer queB
F=B\F.
5)Pour que tout ouvert (resp. ferme) dansFsoit un ouvert (resp. ferme)
dansE, il faut et il sut queFsoit ouvert (resp. ferme) dansE.6)L'intervalle ]0;1] est-il un ouvert dansR+? est-il un ferme dansR+?
M^emes questions pour ]0;1] dans ]0;+1[.
Exercice 11.
Soit (E;d) un espace metrique et (Ai)i=1;:::ndes ouverts denses dansE.Montrer queTni=1Aiest un ouvert dense dansE.
Exercice 12.
1)Montrer qu'un espace topologique (X;O(X)) satisfait la propriete de
separation de Hausdor Ssi8x2X;on a :fxg=TfF;x2F;Fvoisinage ferme dexg.2)Un espace metrique verie-t-il la propriete de separation de Hausdor
Exercice 13.
SoitX=R;O(X) =f;g [ fVR; cardCRV <1g.
1)Montrer que (X;O(X)) est un espace topologique.
2)(X;O(X)) satisfait-il la propriete de separation de Hausdor ?
3)(X;O(X)) est-il metrisable?
4)M^emes questions pourO(X) =f;;XgouXest un ensemble arbitraire.
Exercice 14: Espace metrique produit.
Soient (E1;d1);(E2;d2) deux espaces metriques. On munitE1E2de la distanced(x;y) :=d1(x1;y1) +d2(x2;y2) six= (x1;x2) ety= (y1;y2)2 E 1E2:1)Montrer quedest une distance.
2)SoientUun ouvert de (E1E2;d) et (x;y)2U.
Montrer qu'il existeU12 O(E1) etU22 O(E2) tels que (x;y)2U1U2U.3)SoientU12 O(E1) etU22 O(E2). Montrer queU1U2est un ouvert
de (E1E2;d).II : Espaces vectoriels normes.
Exercice 1: Distance associee a une norme.
Soit (E;k k) un espace norme.
Demontrer que l'applicationd:EE!R+denie par :d(x;y) =kxyk est une distance surE.Exercice 2.
E=R2muni de la norme euclidienne :kxk=px
12+x22.
Determiner parmi les ensembles suivants lesquels sont ouverts, fermes ou ni l'un, ni l'autre:quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] distances équivalentes
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