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Tous les tests demandés sont à effectuer au niveau d"erreur5%. Exercice 1.Le tableau suivant contient les résultats de deux groupes:Groupe 1718991827121032637Groupe 21013131517101015424
1. Effectuer un test de normalité p ourc hacundes d euxgroup es. 2. Effectuer un test non-paramétrique de com paraisondes deux group es.Exercice 2.Le tableau suivant donne une mesure de l"état de dépression d"un groupe de10patients, avant et après 3
mois de traitement:AVANT: X296376309222150316321447220375APRÈS: Y1753292386027129136440270335
DDécider, à l"aide d"un test non paramétrique de comparaison au risque d"erreur5%, si les résultats sont significativement
différents avant et après le traitement. 1 Corrigé de l"Exercice 1.1. Effectuer un test de normalité pour chacun des deux groupes.GROUPE 1.Hypothèses.H0: les résultats du groupe 1 sont distribués selon une loi normale.H1: les résultats du groupe 1 ne sont
pas distribués selon une loi normale.Statistiquedutest. Sous l"hypothèse nulle, la variable aléatoireW=Paidins
2,!Loi de Shapiro-Wilk, où lesaisont
les coefficients de Shapiro-Wilk, lesdisont les différences emboîtées aléatoires,nest la taille de l"échantillon etsson
écart-type. Ici,n= 11,s= 10:223, doncW=Paidi1149:6363.RégioncritiqueK(= 0:05). D"après la table pourn= 11,w= 0:855. DoncK=fW0:855g.Décision. On a, après avoir rangé les valeurs : 6,7,9,9,10,12,18,18,27,32,37
3732271818
Valeurs rangées67991012
Différences emboîtéesdi31251888
Doncwe= 0:866>0:855,w62K. Au niveau d"erreur= 0:05, on conserve donc l"hypothèse de normalité des résultats
du Groupe1.GROUPE 2.Hypothèses.H0: les résultats du groupe 2 sont distribués selon une loi normale.H1: les résultats du groupe 2 ne sont
pas distribués selon une loi normale.Statistiquedutest. Sous l"hypothèse nulle, la variable aléatoireW=Paidins
2,!Loi de Shapiro-Wilk, où lesaisont
les coefficients de Shapiro-Wilk, lesdisont les différences emboîtées aléatoires,nest la taille de l"échantillon etsson
écart-type. Ici,n= 10,s= 5:0289, doncW=Paidi252:899.RégioncritiqueK(= 0:05). D"après la table pourn= 10,w= 0:845. DoncK=fW0:845g.Décision. On a, après avoir rangé les valeurs : 4,10,10,10,13,13,15,15,17,24
2417151513
Valeurs rangées410101013
Différences emboîtéesdi207550
Doncwe= 0:945> w. Au niveau d"erreur= 0:05, on conserve l"hypothèse de normalité pour le Groupe2.
2. Effectuer un test non-paramétrique de comparaison des deux groupes.
On pro cèdeau test de comparaison de
Mann-Whitney.Hypothèses.H0: les deux distributions ne diffèrent pas significativement.H1: les deux distributions diffèrent significa-
tivement.Statistiquedutest.n1= 11,n= 10. On noteS1etS2la somme des rangs de distributions aléatoires de chacun des deux
groupes. Alors, sous l"hypothèse nulle, les variables U1=S1n1(n1+ 1)2
=S166etU2=S2n2(n2+ 1)2 =S255 suivent la loi de Mann-Whitney.RégioncritiqueK (= 0:05). Sur la table de Mann-Whitney, avecjn1n2j=j1110j= 1, etmin(n1;n2) = min(11;10) = 10, on trouveu= 26. Donc K=fU26g:Décision. On doit calculer la valeur expérimentaleue. Pour cela, il faut ranger ensemble les valeurs des deux distributions.
2Groupe 1718991827121032637Somme des rangs
Groupe 21013131517101015424
Rangs du Groupe 1316.54.54.516.519107.520221S
1e= 124:5Rangs du Groupe 27.511.511.513.5157.57.513.5118S
2e= 106:5S
1e= 124:5,S2e= 106:5, doncu1e= 124:566 = 58:5etu2e= 106:555 = 51:5. Doncue= min(u1e;u2e) = 51:5.
Ainsiue= 51:5>26etue62K: au niveau d"erreur= 0:05, on conserve l"hypothèseH0, qui affirme que les deux
distributions ne sont pas significativement différentes.Corrigé de l"Exercice 2.Il s"agit de procéder à un testnon paramétriquede comparaison de deux échantillonsappar-
iés, on procède donc autest de Wilcoxon.Hypothèses.H0: les deux distributions ne diffèrent pas significativement.H1: les deux distributions diffèrent signi-
ficativement.StatistiquedutestsousH0.n0=nombre de différences non nulles des deux échantillons= 10. Pour un échantillon
aléatoire, on désigne par+la somme des rangs des valeurs absolues des différences positives et parla somme des
rangs des valeurs absolues des différences négatives. Sous l"hypohèse nulle, la variableW= min(+;)vérifie:
W= min+;,!Loi de Wilcoxon avecn0= 10:RégioncritiqueK (= 0:05). Dans la table de Wilcoxon, pourn0= 10, on trouvew= 8. Donc K=fW8g:Décisiondutest. Il s"agit de calculerwe. Pour cela, on calcule les rangs des valeurs absolues des différences positives et
négatives:AVANT: X296376309222150316321447220375APRÈS: Y1753292386027129136440270335
D=XY1214771162-12125-434515040
Rangs dejXYj7.556107.513492
Donc +e= 7:5 + 5 + 6 + 10 + 1 + 4 + 9 + 2 = 44:5ete= 7:5 + 3 = 10:5:Ainsiwe= min(+e;e) = 10:5>8;doncwe62K. Au niveau d"erreur= 0:08, on accepte l"hypothèse nulleH0: les
deux distributions ne sont pas significativement différentes. 3quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17[PDF] test de student excel
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