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Enseignements Pratiques Interdisciplinaires

Arts Plastiques et Mathématiques

en classe de Quatrième En quoi les mathématiques peuvent-elles être source d´inspiration pour les arts plastiques ? 1/30

Séance 1

Découvrir / Discubrir

Le nombre d'or

2notéϕsoit environ 1,618, et correspondant à

une proportion considérée comme esthétique ». Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est toute entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit. Euclide,

Eléments, livre VI, 3ème définition

La proportion définie par a et b est dite d'" extrême et moyenne raison » lorsque a est à b ce que a + b est à a, soit : lorsque

(a+b) a=a b. Le rapport a b est alors égal au nombre d'or.

Il a longtemps été prêté à ce nombre des vertus esthétiques uniques, c'est pourquoi il a aussi été appelé la divine

proportion. Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre d'or pour décorer le Parthénon à Athènes La spirale d'Or

Construire la spirale d'or sur une feuille quadrillée. (Commencer au centre de la feuille par le carré ABCD)

Coller ci-dessous, une image où le nombre d'or est utilisée. 2/30

La perspective :

Un outil mathématique important pour les artistes est la perspective utilisée par la plupart des artistes durant de nombreux

siècles. La perspective était déjà explorée dans l'Antiquité mais c'est au XV ème siècle que son étude est rationalisée.

Lorsqu' Alberti écrit son traité, De Pictura en 1435, il définit les notions de point, ligne et surface puis il met en place ses

théories sur la perspective Perspective selon Albertile Miracle de l'hostie profanée (1465-69)

Compléter ce damier en perspective à un point de fuite, puis griser les cases obtenues 1 sur 2. (H désigne le

point de fuite, (AH) la ligne d'horizon) Coller ci-dessous, une image d'un tableau en perspective. 3/30

L'anamorphose :

Lorsque l'on se pose le problème de la représentation en art, certains outils géométriques comme l'anamorphose, par

exemple, peuvent permettre d'illustrer la difficulté à représenter la réalité en la déformant, le spectateur étant obligé de faire

un effort pour retrouver un sens à l'image qu'il a sous les yeux.

Une anamorphose est une transformation, par un procédé optique ou géométrique, d'un objet que l'on rend méconnaissable,

mais dont la figure initiale est restituée par un miroir courbe ou par un examen hors du plan de la transformation.

Les Ambassadeurs de Hans Holbein le Jeune en 1533 Anamorphose de Dali Les images paradoxales : transformation du monde visible

Les images impossibles ou paradoxales mettent en défaut les lois de la perspective. Elles peuvent être le fruit du hasard ou

d'une erreur mais peuvent aussi avoir été créées par l'artiste qui questionne ainsi la place de la représentation dans l'art.

4/30

Des objets mathématiques comme sujets de l'art

On peut trouver toutes sortes d'objets ( solide de Platon) voire même des concepts ou théorème.

Dans sa gravure " Mélancolia I », (1514) (fig.25), Albrecht Dürer fait une illustration du tempérament mélancolique. Autour

du personnage mélancolique de cette gravure il a représenté de nombreux objets mathématiques comme par exemple une

sphère ou bien un bloc de pierre taillé en forme de polyèdre mais aussi un carré magique qui est un objet mathématique qui

utilise l'arithmétique avec les sommes de nombres entiers. Ce carré magique a été bien choisi car Dürer y fait figurer le

nombre 1514 qui est la date où il a réalisé cette gravure. On voit également des outils utilisés en géométrie comme un

compas et une règle. Rhombicuboctaèdre de L. De VinciMélancolia I Coller ou dessiner ci-dessous une représentation d'un autre solide de Platon. 5/30

Le pavage :

Un pavage ou dallage est une partition d'un espace par une figure géométrique. Généralement, on considère des pavages par

translations, c'est-à-dire que deux mêmes figures du pavage sont toujours déductibles l'une de l'autre par une translation (à

l'exclusion des rotations ou symétries). Les plus célèbres étant sans doute les nombreux pavages de M.C. Escher.

L'art fractal

La théorie des fractales est certainement la théorie mathématique qui a le plus de liens avec le monde artistique. Avec

l'arrivée des fractales, on aboutit à une redéfinition des liens entre ces deux disciplines. Les réseaux qui se multiplient

autour de nous, comme internet ou les autoroutes peuvent faire penser à des structures fractales.

Les objets fractals sont des objets mathématiques, imaginés par le grand mathématicien Benoit Mandelbrot (1924 - 2010). Il

les introduit dans son ouvrage Les Objets Fractals en disant :

" Des objets naturels très divers, tels la Terre, le Ciel et l'Océan, ont en commun d'être de forme extrêmement irrégulière

ou interrompue. Pour les étudier j'ai conçu une nouvelle géométrie de la nature. La notion qui lui sert de fil conducteur

sera désignée par l'un des deux néologismes synonymes, "objet fractal" et "fractale", termes que je viens de former, à

partir de l'adjectif latin fractus, qui signifie "irrégulier ou brisé" ». 6/30

Remplir le tableau ci-dessous.

NomDates de

naissance et de mortPourquoi est-il (elle) célèbre ?

Phidias480 av J.C

430 av J.C..........................................................................................

Euclide300 av JC..........................................................................................

L. De Vinci..........................................................................................

Bernard Venet..........................................................................................

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M.C Escher

doit progresserencouragementsComplimentsFélicitations planaient, emplissant tout le plan.

géométriques connues, telles ..................................................................................................

Cette oeuvre présente une série de ......................... Une translation est le déplacement ou le glissement d'une figure dans une direction donnée. Cette transformation géométrique conserve les mesures et l'orientation de la figure de départ. Il existe des translations entre chacun des ................ de même couleur. Chaque cavalier peut représenter l'image d'un autre cavalier par un déplacement ou un glissement d'une certaine longueur, dans un sens donné. Les flèches dans l'image illustrent deux translations possibles Certains d'entre vous auront découvert que cette oeuvre présente de nombreuses • Une rotation est le déplacement circulaire d'une figure autour d'un point (appelé centre de rotation). Cette transformation géométrique conserve les .........................de la figure initiale. • Dans cette image , tu peux très bien constater qu'il existe une rotation entre chacun des poissons de même couleur qui se touchent en un point (bout de la nageoire, bout de la queue, etc.). Ce point représente le ............................................ (Il existe d'autres rotations visibles dans cette image. Les vois-tu ?) • La flèche, dans l'image, indique une rotation possible entre deux poissons jaunes ou deux poissons rouges. On peut aussi voir le centre de rotation Tracer en rouge les axes de symétrie de ce pavage. 8/30 9/30 10/30 11/30 12/30 13/30 14/30 15/30 16/30 17/30

Pavage rectangulaire

1re partie

a.À partir d'une feuille blanche, effectuez deux pliages pour obtenir quatre rectangles de même taille

comme sur le schéma ci-dessous.

b.Sur votre feuille, construisez dans le rectangle , la figure ci-dessous (O est le centre de l'arc de

cercle).

Schema faux

c.Construisez le symétrique par rapport à I de la figure tracée dans le rectangle . Dans quelle partie

de la feuille va-t-il se situer ? d.Construisez les symétriques par rapport à la droite (DC) des figures des parties et .

e.Rassemblez toutes les feuilles du groupe que vous placerez les unes à côté des autres pour former un

grand rectangle. C'est un pavage rectangulaire.

2e partie

a.À partir de nouvelles feuilles A4, tracez, dans le rectangle , un motif géométrique composé de

droites, segments ou cercles. Tous les élèves du groupe doivent avoir exactement le même motif.

b.De la même façon qu'à la 1re partie, construisez l'image, par la symétrie de centre I, de la figure

tracée dans le rectangle puis l'image, par la symétrie d'axe (DC), des figures tracées dans les

rectangles et . c.En regroupant les feuilles, on obtient ainsi un nouveau pavage rectangulaire.

Voici une partie d'un pavage du plan. Il est construit à partir d'une seule figure de base simple.

18/3012

34
1 12 34AB
DCI O 1 12 1 1 12

Séance 5

Construction d'un pavage-chinois.

Ouvrir le logiciel géogebra (chemin : Bureau/programas/MATH/geogebra)

1)Construire un triangle équilatéral ABC de centre O.

Rappel : le centre d'un triangle équilatéral est à l'intersection des médianes, ou des médiatrices ou des hauteurs ou des bissectrices.

DéfinitionIcône barre d'outil

Polygone régulier

2)Placer un point D sur le côté [AC], puis quatre autres points libres : E, F, G et H.

DéfinitionIcône barre d'outil

Point libre

3)Construire les images des points D, E, F, G, H par la rotation de centre O dans le sens anti-

horaire et d'angle 120°.

DéfinitionIcône barre d'outil

Image d'un point par la

rotation de centre O , d'angle 120° et dans le sens anti-horaire 19/30

4) Relier les différents points pour obtenir un demi-chinois.

DéfinitionIcône barre d'outil

Segment

5) Construire par rapport à la droite (AB) les symétriques des points définissant le demi-chinois.

DéfinitionIcône barre d'outil

Image d'un point par

une symétrie axiale

6) Créer le chinois avec l'outil polygone (pointer tous les points construits)

DéfinitionIcône barre d'outil

Polygone

20/30

7)Construire les images de ce chinois par les rotations de centre A d'angles 120° et 240°.

DéfinitionIcône barre d'outil

Image d'un point par la

rotation de centre A , d'angle 120° / 240° et dans le sens anti-horaire

8)Créer les vecteurs ⃗AB, ⃗AC et ⃗BC. Construire les images des trois chinois par ces

translations. Finir le pavage.

DéfinitionIcône barre

d'outil

Vecteur

Image d'un point

par la translation d'un vecteur

9)Cacher tous les objets nécessaires à la construction puis finir le pavage. Appeler le professeur.

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22/30

Séance 6

Dessiner un pavage

I Réalisation de pavages

Réaliser chacun des pavages suivant sur une feuille blanche. a) Pavage de Diane

Le temple de Diane à Nîmes (Sud de la France) est un monument romain construit au Ier siècle de

notre ère. Le Temple de Diane à NîmesPrécisions d'un élément de décoration du bâtiment

Rosace du temple de Diane à Nîmes.

Reproduire cette rosace : les triangles compris

entre deux carrés sont équilatéraux. Pavage semi-régulier formé d'hexagones réguliers, de carrés et de triangles équilatéraux. 23/30

Aide : pour tracer l´hexagone régulier de centre O, ABCDEF est inscrit dans un cercle de centre O et

AB =BC=CD=DE=EF=FA

b) Le pavage du Caire

Le pavage porte ce nom car il apparait dans les rues du Caire, en Égypte, ainsi que dans l'art musulman.

c) La Pajarita

Le palais de l'Alhambra à Grenade est réputé pour ses ornements muraux représentants différents

pavages du plan. L'un des plus célèbres est représenté ci-dessous. Il est constitué du motif pajarita.

24/30

1. Sur du papier cartonné, tracer un triangle équilatéral ABC de côté 10 cm, puis placer les points A′, B

′ et C′ milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB].

2. Construire les droites Δ, Δ′ et Δ′′ médiatrices respectives des segments [AB′], [BC′] et [CA′].

On note :

- I le point d'intersection de Δ et Δ′ - J le point d'intersection de Δ′et Δ′′ - K le point d'intersection de Δ′′et Δ.

3. Construire les arcs de cercle, internes au triangle ABC, de centres respectifs I, J et K et reliant

respectivement les points B et C′, C et A′ et A et B′ puis leurs symétriques respectifs par rapport aux

points C′, A′ et B′ pour obtenir le motif de base appelé pajarita.

4. A l'aide d'une translation ou de rotation de 120° reproduire la pajarita afin de paver le plan au fond

de la classe.

II Créer votre pavage.

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Comment fabriquer des motifs qui s'emboîtent parfaitement comme un puzzle pour remplir le plan ?

Nous voyons ici la méthode de l'enveloppe

1) Choisir deux morceaux de papiers superposables ayant une forme spécifique : triangle équilatéral,

carré, rectangle, etc ...

2) Scotcher les deux morceaux sur les 4 côtés pour obtenir une enveloppe fermée.

3) Choisir un (ou deux) point(s) quelconque sur l'une des deux faces et tracer des courbes le reliant à

chacun des angles de l'enveloppe. Attention les lignes ne doivent pas se couper.

4) Découper ensuite selon les lignes tracées sur une seule épaisseur de papier.

5) Déplier, on obtient la figure de base (appelée pavé) pour fabriquer un pavage.

Exemple :

26/30

Créer votre pavage

Voici quelques exemples de pavés pour la méthode de l'enveloppe.

Rappel de la technique

- On ferme l'enveloppe ;

- au recto on trace des lignes de découpage qui joignent un point à chacun des sommets du

rectangle Attention les lignes ne peuvent se croiser ; - on découpe suivant ces lignes et on ouvre l'enveloppe.

DescriptionDessin sur l'enveloppeRésultat

Les oiseaux

d'EscherVoici le recto et le verso de l'enveloppe, scotcher les deux rectangles sur les côtés puis découper

La perruche

peut aussi être réalisée à partir d'un triangle rectangle isocèle. 27/30

Inconnu

A vous de jouer prendre une feuille Letter la coupée en deux et en faire une enveloppe. 28/30
29/30
30/30
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