[PDF] Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)

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DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation

Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)

Jérôme Pagès (& François Husson)

Laboratoire de mathématiques appliquées - Agrocampus Rennes husson@agrocampus-ouest.fr 1/43

DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation

Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)1Données

2Modèle d"indépendance

3Les nuages et leur ajustement

4Pourcentages d"inertie et inertie en AFC

5Représentation simultanée des lignes et des colonnes

6Aides à l"interprétation

2/43

DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation

Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)1Données

2Modèle d"indépendance

3Les nuages et leur ajustement

4Pourcentages d"inertie et inertie en AFC

5Représentation simultanée des lignes et des colonnes

6Aides à l"interprétation

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DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation

Tableau de correspondancesTableau de correspondances 1 i Ij1J ijx

Ensemble I

Ensemble J

x ijNombre d"individus appartenant à l"élément ide l"ensemble I

à l"élément jde l"ensemble J

2Lignes Colonnesxij

Personnages de Phèdre Mots Nombre de fois que le personnage i (Racine)a utilisé le mot j Vins Mots Nombre de fois que le vin ia été associé au mot j Bureau de vote Candidat Nombre de voix obtenues par le candidat j dans le bureau de vote ix ij:nomb red"individus appa rtenant

à l"élémentide l"ensembleI

à l"élémentjde l"ensembleJPersonnages de

Phèdre (Racine)MotsNomb rede fois que le p ersonnage ia utilisé le motjParfumsDesc ripteurNomb red efois où le pa rfumia été décrit par le motjMilieuxEsp ècesAb ondancede l"esp ècejdans le milieui=?Exemples où le test d"indépendance duχ2peut être appliqué4/43

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Données historiques

Enquête du CREDOC (N. Tabard, 1974)?Etude de la liaison entre deux variables qualitatives 5/43

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Données

nindividus et 2 variables qualitatives7 V1V2 n 1 i j

Individus

1 i Ij1J

Modalités

de V 1

Modalités

de V 2 n Distribution desnindividus dans lesI×Jcases du tableau 6/43

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Du tableau de contingences au tableau de probabilités f ij=xijnijf 1i j1J

Modalités

de V 1

Modalités

de V 2 .ifS

Marge colonne

(probabilité marginale) J ij i f f. ijf iI de V 1 .jf S

Marge ligne

(probabilité marginale) .if1 j ij i f f 1 I i ijjff

1.Liaison entre V1 et V2 : écart entre les données observées et le

modèle d"indépendance 7/43

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Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)1Données

2Modèle d"indépendance

3Les nuages et leur ajustement

4Pourcentages d"inertie et inertie en AFC

5Représentation simultanée des lignes et des colonnes

6Aides à l"interprétation

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Liaisons et indépendance entre deux variables qualitatives

Modèle d"indépendance :

Evènements indépendants :P(AetB)=P(A)×P(B)Variables qualitatives indépendantes :?i,?j,fij=fi.×f.j

?Probabilité conjointe=produit des probabilités marginalesAutres écritures : fijf i.=f.jfijf .j=fi. ?Probabilité conditionnelle = probabilité marginale9/43

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Liaisons entre deux variables qualitatives

Ecart entre données obs (fij) et modèle d"indépendance (fi.f.j)1Significativité de la liaison (de l"écart) : test duχ2

2obs=I?

i=1J j=1(eff. observé-eff. théorique)2effectif théorique =I? i=1J j=1(nfij-nfi.f.j)2nf i.f.j

2obs=I?

i=1J j=1n(probabilité observée-probabilité théorique)2probabilité théorique

=nΦ22Intensite de la liaison =Φ2= écart entre probabilités théoriques et observées3Nature de la liaison = association entre modalités

L"AFC travaille sur le tableau des p robabilités ne dit rien sur la significativité visualise la nature de la liaison entre les deux variables 10/43

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Comment l"AFC appréhende l"écart à l"indépendance?

Analyse par lignes :

fijf i.=f.jL"AFC compare les profils lignes au profil moyen

Profil ligne i= distribution conditionnelle de V2

sachant que l'on possède la modalité ide V1Profil ligne moyen = distribution marginale de V2Profil de l"ensemble des individus étudiés

1 i Ij1J

Modalités

de V 1

Modalités

de V 2 1 1S G I .iijff jf.Approche multidimensionnelle de l"écart à l"indépendance 11/43

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Comparaison du profil ligne au profil moyen

rester au foyer trav. à mi-temps trav. à plein temps

2 conj. tr. également 4.98 54.41 40.61

trav. mari + absorbant 5.41 73.51 21.08 seul le mari travaille 26.54 63.11 10.35 marge ligne 16.47 65.14 18.392 conj. tr. également seul le mari travail

Marge ligneTrav. mari + absorb.

rester au foyer trav. à mi-temps trav. à plein temps

0 20 40 60 80 100Les femmes qui répondentseul le mari travaillerépondent-elles de

façon particulière à la question sur l"activité d"une mère de famille? 12/43

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Comment l"AFC appréhende l"écart à l"indépendance?

Analyse par colonnes :

fijf .j=fi.Profil colonne j = distribution conditionnelle de V1 sachant que l"on possède la modalité jde V2 1 i Ij1J

Modalités

de V 1

Modalités

de V 2 1

Comparaison des profils colonnes au profil moyen

.if1G J Profil colonne moyen = distribution marginale de V1

Profil de l"ensemble des individus étudiés

S .ijjffApproche multidimensionnelle de l"écart à l"indépendance13/43

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Comparaison du profil colonne au profil moyen

rester trav. à trav. à marge au foyer mi-temps plein temps colonne

2 conj. tr. également 4.58 12.64 33.44 15.14

trav. mari + absorbant 10.56 36.33 36.91 32.19 seul le mari travaille 84.86 51.02 29.65 52.672 conj. tr. également seul le mari travail

Marge ligneTrav. mari + absorb.

rester au foyer trav. à mi-temps trav. à plein temps

20 40 60 80 100

1000 20 40 60 80

seul le mari travailletrav. mari + absorbant2 conj. tr. égalementLes femmes qui répondenttravailler à mi-tempsrépondent-elles de

façon particulière à la question sur la famille idéale? 14/43

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Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)1Données

2Modèle d"indépendance

3Les nuages et leur ajustement

4Pourcentages d"inertie et inertie en AFC

5Représentation simultanée des lignes et des colonnes

6Aides à l"interprétation

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Le nuage des (profils) lignes

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Le nuage des (profils) colonnes

EI Q BT /R7 10.4719 Tf

0 1.00054 -1 -0 213.12 710.391 Tm

j poids f j j" 1 ij1J

Modalités

de V 1

Modalités

de V 2 .ifGJ JRI I 2 jjd c ijff GJ .if

Modalité i

de V 1 I de V 1 1 .if1S jijff. jijff jf.Distance entre deux profils :d2χ2(j,j?) =I? i=11f i.? f ijf .j-fij?f .j??

2Distance au profil moyenGJ:d2χ2(j,GJ) =I?

i=11f i.? f ijf .j-fi.?

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Que se passe-t-il s"il y a indépendance?

Pour touti,fijf

i.=f.j ?les profils sont confondus avec le profil moyen?NIréduit àGI ?L"inertie du nuage est nulle

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Ecart à l"indépendance et inertie

Plus les données s"écartent de l"indépendance et plus les profils s"écartent de l"origineInertie(NI/GI) =I? i=1Inertie(i/GI) =I? i=1f i.d2χ2(i,GI) I? i=1f i.( (J? j=11f .j? fijf i.-f.j? 2) I? i=1J j=1(fij-fi.f.j)2f i.f.j=χ2n =φ2

2mesure l"intensité de la liaisonEtudier l"inertie deNIrevient à étudier l"écart à l"indépendance

Idem pourNJ:Inertie(NJ/GJ) =Inertie(NI/GI)(dualité)19/43

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Représentation du nuage des lignes (ou des colonnes) Décomposition de l"inertie deNIpar analyse factorielle Projection deNIsur une suite d"axes orthogonaux d"inertie maximum

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Règles d"interprétation sur l"exemple-0.20.0 0.2 0.4 0.6

Dim 2 (13.71%)

2 conj. tr. également

trav. mari + absorbant seul le mari trav. rester au foyer trav. mi-temps trav. plein temps -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 -0.6 -0.4

Dim 1 (86.29%)1er axe :

attitude à l"égard du travail féminin (lignes et colonnes) ?Dualitérestertrav. àtrav. àO=GJau foyermi-tempsplein temps

2 conj. tr. également 4.5812.6433.4415.14

trav. mari + absorbant 10.5636.3336.9132.19 seul le mari travaille 84.8651.0229.6552.67 21/43

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Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)1Données

2Modèle d"indépendance

3Les nuages et leur ajustement

4Pourcentages d"inertie et inertie en AFC

5Représentation simultanée des lignes et des colonnes

6Aides à l"interprétation

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DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation

Pourcentages d"inertie1Qualité de représentation deNIpar l"axe de rangs inertie projetée deNIsurusinertie totale deNI=? I i=1fi.?OHsi? 2? I i=1fi.(OMi)2=λs? K i=kλkInertie Inertie (%)

F1 0.117 86.292

F2 0.019 13.708

Somme 0.135 100?Ecart à l"indépendance bien ré-

sumé par le premier axe (86 %)2Inerties projetées s"additionnent d"un axe à l"autre (axes orthogonaux)

?K k=1λk=Inertie(NI) = Φ2

IcinΦ2=1724×0.135=χ2=233.43?Proba. critique=10-493La décroissance des inerties suggère le nombre

d"axes à conserver3. La décroissance des inerties (en fonction du rang s) suggère le nombre d"axes à conserver1. La qualité de représentation est mesurée par le rapport : inertie projetée/inertie totale

2. Les inerties projetées s"additionnent d"un axe à l"autre (axes orthogonaux)

1i j1 30x

10 vins blancs de Loire décrits par 30 motsPourcentages d"inertie (comme dans toute analyse factorielle)

9

N° axe Val. propre % % cumulé

1 0.436 28.932 28.932 2 0.371 24.666 53.598 3 0.181 12.055 65.653 4 0.156 10.348 76.001 5

0.1 6.645

82.646

i10 ijx xij: nombre de fois que le mot ja été associé au vin i.

1 2 3 4 5 6 7 8 9AFC sur 10 vins blancs de

Loire décrits par 30 mots

Rang de l'axe

% d'inertiequotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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