[PDF] Série chute libre & parabolique Exercice 1

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Série chute libre & parabolique

Exercice 1

Antonin PANENKA, footballeur international tchécoslovaque est connu pour avoir laissé son nom à

une technique particulière pour tirer les penaltys ou " tirs au but ». Au lieu de frapper en force, il

frappe doucement le ballon qui prend alors une trajectoire en " cloche ». Son geste est devenu par cette technique de balle " en cloche ͩ ǀenait d'inǀenter la ͨ Panenka ».

Lors d'un match de football, un joueur doit tirer un pĠnalty et dĠcide de tenter une ͨ Panenka ». Le

joueur dépose le ballon au point de pénalty O, pris comme origine du repère. Le joueur tape le ballon en direction du centre du but et lui communique une vitesse initiale 0v de valeur 11,5 m.s-1 et dont la direction fait un angle с 55Σ aǀec l'horizontale.

Données :

intensité de la pesanteur : g = 9,81 N.kg-1 ; masse du ballon : m = 620 g ; termes utilisés dans la pratique du football :

Les buts

Les buts sont constitués de deux montants verticaux (poteaux) reliés en leur sommet par une barre

transversale. Le bord inférieur de la barre transversale se situe à une hauteur de 2,44 m par rapport

au sol.

Le pénalty

Le pénalty est une action consistant à frapper directement au but depuis un point nommé " point de

pénalty » ou " point de réparation ». Un pénalty est réussi si le ballon franchit la ligne de buts en

passant entre les montants et sous la barre transversale.

La surface de réparation

ligne de but et à égale distance des montants verticaux du but.

1. Schématisation du problème

1.1. Tracer un repère orthonormé (Ox, Oz) et représenter, dans ce repère, la situation du pénalty,

sans souci d'Ġchelle. Les grandeurs suivantes devront apparaitre : le vecteur vitesse initiale 0v , l'angle ; la hauteur h des buts et la distance d du point de pénalty à la ligne de but. doivent vérifier les coordonnées (xA ; zA) de ce point pour que le pénalty soit réussi ?

2. Étude dynamique du mouvement du ballon

Dans cette partie, on Ġtudie le mouǀement du centre d'inertie G du ballon en nĠgligeant les forces de

2.1. tablir l'edžpression du ǀecteur accĠlĠration

Ga du centre d'inertie du ballon. 2 0 .²( ) tan .2. .(cos )² gxz x xv D

2.3. En edžploitant les donnĠes et les documents, dĠterminer si le pĠnalty dĠcrit en dĠbut d'edžercice

est réussi. Expliciter votre raisonnement.

3. Étude énergétique du mouvement du ballon

On admet que le ballon passe au niveau de la ligne de but à une hauteur zA = hA. pesanteur nulle ă l'origine. correspondante.

3.2. l'aide du document 1, dĠterminer les ǀaleurs de la hauteur hA et de la vitesse vA lorsque le

ballon franchit la ligne de but. ligne de but et comparer le résultat trouvé avec celui de la question 3.2. Conclure.

Exercice2

Exercice 3

Dans les moteurs à combustion, on minimise les frottements entre les pièces mécaniques en utilisant des huiles afin d'obtenir un frottement visqueux. Plus une huile est épaisse, plus sa viscosité est élevée.

On souhaite déterminer expérimentalement la viscosité d'une huile moteur. Pour cela on filme

la chute verticale d'une balle dans cette huile moteur avec une caméra numérique. L'exploitation du film avec un ordinateur permet de déterminer les valeurs de vitesse de la balle en fonction du temps. On obtient le graphe donné dans l'annexe 1 qui est À RENDRE AVEC LA COPIE.

1. Validité de la modélisation de la force de frottement

Pour étudier le mouvement de la balle, on se place dans le référentiel du laboratoire. On prendra l'axe vertical Oz dirigé vers le bas. Les caractéristiques de la balle sont : masse m = 35,0 g ; rayon R = 2,00 cm ; volume V =

33,5 cm3 .

La masse volumique de l'huile est ȡhuile = 0,910 g.cm-3 . On suppose que la force de frottement s'exprime sous la forme fF = k× GvF où GvF est la vitesse du centre d'inertie de la balle. On appellera vG la composante de la vitesse suivant l'axe Oz.

1.1. Faire l'inventaire des forces extérieures appliquées à la balle en chute verticale dans l'huile, puis

les représenter sur un schéma.

1.2. En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'équation différentielle du mouvement de la

balle dans le référentiel du laboratoire.

1.3. Montrer que

dt dvG peut se mettre sous la forme : dt dvG = A - B×vG avec A = g×(1 - m

VhuileU

) et B = m k

1.4. Vérifier que la constante A = 1,27 S.I. en précisant son unité. On donne la valeur du champ de

pesanteur g = 9,81 m.s-2 .

1.5. Le mouvement de chute de la balle présente deux régimes visibles sur la représentation

graphique vG = f(t) donnée en annexe 1.

1.5.1. Séparer, sur le graphe en annexe 1, par un axe vertical les domaines des deux régimes. On

précisera le domaine du régime permanent et le domaine du régime transitoire du mouvement de

la balle.

1.5.2. Relever la valeur de la vitesse limite vlim sur la représentation graphique vG = f(t).

1.5.3. Que vaut l'accélération de la balle quand celle-ci atteint la vitesse limite ?

1.6. Connaissant la constante A donnée en 1.4. et la constante B = 7,5 s-1, la méthode d'Euler permet

d'estimer par le calcul la valeur de la vitesse de la balle en fonction du temps en utilisant les deux

relations : dt tdviG)( = A B×vG(ti) vG(ti+1) = vG(ti) + dt tdviG)(

×ǻoù ǻ est le pas d'itération.

Nous obtenons le tableau de valeurs suivant :

t (s) 0 0,080 0,16 0,24 0,32 0,40 0,48 0,56 dt dvG (m.s-2) ? 0,51 0,20 ? 0,03 0,02 0,00 0,00 vG (m.s-1) 0 0,102 0,143 ? 0,165 0,167 0,169 0,169

1.6.1. Quel est le pas d'itération de la méthode d'Euler proposée ?

1.6.2. Que vaut l'accélération à l'instant t = 0 s ?

En utilisant la méthode d'Euler :

1.6.3. Calculer la valeur de la vitesse à l'instant t = 0,24 s.

1.6.4. En déduire la valeur de l'accélération à l'instant t = 0,24 s.

1.7. Placer sur la représentation vG = f(t) de l'annexe 1 les valeurs des vitesses obtenues par la

méthode d'Euler et tracer la courbe passant par ces points.

1.8. Sur quel paramètre peut-on agir pour améliorer la résolution de l'équation différentielle par la

méthode d'Euler ?

En comparant la courbe obtenue par la méthode d'Euler et les points expérimentaux, la

modélisation de la force de frottement de l'huile sur la balle fF = - k× GvF est-elle valide ? Justifier votre réponse.

2. Détermination de la viscosité de l'huile moteur

Pour des vitesses faibles, la formule de Stokes permet de modéliser la force de frottement fluide fF agissant sur un corps sphérique en fonction de Ș la balle R et de la vitesse de déplacement GvF de la balle telle que : fF GvF

ȘG en m.s-1 .

2.1. En vous aidant de l'expression de B donnée à la question 1.3 et de l'hypothèse

fF = - k× GvF edžprimer la ǀiscositĠ ɻ en fonction de B, m et R.

2.2. Calculer la ǀiscositĠ ɻ de lΖhuile ĠtudiĠe.

2.3. À l'aide des valeurs de viscosité données ci-dessous, identifier l'huile de moteur étudiée.

Huile moteur à 20°C

SAE 10 SAE 30 SAE 50

ɻ (Pa.s) 0,088 0,290 0,700

Exercice 4

Les parties 1 et 2 de cet exercice sont indépendantes. Du 13 au 27 juillet 2003 ont eu lieu les dixièmes championnats du monde de natation à

Barcelone et parmi les disciplines représentées figurait celle du plongeon. Dans cet

m = 70,0 kg, lors de son saut et dans un inertie G du plongeur est notée y. On prendra pour la valeur du champ de pesanteur g = 9,80 m.s 2 et on considèrera que le référentiel terrestre est galiléen.

1. Saut du plongeur

r au cours de son mouvement et on admet que lors du saut, les mouvements de rotation du plongeur

On note y0

v0 sa vitesse initiale.

On donne v0 = 4,0 m.s 1 et y0 = 4,0 m.

Figure 1

1.1. On considère le système {plongeur} dans le champ de pesanteur terrestre. On a

représenté en figure 2 pesanteur du sys pp est

Epp =mgy.

Figure 2

On note tS

En utilisant le graphique ci-dessus déterminer lyS à laquelle se situe le centre G tS. 1.2.

1.2.1.

interaction avec la Terre} en fonction des grandeurs m, g, y et de la valeur de la vitesse v

1.2.2. En justifiant la réponse, dire comment cette énergie évolue au cours du

temps.

On rap

1.2.3.

À cet instant de date t1

cinétique du plongeur en fonction de v0, m, g, y0 et y1.

Calculer sa valeur sachant que y1 = 1,0 m.

1.2.4. v1 t1.

Calculer sa valeur.

0, 5 0, 0 1, 0 2, 0 3, 0 2, 5 1, 5

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 t

(ms) 3, 5

Epp (kJ)

cette partie. La profondeur du bassin dans lequel évolue le plongeur est de 5,0 m.

Figure 3

Pour pouvoir remonter, le plongeur doit redresser son buste. On estime que le plongeur toujours à 1,0 m de ses mains tendues. Au moment où il amorce sa remontée, les mains du plongeur ont-elles atteint le fond du bassin ? Justifier la réponse. 2.2. frottement fluide dont le sens est opposé celui du vecteur vitesse v et dont la valeur peut

être modélisée p

2.2.2. En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer

par :

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