[PDF] Optique géométrique 9 sept. 2020 1.3

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Préparation à l"agrégation de Montrouge

Septembre 2020Clément Sayrin

clement.sayrin@lkb.ens.frCorrigé

Optique géométrique

OOO

ExerciceI Rappels

1.Définitions

1.1 À la surf acede séparation de deux milieux transparents et homogènes d"indices n

1etn2, appeléedioptre, une partie de la lumière est réfléchie et une autre est

transmise (on parle de réfraction). On notei,iretitles angles entre la normale à la surface de séparation et les angles incident, réfléchi et transmis, respectivement (voir FIG. 1.1). Ces phénomènes sont régis par les lois deSnell-Descartes: Les rayonsréfléchietréfractéappartiennentaupland"incidence,leplandéfini par le rayon incident et la normale au dioptre au point d"incidence; -i=ir; -n1sini=n2sinit.n 2 i i t i r n

1Figure1.1 - Lois de Snell-Descartes

1.2Stigmatisme rigoureuxOn considère un dispositif optiqueet un couple de

pointsAetA0(voir FIG. 1.2). Le dispositifest ditrigoureusement(ou parfai- tement)stigmatiquepour le couple de pointsA,A0si tous les rayons issus deA,

AA

AA

dΔFigure1.2 - Système optique rigoureusement stigmatique. Système optique approxima- tivement stigmatique. interceptés paret émergents de, s"interceptent au pointA0en sortie du dispo- sitif. Les systèmes parfaitement stigmatiques sont rares (miroirs plans pour tout point de l"espace, miroir parabolique pour son foyer et l"infini...). Stigmatisme approchéDans la plupart des cas, les rayons ne se recoupent pas exactement en un point, mais définissent un petit élément de volume autour deA0. Si cet élément de volume reste susamment petit, on parle de stigmatisme appro-

ché : si la tache qui en résulte est plus petite que la taille du détecteur élémentaire

(grain photographique, bâtonnet de l"oeil...), l"image paraît nette. 1.3 Un dispositif optique f aitd"un objet à distance finie ou infinie une image à distance finie ou infinie. L""ecacité» du dispositif optique peut alors être caractérisée par le rapport entre la "taille» de l"image et la "taille» de l"objet. Pour un objet à distance finie, la taille de l"objet est simplement donnée par... sa taille!,i.e.une longueur d. Pour un objet à l"infini, en revanche, on utilisel"anglesous lequel on voit l"objet depuis le centre du dispositif optique. Un dispositif optique faisant d"un objet à l"infini une image à l"infini est carac- térisé par songrossissement G, défini comme le rapport des angles G=0 C"est le cas, par exemple, d"une lunette astronomique. Un dispositif optique faisant d"un objet à distance finie une image à distance finie est caractérisé par songrandissement , défini comme le rapport des tailles =d0d C"est le cas, par exemple, d"un appareil photo.Dernière modification : 9 septembre 20201/20

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Septembre 2020Clément Sayrin

clement.sayrin@lkb.ens.frRemarqueOn distingue parfois le grandissement transverse (rapport des tailles

parallèles à l"axe optique) ou encore du grandissement pupillaire (rapport du dia- mètre de la pupille de sortie sur le diamètre de la pupille d"entrée). Sans précision, on appelle grandissement le grandissement transverse. Pour pousser le vice, on parle parfois de grandissement angulaire au lieu de grossissement. Pour un dispositif optique faisant d"un objet à distance finie une image à l"in- fini, on ne peut pas utiliser simplement un rapport du type=d: on ne compare pas des angles à des longueurs! On utilise dans ce cas legrossissement commercial G c, défini comme le rapport G c=0 c; oùcest l"angle sous lequel est vu l"objet de tailledaupunctum proximum,i.e. au point le plus proche de l"oeil sur lequel il peut encore accommoder. Pour un oeil " normal » le punctum proximum est à environdm=25cm et c=dd m: Autrement dit,cest l"angle le plus grand sous lequel on peut voit l"objet à l"oeil nu.

1.4Conditions de GaussOn ne considère ici que des systèmes optiques ditscentrés,

i.e.présentant une symétrie de révolution autour d"un axe. Tous les éléments du montage optique doivent posséder le même axe de symétrie, appeléaxe optique. Les conditions de Gauss sont vérifiées lorsque les rayons sont peu inclinés sur l"axe optique et que l"écart à l"axe optique est faible par rapport aux distances longitudinales caractéristiques (distances focales ou autres). Utilisés dans ces conditions, tous les dispositifs optiques usuels (lentilles minces, miroirs ou dioptres sphériques...) réalisent le stigmatisme approché. Une lentille utilisée dans les conditions de Gauss est un système stigmatique (stigma- tisme approché). Cette propriété est essentielle pour la formation des images.AB F IJ O A B

FFigure1.3 - Lentille mince.

2.Lentille mince

2.1Relations de conjugaisonSoit une lentilleminceLde centre optiqueO, de foyer

imageF0et de foyer objetF. On notefetf0les distances focales objet et image, respectivement :f0=OF

0=OF=f. On af0>0 pour une lentille conver-

gente, etf0<0 pour une lentille divergente. PourA0, image deAparL, la relation de conjugaison s"écrit 1OA 01OA =1f

0:(I.1)

2.2Relations de NewtonOn applique le théorème de Thalès dans les trianglesABF

etFOI,FA FO =AB OI =AB A 0B0; ainsi que dans les trianglesA0B0F0etF0OJF 0A0F 0O=A 0B0OJ =A 0B0AB En combinant les deux expressions précédentes, on obtientF 0A0F 0O=FO FA !F

0A0·FA=F

0O|{z}

f0·FO |{z} f=f0:

Dernière modification : 9 septembre 20202/20

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clement.sayrin@lkb.ens.frD"où les relations de Newton : F

0A0·FA=f f0=f02:(I.2)

2.3 Le grandissement transv ersede la lentille est donné par =A 0B0AB =FO FA . Donc =fFA =F 0A0f 0: On constate ici directement la règle simple : le grandissement de la lentille est d"autant plus grand, en valeur absolue, que l"objet est proche de la lentille. Évi- demment, il ne faut pas pour autant que l"objet soit plus proche de la lentille que le plan focal objet,i.e.queAdépasseF. QuandA=F, le grandissement diverge. 2.4

La distance objet-image AA

0s"écritAA

0=AF+FF

0+F

0A0=AF+2f0+f02AF

Les positions deAqui extrêmisentAA

0, àf0fixé, vérifient donc

1f02AF

2=0;soitAF=f0:

Ces deux positions correspondent à des minima deAA0: -AF=f0correspond àA=A0=O: la distance objet-image est nulle, mais cette configuration a peu d"intérêt... -AF=f0correspond à la configuration dite " 4 f » :AA

0=4f0. C"est la

distance minimum entreAetA0, quandAetA0sont tous deux réels. Dans la configuration " 4 f », en utilisant le résultat de la partie précédente, le grandissement est =1. Pour augmenter (diminuer)j j, il faut diminuer (aug- menter)FA,i.e.rapprocher (éloigner) la lentille de l"objet. 2.5 On fix emaintenant la position de l"objet et de l"écran et l"on cherche où placer une

lentille de focalefpour que l"image de l"objet par la lentille soit nette sur l"écran.On noteDla distance objet - écran. D"après le résultat de la question précédente,

il n"y aura de positions possibles pour la lentille que si f 0D=4: Pour trouver la position de la lentille, on remplace dans l"équation (I.1)OAparOA 0+A 0A=OA

0Det on obtient simplementOA

02DOA

0+f0D=0;

qui n"a bien de solution que sif0D=4. On a alorsOA

0=DpD(D4f)2

Les deux positions possibles sont symétriques l"une de l"autre par rapport au mi- lieu du segment objet-écran, et sont confondues siD=4f. Elles correspondent, en outre, à des grandissements inverses.

3.Principe du microscope

3.1 L "oeiln"accommode pas si l"image est à l"infini. Il f autdonc que l"image intermé- diaire soit dans le plan focal de l"oculaire. L"idée du microscope est d"obtenir une image agrandie que l"on observe ensuite à la loupe (oculaire). 3.2 Puisque le microscope forme d"un objet à distance finie une image à l"infini, on cherche à calculer le grossissement commercialGcde ce dispositif optique. On notel"intervalle optique, défini comme la distance entreF01etA1F2(voire figure 1.4). Le grandissement obde la lentilleL1est défini par ob=A 1B1AB D"après nos résultats précédents, on peut par ailleurs écrire ob=A 1B1AB =F 01A1F

01O1=f

01: L"anglesous lequel est vue l"image dans l"oculaire du microscope est alors =A 1B1f 2=f

01f02AB:Dernière modification : 9 septembre 20203/20

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clement.sayrin@lkb.ens.frL 2 ΔL 1 O 2

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