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Chapter2:Fonctionsd eplusi eursvariables27

2.4Di ff

érentiabilitéenplusieursvariables

Ladi ff

érentiabilitéd'unefonctionfaupoin tx

0 correspondàl'exis- tenced'unea pproximationli néairedelafonctionfauvois inagedupoint x 0 .Po urunefonction d'unevar iable,cetteapproximation linéaireestla droitetangente.Pourf onctionsdedeuxvariables ,elleseralepl antan- gentaugrap hedela fonctionaupoint(x 0 ,y 0 Dèsqueu nefonctio nd'unevar iableestdérivablesietseu lementsi ilexist eladroitetangen teaupo int,surRilyaéqu iva lence entrela dérivabilitéetladi ff érentiabilité.Pourfonctiondeplusieurs variables,en general,ladérivabilit éestun enotiontropfaiblepourgarantirl'ex istence d'uneapproximat ionlinéaire.Pourgarantirl'existencedelalin éarisation ilfaut parlerdedi ff

érentielle.

Définition2.4.1[Di fférentiabilitéd'unefdpvàvaleursréelles ]Soient

Dunouv ertdeR

n ,f:D7!Retx 0

2D.Onditquefestdifférentiable

enx 0 siilex isteu neapplicationlinéair eL:R n

7!Rtellequeau

voisinagedex 0 l'onait: f(x 0 +h)f(x 0 )=Lh+o(|h|)

Siune tellea pplicationexis te,onl'appelledi

ff

érentielledefaupoint x

0 etonla noteDf(x 0 Toutesfonctionsél émentairestellesquepolynômes, exponentielle,loga- rithmiquesettrigonométriquesso ntd i ff

érentiablesdansleurdomained e

définition.

Sauriez-vousdonnerladéfinitiondedi

ff

érentiellepourf:D7!R

p p>1? Deman ièreéquivalenteonpeutd irequefestdifférentiableaupoint

282.4. Différentiabilitéenplusieursvariables

x 0 2R n sietseul ement sil'expression: f(x 01 +h 1 ,···,x 0n +h n )f(x 01 ,···,x 0n )h 1 x 1 f(x 0 )···h n x n f(x 0 p h 2 1 +···+h 2 n tendvers0lorsque(h 1 ,···,h n )!(0,···,0). Ladi ff érentiabilitéestuneconditionplusfor tequel acontinuit éetla dérivabilité.

Théorème2.4.2SoientDunouv ertdeR

n ,f:D7!Retx 0 2D.Si festdifférentiableenx 0 alors: - festcontinue enx 0 - fadmettoutedériv éedirectionnelle enx 0 etsad i ff

érentielleest

donnéepar: Df(x 0 ):R n 7!R (h 1 ,···,n n )7!@ x 1 f(x 0 )h 1 x n f(x n )h n =rf(x 0 )·h ATTENTION:laréciproqueduthéor ème2 .4.2est fausse. Exemple12 Lafonct iondéfinieauremarque7estdérivable en(0,0) maispasdi ff

érentiableencepointcarpascont inue.

Définition2.4.3[Fo nctiondeclasseC

1 ]Soi entDunouv ertdeR n et f:D7!R.Sit out edérivéepartiel ledefexisteetestcontinue surD onditqu efestdecl asseC 1 surDetoné critf2C 1 (D). Théorème2.4.4[Co nditionsuffisantepourladi fférentiabilité]Soient

Duno uvertdeR

n ,f:D7!Retx 0

2D.Sifestdecl asseC

1 au voisinagedex 0 alorselleestdi ff

érentiableaupointx

0 Proposition2.4.1[Pl antangent]Soient Dunepart ieouvertede R 2 ,f:D7!Ret(x 0 ,y 0 )2D.Sifestdifférentiableen(x 0 ,y 0 )alors elleadmetunel inéarisationauv oisinag ede(x 0 ,y 0 ).L'équationduplan

Chapter2:Fonctionsd eplusi eursvariables29

Figure4:Fonc tiondifférentiablef(x,y)admettantunplantangentàsongr aphe pourtoutpoi nt(x 0 ,y 0 ,f(x 0 ,y 0 tangentaugraphed elafonc tion{x,y,f(x,y)}en(x 0 ,y 0 )estdonnée par: t(x,y)=f(x 0 ,y 0 )+(xx 0 x f(x 0 ,y 0 )+(yy 0 y f(x 0 ,y 0 Quelleestl'équati ondu"p lan"tangentpourunefonctiondi ff

érentiable

enR 3 ?Et enR n

2.5Dérivées d'ordressupérieurs

Siunef onctionfestdériv ableonpeutsedemandersilesdér ivées partiellessontellesmêmesdériva bles.Parexempl e,danslecas d'une fonctionf:R 2

7!R,on peutch ercherlesdeux dérivéespartielles(par

302.5. Dérivéesd 'ordressupérieurs

Figure5:Fonc tionnondifférentiableen(0,0).Lanonexistenced'unplantangent augrap hedelafonctionen (0,0)estflagrante.

Chapter2:Fonctionsd eplusi eursvariables31

rapportàxety)des foncti ons@ x f(x,y)et@ x f(x,y).Si lesdéri vées existent,elless'appellentd érivéespart iellesd'ordre2.

Pourunefonct ionf:D7!R,DouvertdeR

n ,si toutes lesdérivées partiellespremiéressondérivab les,onan 2 dérivéespartiellesd 'ordre2: 2 f x 2 iquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40