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Les pourcentages

Table des matières

1 Les pourcentages instantannés

2

1.1 Déterminer un pourcentage

2

1.2 Prendre un pourcentage

2

1.3 Déterminer le total

3

1.4 Pourcentage de pourcentage

3

2 Pourcentage d"évolution

4

2.1 On connaît la valeur initiale et la valeur finiale

4

2.2 On connaît le pourcentage d"évolution et la valeur initiale

5

2.3 On connaît le pourcentage d"évolution et la valeur finale

5

2.4 On connaît le coecient multiplicateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Evolutions successives

6 Paul Milan 1 sur7 Première L

1 LES POURCENTAGES INSTANTANNÉS

1Lespourcentagesinstantannés

Définition 1 :

Étant donné un nombre réel positifa, le quotienta=100est encore notéa%. Cette écriture lue "apour cent" est appelée un pourcentage. Les pourcentages sont utilisés en statistiques, en mathématiques financières et économiques.Exemples :15%=15100 =0;15ou encore4;5%=4;5100 =0;045

1.1Déterminerunpourcentage

Lorsque l"on cherche à déterminer l"importance de la partie dans le total, nous pouvons utiliser deux paramètres. Soit la part qui est le rapport de la partie sur le total, soit la part en poucentage qui correspond à ce rapport multiplié par100.Part=PartieTotal

Pourcentage=PartieTotal

100Exemple : Dans une classe de 1

reL de 35 élèves, il y a 14 garçons. Calculer la part et le pourcentage de garçon dans la classe Le total ici représente la classe soit 35 et la partie représente les garçons soit 14, on a donc :

Part=1435

=25

Pourcentage=1435

100=0;4100=40%

1.2Prendreunpourcentage

Cette fois nous connaissons la part ou le pourcentage et le total.

Nous cherchons la partie.

Partie=PartTotal

Partie=Pourcentage100

TotalPaul Milan 2 sur7 Première L

1 LES POURCENTAGES INSTANTANNÉS

Exemples : Sur les 300 élèves que compte un établissement, 12% sont des élèves de 1 reL. Dans cette classe de 1reL , un quart des élèves étudient l"allemand. Quel est le nombre d"élèves de 1 reL et le nombre de ceux-ci qui étudient l"allemand?

Nombre d"élèves de 1

reL=12100

300=36

1 reL qui étudient l"allemand=14 36=9

1.3Déterminerletotal

Souvent le plus simple pour calculer le total connaissant la partie et le pourcentage, est d"effectuer un tableau de proportionnalité.PourcentagePartie

100%TotalTotal=Partie100Pourcantage

Exemple : Dans un groupe de touristes, il y a 35 touristes belges qui représente 14% du groupe. Quel est le nombre de touristes dans ce groupe? Remplissons un tableau de proportionnalité14%35

100%Nbre de touristesNbre de touristes=3510014

=250

1.4Pourcentagedepourcentage

On parle de pourcentage de pourcentage lorsque la partie contient un sous-ensemble. Nous avons alors le schéma suivant :A représentea%de B

B représenteb%de E

A représentea%deb%de E

A représente donc

ab100 % de EExemple : Dans une classe, ily a 45 % de garçon dont 80 % ont moins de 17 ans. Quelle est la proportion de garçons de moins de 17 ans dans la classe.

Nbre de garçons de moins de 17ans=4580100

=36%Paul Milan 3 sur7 Première L

2 POURCENTAGE D"ÉVOLUTION

2Pourcentaged"évolution

On parle d"évolution lorsqu"une valeur évolue au cours de temps. On peut alors faire le schéma suivant : V i>Vf

Valeur initiale Valeur finale

Pourcentage d"évolution=VfViV

i100 On peut définir un coefficient afin de passer de la valeur initiale à la valeur finale par une multiplication. On note ce coefficientCM (coefficient multiplicateur).

CM=VfV

ion a alors :Vf=CMViExemples : 1. La population d"une ville passe en 10 ans de 56 000 à 91 000 habitants. Quel est le pourcentage d"augmentation de la popula- tion? Calculer le coeficient multiplicateur.

Evolution en %=91 00056 00056 000

100=35 00010056 000

=62;5%

Il s"agit d"une augmentation de 62,5 %.

CM=91 00056 000

=1;625 2. Le prix d"un téléviseur de 1560 ea été soldé à 1365e. Quel est le pourcentage de réduction. Calculer le coefficient multiplicateur.

Evolution en %=1 3651 5601 560

100=1951001 560

=12;5%

Il s"agit donc d"une remise de 12,5 %.

CM=1 3651 560

=0;875Remarques : 1. Pour le pourcentage d"évolution, on divise toujours par la valeur initiale. Si le pourcentage est positif, il s"agit d"une augmentation. Si le pourcentage est négatif , il s"agit d"une réductionPaul Milan 4 sur7 Première L

2 POURCENTAGE D"ÉVOLUTION

2. Synomymes d"augmentation : hausse, inflation, . . . Synomymes de réduction : diminution, déflation, rabais, démarque, solde, remise, . . . 3. Pour une augmentation CM>1et pour une réductionCM<1. initiale On se trouve soit dans le cas d"une augmentation soit d"une réduc- tion. On appelleale pourcentage d"augmentation etrle pourcentage de réduction. On obtient alors :

CM=1+a100

ouCM=1r100 avecVf=CMViExemples : 1. La fréquent ationd"un musée subit une augmentation de 18 % de 2000 à 2007. En 2000, 110 000 personnes ont visité le musée. Quel est le nombre de visiteurs en 2007?

CM=1+18100

=1;18

Nbre de visiteurs=1;18110 000=129 800

2. Un ordinateur de 980 ebaisse de 5 %. Quel est le nouveau prix de cet ordinateur?

CM=15100

=0;95 Nouveau prix=0;95980=931Remarque : On pourrait éventuellement calculer d"abord l"augmen- tation ou la réduction et l"additionner ou la soustraire à la valeur initiale. finale Pour calculer la valeur initiale, on divise. En effet : V i=VfCM Exemple : Un prix TTC de 150ea été obtenu à partir d"une TVA de 20 %. Déteminer le prix hors taxe ainsi que la TVA.Paul Milan 5 sur7 Première L

2 POURCENTAGE D"ÉVOLUTION

La TVA correspond à une augmentation, donc :

CM=1+20100

=1;2

Prix hors taxe=1501;2=125

TVA=150125=25Remarque : On ne peut pas déterminer le prix hors taxe en soustrayant 20 % du pric TTC. En effet la TVA se calcule sur le prix hors taxe. Nous devons nécessairement procéder par division. Pour déterminer le pourcentage d"évolution à partir du coefficient multiplicateur, on applique une des formules suivantes :

SiCM>1alorsa=100(CM1)

SiCM<1alorsr=100(1CM)Exemples :

1. Le coefficient multiplicateur est de 1,03. Quel est le pourcentage d"augmentation? Comme le coefficient multiplicateur est supérieur à 1, il s"agit bien d"une augmentation a=100(1;031)=3% 2. Le coefficient multiplicateur est de 0,92. Quel est le pourcen- tage de réduction? Comme le coefficient multiplicateur est inférieur à 1, il s"agit bien d"une réduction r=100(10;92)=8%

2.5Evolutionssuccessives

Lorsqu"une valeur subit deux évolutions successives, on peut sché- matiser la situation comme : V 1CM

1!V2CM

2!V3 V 1CM

T=CM1CM2!V3

Pour trouver le coefficient multiplicateur global, il suffit de multiplier les coefficients multiplicateurs successifs. CM

T=CM1CM2Exemples :

Paul Milan 6 sur

7

Première L

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