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ÉQUATIONS

Tout le cours sur les équations en vidéo : https://youtu.be/WoTpA2RyuVU

Partie 1 : Équations du premier degré

But : Trouver !

C'est-à-dire : isoler dans l'équation pour arriver à : = nombre Méthode : Résoudre une équation du premier degré

Vidéo https://youtu.be/quzC5C3a9jM

Résoudre les équations : a) -5+3=-3+2 b) 3 +4 +5 +2

Correction

1) -5+3=-3+2

-5+3=2-3 -2=-1 -1 -2 1 2 2) 3 +4 +5 +2

3+12=--5+2 On applique la distributivité

3+=-12-5+2

4=-15

15 4

Partie 2 : Équation-produit

Propriété : Si ×=0 alors =0 ou =0. ← On ramène les " » à gauche et les " nombres » à droite. ← Réduire ← On divise par -2.

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Autre formulation :

Si un produit de facteurs est nul, alors l'un au moins des facteurs est nul.

Méthode : Résoudre une équation-produit

Vidéo https://youtu.be/EFgwA5f6-40

Vidéo https://youtu.be/sMvrUMUES3s

Résoudre dans ℝ les équations suivantes : a) (4+6)(3-7)=0 b)

3+1

1-6

-(3+7)(3+1)=0 c) 5 -4=0

Correction

a) (4+6)(3-7)=0 Si un produit de facteurs est nul, alors l'un au moins des facteurs est nul. Soit : 4+6=0 ou 3-7=0

4=-6-7=-3

L'équation a deux solutions : -

3 2 et 3 7

On note : =-

3 2 3 7 b) On commence par factoriser l'expression pour se ramener à une équation-produit :

3+1

1-6

-(3+7)(3+1)=0 (3+1)[

1-6

-(3+7)]=0 (3+1)(1-6-3-7)=0 (3+1)(-9-6)=0

Soit : 3+1=0 ou -9-6=0

3=-1 -9=6

L'équation a deux solutions : -

et -

On note : =-

2 3 1 3 c) 5 -4=0

5-4

=0 Soit : =0 ou 5-4=0

5=4

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L'équation a deux solutions : 0 et

On note : =0;

4 5 Partie 3 : Équation de la forme ²= Propriété : Les solutions dans ℝ de l'équation = dépendent du signe de . Si <0, alors l'équation n'a pas de solution. Si =0, alors l'équation possède une unique solution qui est 0. Si >0, alors l'équation possède deux solutions qui sont - et

Démonstration :

- Si <0, l'équation n'a pas de solution car un carré est toujours positif. - Si =0, alors l'équation s'écrit =0 donc =0. - Si >0: = équivaut à : -=0

Soit C-

DC+ D=0 =0 ou + =0

L'équation possède deux solutions :-

et Méthode : Résoudre une équation de la forme

Vidéo https://youtu.be/ef15aeQRs6w

Résoudre dans ℝ les équations :

a) =16 b) =-8 c) +2 =9.

Correction

a) L'équation =16 possède deux solutions : =-

16=-4 et =

16=4.

On note : =

-4;4 b) L'équation =-8 n'a pas de solution dans ℝ car -8 est négatif.

On note : =∅.

c) L'équation +2 =9 possède deux solutions : +2=-

9 et +2=

9

Soit : =-3-2=-5 et =3-2=1

L'équation a deux solutions : -5 et 1.

On note : =

-5;1

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Partie 4 : Équation-quotient

0 2 4 2 =0, où () et () sont des expressions littérales (()≠0).

Propriété : Si

5 6 =0 alors =0 et ≠0.

Exemple :

L'équation

27&
27$
=0 a pour solution =-2.

Méthode : Résoudre une équation-quotient

Vidéo https://youtu.be/zhY1HD4oLHg

Vidéo https://youtu.be/OtGN4HHwEek

Résoudre dans ℝ les équations :

a) $27- 2#* =0 b) &27* 2#$ 2#" =0 c) 2 27$
=0 d) 27$
2#$ 2#$ e) Pour les experts : 1- 27$
2#$ 

Correction

a) L'équation $27- 2#* =0 n'est pas définie pour -1=0, soit pour =1.

Pour ≠1, l'équation

$27- 2#* =0 équivaut à : 3+5=0

3=-5

On note : =-

5 3 b) L'équation &27* 2#$ 2#" =0 n'est pas définie pour -4=0, soit pour =4.

Pour ≠4, l'équation

&27* 2#$ 2#" =0 équivaut à :

2+1

-3 =0

Soit : 2+1=0 ou -3=0

2=-1 =3

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Les solutions sont : =-

et =3.

On note : =-

1 2 ;3;. c) L'équation 2 27$
=0 n'est pas définie pour +3=0, soit pour =-3.

Pour ≠-3, l'équation

2 27$
=0 équivaut à : -9=0, soit =9

Soit encore : =-

9=-3 ou =

9=3. Comme ≠-3, l'équation a pour unique solution : =3.

On note : =

3 d) L'équation 27$
2#$ 2#$ n'est pas définie pour : -3=0, soit pour =3.

Pour ≠3, l'équation

27$
2#$ 2#$

équivaut à :

27$
2#$ 2#$ =0. On réduit au même dénominateur dans le but de se ramener à une équation-quotient : 27$#&
2#$ =0 27*
2#$ =0 Pour ≠3, l'équation équivaut à +1=0.

D'où =-1.

On note : =

-1 e) L'équation 1- 27$
2#$  n'est pas définie pour =2 et =3. Pour ≠2 et ≠3, l'équation 1- 27$
2#$ 

équivaut à : 1-

27$
2#$  =0 On réduit au même dénominateur dans le but de se ramener à une équation-quotient : 2#$  2#$  27$
 2#$  2#$  2#$ =0 2#$  27$
 2#$ 2#$  =0 On développe et on réduit le numérateur : &2#2 #!7$2#&272 #!7$2#&27! 2#$  =0

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Ce qui équivaut à 4-6=0.

D'où =

On note : =

3 2

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