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Probl `emes d"optimisation

Question 1

Quelles sont les dimensions du rectangle d"aire maximale dont le p

´erim`etre est de 36m.

Question 2

Trouver deux nombresxetytels quex+yest minimum et

xy=3.

Question 3

D ´eterminer le plus grand produit possible de deux nombresxety tels que 2x+3y=1.

Question 4

D ´eterminer la valeur dexo`u un rectangle inscrit entre la courbe d" ´equationy=(x5)2et les axes de coordonn´ees a une aire maximum.5A(x)xy xy

Question 5

D ´eterminer la valeur dexo`u un rectangle inscrit entre la courbe d" ´equationy=4x2et la partie positive des axes de coordonn´ees a une aire maximum.A(x)xy xy

Question 6

Quelles sont les dimensions (rayon et hauteur) d"un cylindre d"aire minimale et de volume 1024?Question 7 Suite `a une´etude, on d´etermine que la probabilit´e de gu´erison Pd"une maladie grave d´epend de la dose administr´eex(en grammes) d"un m

´edicament par la fonction

P(x)=3px

4(x+1):

Quelle quantit

´e de ce m´edicament donne`a un patient la plus grande probabilit

´e de gu´erir?

Question 8

On sait que la r

´esistance d"une poutre est proportionnelle au pro- duit de sa base et du carr

´e de sa hauteur. Quelle sont les dimen-

sions de la poutre la plus r

´esistante que l"on peut tailler d"un tronc

d"arbre de 30cm de diam `etre?Question 9 On veut imprimer sur une feuille de papier dont l"aire est de 2m 2 en laissant des marges de 10cm en haut et en bas et de 8cm sur les c ˆot´es. Quelles seront les dimensions de cette feuille pour que la surface imprim

´ee soit maximale?

Question 10

Une entreprise a d

´etermin´e que le nombrexd"unit´es vendues chaque jour d

´epend du prix de venteppar la fonction

x(p)=1000p: Le co

ˆut de production dexunit´es est de

C(x)=3000+20x:

a) Exprimer le re venuR(x) de l"entreprise en fonction du nombre d"unit

´es venduesx.

b) Exprimer le profit P(x) de l"entreprise en fonction du nombre d"unit

´es venduesx.

c)

Si la capacit

´e maximale de production de l"entreprise est de

1000 unit

´es par jour. Combien d"unit´es doit-elle produire pour maximiser son profit? d)

Quel est le profit maximal de l"entreprise ?

e) `A quel prix doit-elle vendre chaque unit´e pour maximiser son profit? 1

Question 11

On veut couper une corde de 200cm en deux. L"une des deux parties servira `a former un carr´e et l"autre,`a former un cercle. a) `A quelle longueur doit-on couper la corde pour que la somme des surfaces des figures soit maximale? b) `A quelle longueur doit-on couper la corde pour que la somme des surfaces des figures soit minimale?

Question 12

On peut fabriquer une bo

ˆıte sans couvercle en enlevant un carr´e de chaque coin d"une feuille de carton rectangulaire de dimensions

24cm par 45cm, puis en repliant chaque c

ˆot´e. Quelle devraitˆetre

la mesure du c ˆot´e de ce carr´e pour que la boˆıte ait un volume maximal?Question 13 Une compagnie fabriquant des petits pingouins de plastique es- time que le co ˆut (en $) pour fabriquerxpingouins de plastique est donn

´e par

C(x)=6300+10x+x228

En divisant ce co

ˆut parx, on obtient le coˆut unitaire de produc- tion. Combien de pingouins de plastique la compagnie doit-elle produire pour minimiser ce co

ˆut unitaire?

Question 14

On forme un c

ˆone en supprimant un secteur d"un disque de rayon egal`a 20cm. Quelle hauteur a le cˆone de volume maximal ainsi form

´e?Question 15

Une entreprise vend un produit 100$ l"unit

´e. Le coˆut total (en $)

de production quotidienne dexunit´es est de

C(x)=100000+50x+x2400

a)

Combien d"unit

´es doit-elle produire chaque jour pour´eviter les pertes? b)

Si l"usine a une capacit

´e de production de 7000 unit´es par

jour et qu"elle vend toutes les unit

´es qu"elle produit, combien

d"unit ´es doit-elle produire par jour afin de maximiser son pro- fit.c)Si l"entreprise d ´ecide d"investir pour augmenter sa capacit´e de production (agrandissement, machinerie, employ

´es...),`a quel

niveau (en unit

´es par jour) devrait-elle le faire?

Question 16

On veut passer un fil

´electrique entre le pointAet le pointB. La

r ´ealisation de ce projet implique un coˆut 800$=kmle long d"une route existante et de 1200 $=kmautrement. Trouver la position du pointPpour que le coˆut soit minimal.Question 17 Trouver les dimensions du rectangle d"aire maximale que l"on peut inscrire entre l"axe desx, l"axe desyet la courbe d"´equation (x9)2.Question 18

Trouver le point de la courbe def(x)=x+1px

le plus pr`es du point (1;0).

Question 19

Le propri

´etaire d"un immeuble de 30 logements a d´etermin´e que si le loyer est de 600$, tous ses logements sont occup

´es et que

chaque augmentation de 25$ entra

ˆınera la perte d"un locataire.

Quel doit

ˆetre le prix du loyer pour que le propri´etaire ait un re- venu de location maximal?

Question 20

Dans le contexte du probl

`eme pr´ec´edant, consid´erons que chaque logement entra ˆıne des d´epenses de 40$ par mois s"il est inoccup´e et de 90$ par mois s"il est occup

´e. Quel doitˆetre le prix du loyer

pour que le propri

´etaire maximise son profit?

Exercices r

´ecapitulatifs

Question 21

R ´epondre aux questions suivante sur le graphique de la fonction fdonn´e ci-dessous.2 a)T rouverles v aleursde xo`ufa un minimum relatif. b)

T rouverles v aleursde xo`ufa un maximum relatif.

c) T rouverles v aleursde xo`ufa un point d"inflexion.i d) T rouverles v aleursde xo`ufn"est pas d´erivable. e) Quel est le maximum absolu sur l"interv alle[0 ;x6[? f) Quel est le minimum absolu sur l"interv alle[ x2;x5]? g) Quels sont les e xtremumsabsolus sur l"interv alle[ x1;x7]?

Question 22

Sur quel(s) intervalle(s) les fonction suivantes sont-elles crois- sante? a)y=2x3+3x236x+1 b)y=2x2+x+8x c)y=87xx 21
d)y=x24 4=5

Question 23

Sur quel(s) intervalle(s) la fonction donn

´ee est-elle concave vers

le bas? a)f(x)=(14x)3 b)f(x)=(x1)2(x+1)2 c)f(x)=xp2x2

Question 24

Une compagnie lance sur le march

´e un nouveau mod`ele de cure-

dents r ´evolutionnaires. Une´etude de march´e r´ev`ele que le profit mensuelPde la compagnie d´epend du prix de vente fix´expar la fonction

P(x)=400x3380x2+5600x:

Quel prix maximise ce profit?

Question 25

Trouver les dimensions du rectangle de p

´erim`etre maximal que

l"on peut inscrire dans un cercle dont le rayon est de 10m.

Question 26

On veut fabriquer une bo

ˆıte`a base carr´ee, avec un couvercle. Les mat ´eriaux utilis´es coˆutent 0,03$ par cm2pour le fond, 0,05$ par cm

2pour le couvercle et 0,02$ pour les cˆot´es. Si la boˆıte doit

co ˆuter 24$, quelles doiventˆetre ses dimensions pour que son vo- lume soit maximal?Question 27 Trouver les dimensions du triangle rectangle d"aire maximale que l"on peut inscrire sous la courbe dey=12xx2?Question 28

Soit la fonction

f(x)=1px Trouver le pointPsur la courbe de cette fonction qui minimise la pente d"une droite passant par ce pointPet le point (0;1).

Question 29

Trouver le pointPde la courbe d"´equation

f(x)=(x3)2 tel que le triangle rectangle d

´elimit´e par l"axe desx, l"axe desyet

la droite tangente `a la courbe au pointPsoit d"aire maximale.Question 30

Vrai ou faux. Trouver un contre-exemple si l"

´enonc´e est faux.

a) Si fetgsont croissantes sur un intervalle, alorsf+gl"est egalement. b) Si fetgsont croissantes sur un intervalle, alorsfgl"est egalement. c) Si fetgsont concaves vers le haut sur un intervalle, alorsf+g l"est

´egalement.

d) Si fetgsont concaves vers le haut sur un intervalle, alorsfg l"est

´egalement.

Question 31

Soit un polyn

ˆome de degr´e troisy=ax3+bx2+cx+d.

a)

Montrer que ce polyn

ˆome ne poss`ede qu"un seul point d"in-

flexion. b)

Montrer que si ce polyn

ˆome a 3 z´eros, alors la coordonn´ee

enxde ce point d"inflexion correspond`a la moyenne des 3 z

´eros.

c) T rouverle point d"infle xionde y=x33x2+2xen utilisant d"abord le r ´esultat montr´e en b), puis`a l"aide de la d´eriv´ee seconde. 3

Solutions

Question 1

9m par 9m.

Question 2

OptimiserS(x)=x+3x

.S0(x)=3x

2+1. Va-

leurs critiques :x=p3. Avec le test de la d

´eriv´ee

seconde, on trouve un minimum enx=p3 et un maximum enx=p3. Les nombres cherch

´es sont

doncx=p3 ety=3p3 =1p3

Question 3

On doit maximiser le produitxy. Comme 2x+

3y=1, on a quey=12x3

, on a que le produit est

P(x)=xy=x 12x3

= x2x23

On optimiseP(x) :

P

0(x)=13

4x3 P

0(x)=0()13

4x3 =0()x=14 On v ´erifie que c"est bien un maximum`a l"aide de la d

´eriv´ee seconde :

P

00(x)=43

<0; on a bien un maximum enx=14 . Le produit maxi- mum est donc P 14 =124

Question 4

On commence par exprimer la valeurA(x)`a

maximiser en fonction dex. Comme l"aire du rec- tangle estxyet quey=(x5)2, on a

A(x)=xy=x(x5)2:

A la valeur maximum de la fonctionA(x), la pente`a la fonctionA(x) doitˆetre nulle. A

0(x)=x(x5)20

x(x210x+25)0 x310x2+25x0 =3x220x+25 =(3x5)(x5)

On trouve les z

´eros deA0(x) :

(3x5)(x5)=0()x=5 oux=5=3:

Comme la solutionx=0 correspond au sommet de la

parabole d"

´equationy=(x5)2, cette solution corres-

pond `a un rectangle d"aire nulle qui n"est´evidemment enx=5=3.Question 5

On commence par exprimer la valeurA(x)`a

maximiser en fonction dex. Comme l"aire du rec- tangle estxyet quey=4x2, on a

A(x)=xy=x(4x2):

A la valeur maximum de la fonctionA(x), la pente`a la fonctionA(x) doitˆetre nulle. A

0(x)=x(4x2)0

4xx30 =43x2 =(2p3x)(2+p3x) Les z

´eros deA0(x) sontx=2p3

Comme on a prix

x0, l"aire maximum est dont atteinte enx=2p3

Question 6

A=2r2+2rh, contrainte :V=r2h=1024,

donc

A(r)=2r2+2r 1024r2!

=2r2+2048r

On optimiseA(r) :

A

0(r)=4r2048r

2 A

0(r)=0()4r2048r

2=0()r=8:

On utilise le test de la d

´eriv´ee seconde :

A

00(r)=4+(2)2048r

3 A

00(8)=4+(2)20488

3=12 >0

On a bien un minimum.

Si le rayon est 8, la hauteur est de 16 (utiliser la contrainte).

Question 7

1g, pour une probabilit

´e de 3=8.

Question 8

Si base=xet hauteur=h, alors la r´esistance est donn

´ee par

R=Kxh2

o `uKest la constante de proportionnalit´e.

Par Pythagore, comme la diagonale de la poutre

co

¨ıncide avec le diam`etre, on doit avoir

x

2+h2=302;

donc, en isolanth h=p30 2x2:

En substituant dansR, on trouve que

R=Kx(302x2)=302KxKx3:

La d

´eriv´ee est

dRdx =302K3Kx2:La d

´eriv´ee s"annule si

x=10p3: On v

´erifie que l"on a bien un maximum : la

d

´eriv´ee seconde est

d 2Rdx

2=6Kx:

Comme la d

´eriv´ee seconde trouv´ee est n´egative six est positif, on a bien un maximum par le test de la d

´eriv´ee seconde.

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