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Maths I: Optimisation

ENS Macro

October 8, 2013

1 Maximisation d'une fonction à une variable.

Considéronsf(x)deux fois différentiable. Alors une condition nécessaire pour quef()atteigne un maximumlocalen un point intérieurx ∗est f ′(x) = 0, f Ces conditions s'appellent conditions du premier et du second ordre, respec- tivement.

De plus, sif()est concave (f

suffisantes pour un maximumglobal. Exercice 1 - Considérons une entreprise employantLpersonnes et dont le revenu total estg(L) =AL niveau d'emploi qui maximise les profits de l'entreprise. NB - Les conditions du premier ordre sont inchangées lorsquel'on cherche un minimum, mais le signe des conditions du second ordre doitêtre inversé.

2 Maximisation d'une fonction de plusieurs vari-

ables On maximise maintenant une fonction denvariablesf(x1,...,xn).La condition du premier ordre pour un optimum local s'écrit alors f i(x1,...,xn) =∂f∂xi(x1,...,xn) = 0,∀i. Les conditions du second ordre sont plus compliquées et s'écrivent (-1) idetMi≥0, 1 où M i= ∂2f ∂x2

1...∂2f

∂x1∂xi... ... ... ∂2f ∂xi∂x1...∂2f ∂x2 i Exercice 2 - Considérons une entreprise dont le stock de capital estKet l'emploiL.Elle produitY=AK αLβavecα+β <1.Le coût du travail estw et le coût du capital estr.La production est vendue au prixp. (i) Quel est le profit de l'entreprise? (ii) Quelles sont les valeurs deKet deLqui maximisent ce profit?

3 Le théorème de l'enveloppe

Celui-ci permet de calculer l'effet d'un paramètre sur la valeur optimale de la fonction qu'on maximise. SoitV(x,λ)une fonction dépendant d'un paramètre

λetx

∗(λ)un maximum intérieur deV(.,λ).SoitV∗(λ) =V(x∗(λ),λ).Alors V

∗′(λ) =∂V(x∗(λ),λ)/∂λ.En d'autres termes, pour calculer l'effet du paramètre

sur la valeur optimale, on peut se contenter de calculer son effet direct et d'ignorer les effets de la variation induite dex

Démonstration - On aV

∗′(λ) =∂V

étant un optimum local, on a

∂V ∂x(x∗(λ),λ) = 0.CQFD Nota - On peut facilement étendre ce résultat au cas de fonctions de plusieurs variables. Exercice 3 (Lemme de Hotelling) - Soit une entreprise employantLtra- vailleurs et dont la fonction de production estY=F(L).Soitple prix de vente,wle salaire. SoitL ∗(w,p)le niveau d'emploi qui maximise le profit et ∗(w,p)le profit correspondant. Montrer que ∂pΠ ∗(w,p) =F(L∗(w,p)).

4 Maximisation sous contraintes

Considérons tout d'abord un cas simple: on maximiseU(x1,...xn)mais un sous-ensemble depvariables doit satisfaire à une contrainte inégalitéx i≥0, i= 1,...,p.Alors un optimum local doit satisfaire: 2 ∂U ∂xi= 0,i=p+ 1,...,n ∂U x i∂U ∂xi= 0, i= 1,...,p. iest intérieure et alors la dérivée partielle ∂U ∂xidoit s'annuler, soit la contrainte est saturée, i.e.xi= 0et alors la valeur deUne peut pas croître pour une petite variation dex idans la direction qui relâche la contrainte, i.e.dx i>0.Dans ce cas on a∂U On considère maintenant le cas où on maximise une fonctionU(x

1,...xn)par

rapport ànvariables et celles-ci doivent satisfaire àpcontraintes, avecp < n, de la forme h On introduit des variables auxiliaires appelées multiplicateurs de Lagrange,

1,...λp,et on maximise le Lagrangien donné par

L=U(x

1,...xn) +

p k=1

λk(yk-hk(x1,...,xn)).

On maximiseLpar rapport à tous lesx

i.On obtient les conditions du premier ordre suivantes: ∂L ∂xi= 0⇐⇒∂U∂xi= p k=1

λk∂hk(x1,...,xn)

∂xi. De plus, les conditions supplémentaires suivantes doiventêtre vérifiées: k>0sihk(x1,...,xn) =yk, k= 0sihk(x1,...,xn)< yk. En d'autres termes, le multiplicateur de Lagrange associé àune contrainte est nul si celle-ci n'est pas saturée et strictement positifsinon. Remarque - Les conditions supplémentaires sont celles que l'on obtient en minimisantle Lagrangien par rapport auxλ ksous la contrainteλk≥0.

Remarque - On a∂L/∂y

k=λkd'après le théorème de l'enveloppe1.λk

1SoitL∗(y1,...yk) =

max On a ∂L∗ ∂yk=∂L ∂yk+i∂L∂xi ∂xi∂yk+m∂L∂λm ∂λm∂yk.

Or d'après les conditions du premier ordre:

∂L ∂xi= 0,∀i; ∂L ∂λm= 0pourmtel queym=hm(x1,...,xn); m= 0siym> hm(x1,...,xm).Dans ce cas,∂L ∂λm>0mais∂λm∂yk= 0,puisque qu'une petite variation dey kne peut pas faire en sorte queym=hm. 3 s'interprète donc comme la valeur marginale de relâcher la contraintekd'une unité. Exercice 4 - Soit un consommateur dont le revenu estRet qui consomme deux biensc

1etc2.le prix du bieniestpi.Le consommateur maximise sa

fonction d'utilité donnée par u(c

1,c2) =αlnc1+ (1-α)lnc2,

sous sa contrainte budgétaire p

A. Ecrire le Lagrangien

B. Ecrire les conditions du premier ordre.

C. Montrer qu'à l'optimum la contrainte budgétaire est saturée

D. En exprimantc

ien fonction du multiplicateur de Lagrangeλ,et en sub- stituant ces expressions dans la contrainte budgétaire, calculerλ. E. En déduire les expressions des fonctions de consommationc

1(R,p1,p2)et

c

2(R,p1,p2).

F. Quelle est la part du revenu consacrée àc 1? Exercice 5 - Même chose que 4 mais avec la fonction d'utilité u(c

1,c2) =αcθ

1+ (1-α)cθ

2

1/θ,

avecθǫ[-∞,0)∪(0,1). 4quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47