OA=u , OB=v et OC=w , alors les points O, A, B et C sont coplanaires Si deux des trois vecteurs u , v et w sont colinéaires, alors u , v et w sont coplanaires
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Etape 2 : Calculer les coordonnées des trois vecteurs dans le repère • EB = EA + AB (Chasles) D'où EB = AB − AE On a alors EB (1; 0; −1) • AK = AB + BK
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Vecteurs du plan et de l'espaceUtiliser les vecteurs pour démontrer que des points sont alignés ou coplanaires, que des droites sont
parallèles, etc...A. Rappels1. Vecteurs égauxUn vecteur est défini par une longueur, une direction et un sens.Soient A, A', B et B' quatre points de l'espace.AA'=BB' signifie que AA'B'B est un parallélogramme (éventuellement aplati).Les vecteurs
AA' et BB' ont même longueur, même direction et même sens.Remarques : Les 4 points sont coplanaires.L'égalité AA'=BB' est équivalente à A'A=B'B, AB=A'B' et BA=B'A'.Le vecteur
AA est appelé vecteur nul, on note AA=0.2. Addition de deux vecteursQuels que soient les vecteurs
u et v on peut définir un vecteur noté uv en utilisant larelation de Chasles ou la règle du parallélogramme.a) Relation de ChaslesQuels que soient les points A, B et C ,
ABBC=AC. b) Règle du parallélogrammeSoient A, B, C et D 4 points.ABAC=AD signifie que ABDC est un parallélogramme.c) Vecteurs opposésTout vecteur
u a un opposé noté -u tel que u-u=0.u et -u ont même direction et même longueur, mais des sens opposés.Quels que soient les points A et B :
BA=-AB. d) Propriétés de l'additionQuels que soient les vecteurs u, v et w : uv=vu (commutativité)•uvw=uvw (associativité)KB 1 sur 5AA'BB'AB
C AB CDe) SoustractionPour soustraire un vecteur, il suffit d'ajouter son opposé.Quels que soient les vecteurs u et v, u-v=u-v.
3. Multiplication d'un vecteur par un réela) DéfinitionSoient
u un vecteur et k un réel. On définit le vecteur ku de la façon suivante :•sa longueur est celle de
u multipliée par |k|. •il a la même direction que u. •si k > 0, il a le même sens queu, si k < 0 il a le sens opposé.ExempleA, B, C, D, E et F sont alignés et régulièrement espacés dans cet ordre.
AD=3AB, BC=14 BF, CF=-3ED.
b) PropriétésQuels que soient les vecteurs u et v, et quels que soient les réels x et y :1u=u, x0 =0 et 0u=0.
c) Milieu d'un segmentSoient A, I et B trois points.Les 4 propriétés suivantes sont équivalentes :•I est le milieu de [AB]•
AI=IB• IAIB=0• AI=12 ABd) Théorème de ThalèsSoient ABC un triangle, E et F deux points de (AB) et (AC).Si (BC) // (EF), alors il existe un réel k tel que
AE=kAB et AF=kACKB 2 sur 5ABCDEF A BC EFB. Vecteurs colinéairesDeux vecteurs u et v sont colinéaires lorsque, si O, A et B sont trois points tels que
OA=u et OB=v, alors O, A et B sont alignés.ConséquencePour tout vecteur
u, u et 0 sont colinéaires.1. Propriété fondamentaleDeux vecteurs non nuls
u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que u=kv.Deux vecteurs non nuls colinéaires ont même direction.ConséquenceSoient A, B et C trois points distincts.Les points A, B et C sont alignés si et seulement si il existe un réel k tel que
AB=kAC.2. Droites parallèlesSoient A, B, C et D quatre points distincts.Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si il existe un réel k tel que
AB=kCD.Exemple d'applicationSoit ABCD un parallélogramme.Construire le point E milieu de [AD] et le point F tel que
AF=13 AC.
Exprimer
BE et BF en fonction de AB et AD. Montrer que B, E et F sont alignés.On décompose BE en une somme de deux vecteurs en utilisant le relation de Chasles et en faisant intervenir le point A.2 AD.
On fait de même avec
BF.3 AC.
En remarquant que
AC=ABAD, on obtient : BF=-AB13 ABAD=-AB1
3 AB1
3 AD=-2
3AB1
3 AD.
Pour montrer que B, E et F sont alignés, on cherche un réel k tel que BF=kBE. En regardant le coefficient de AB on conjecture k = 2/3. 23 BE=2
3 -AB1
2 AD=-2
3AB2
6 AD=-2
3AB1
3 AD=BF.
Comme BF=23 BE, les vecteurs BE et BF sont colinéaires et les points B, E et F sont donc
alignés.KB 3 sur 5ABC DEFC. Vecteurs coplanairesTrois vecteurs u, v et w sont coplanaires lorsque, si O, A, B et C sont quatre points tels
queOA=u, OB=v et OC=w, alors les points O, A, B et C sont coplanaires.ConséquenceSi deux des trois vecteurs
u, v et w sont colinéaires, alors u, v et w sont coplanaires.1. Propriété fondamentaleOn considère trois vecteurs
u, v et w avec v et w non colinéaires.Les vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels x et y tels que u=xvyw.