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Vrai : la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est irrationnelle Démonstration Soient x1,x2 ∈ R tels que x1 est rationnel et x2 est irrationnel Il existe alors p ∈ Z,q ∈ N∗ tels que x1 + x2 = p q

(b) Est-il vrai que la somme de deux nombres irrationnels est toujours un nombre irrationnel? Justifier (c) Montrer que la somme d'un nombre rationnel et d'un

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On montre de la même façon que le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel et que le produit d'un nombre rationnel par un nombre irrationnel

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Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel Vous avez Le but de ce problème est, entre autres, de montrer l'irrationalité du nombre e = exp(1)

[PDF] nombres irrationnels - IMJ-PRG

Supposons que √n soit rationnel Il existe deux n ∈ N, converge et a pour somme πea2/4b En particulier, son supposer que π était rationnel et on a donc montré que π est irrationnel L'égalité à démontrer est donc vraie quand n = 0

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rationnel, égalité de deux nombres rationnels représentés par des fractions Un réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel Exercice 1 Montrer que la somme

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Le premier exemple de nombre irrationnel est √2, sa découverte remonte à Démontrer que l'ensemble des rationnels est-stable par somme, par produit et

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π (LAMBERT a montré en 1761 que π est irrationnel, LEGENDRE a démontré en 1794 que l'ensemble des sommes d'un élément de A et d'un élément de B) Montrer que le nombre 0,ukuk+1uk+2 est rationnel Correction ▽ [005214]

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Définition : Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel Exemples ( 1) est une opération interne : La somme de deux nombres reste dans le même ensemble Ceci nous montre quelle valeur doit prendre le nombre inconnu x

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Le nombre e, base des logarithmes népériens, est bien connu des élèves de classes de terminale et sa démonstration est nettement plus délicate que les deux en tant que somme de deux fonctions montrer que ces deux suites sont adjacentes Supposons que e soit un nombre rationnel e étant strictement positif

Chapitre 1, exercice 3

1.Vrai :la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est irrationnelle.

Demonstration.Soientx1;x22Rtels quex1est rationnel etx2est irrationnel. Montrons que x

1+x2est un nombre irrationnel.

Raisonnons par l'absurde et supposons quex1+x2est rationnel. Il existe alorsp2Z;q2N tels que x

1+x2=pq

Puisque, par hypothese,x1est rationnel, il existep02Z;q02Ntels que x 1=p0q 0:

On a donc

2= (x1+x2)x1=pq

p0q

0=pq0qp0qq

0: Doncx2s'ecrit comme le quotient de deux entiers, avec l'entier au denominateur qui est non- nul (qq06= 0). C'est donc un rationnel. C'est une contradiction avec nos hypotheses (x2etait

suppose irrationnel); on a donc obtenu une absurdite.2.Faux :la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle.

Demonstration.Pour montrer que l'armation est fausse, il sut de trouver deux nombres irrationnels positifs dont la somme est rationnelle. Posonsx1= 10p2 etx2=p2. Ce sont deux nombres irrationnels :x2est irrationnel d'apres le cours etx1= 10 + (p2) est la somme d'un rationnel et d'un irrationnel; c'est donc un nombre irrationnel d'apres la premiere question.

Ces deux nombres sont egalement positifs.

Pourtant,x1+x2= 10 doncx1+x2est un nombre rationnel.3.Vrai :la racine carree d'un nombre irrationnel positif est irrationnelle.

Demonstration.Soitx1un nombre irrationnel positif. Montrons que sa racine carree est irrationnelle.

On raisonne par l'absurde et on suppose quepx

12Q. Alors il existep2Z;q2Ntels que

px 1=pq

En elevant au carre, on obtient :

x 1=p2q 2: Doncx1s'ecrit comme un quotient d'entiers, dont le denominateur est non-nul. Doncx1est rationnel. C'est en contradiction avec nos hypotheses.1quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47