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Formes quadratiques 2009-2010 Exercice 1 Soit B une forme bilinéaire sur un espace vectoriel réel V et soit q sa forme quadratique associée 1 Montrer
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Rang et signature des formes quadratiques suivantes : 1 Q((x,y,z)) La matrice de la forme quadratique Q dans la base canonique de R3 est A= 2 3 2
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En multipliant 6 Page 7 q par d, on voit que q est équivalente `a la forme quadratique (x, y, z) ↦→ a x2 + b y2 + c z2, avec c := dc Alors a et b sont premiers
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aij xiyj est bilinéaire symétrique Définition 7 – Soit ϕ une forme bilinéaire symétrique définie sur E et soit (e1, ,en) une base de
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CVest la restriction de la trace sur lVespace des matrices carrées à son noyau Page 12 12 Les formes linDaires, dualitD Exemple 7 Si A
Feuille dexercices sur les formes bilinéaires symétriques et les
Quelle est sa signature ? Trouver une base orthogonale de R3 pour cette forme quadratique Exercice 6 Soit q la forme quadratique sur R3
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Définition 7 Un vecteur x de E est dit isotrope, s'il est orthogonal `a lui–même 2 3 Formes bilinéaires définies positives ou définies négatives Définition 8 Une
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) avec Q−1 = tQ Signe de la forme quadratique Les valeurs propres de M sont λ1 = 2 et λ2 = 7 ; puisque λ1 > 0 et λ2
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La forme quadratique précédente n'est pas positive q((1, –1)) = –7 Elle n'est pas non plus négative : q((1, 1)) = 5 exemple 36 (exercice
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Réciproquement, toute forme quadratique q sur E pro- vient d'une seule forme bilinéaire symétrique : celle dé- terminée, lorsque la caractéristique de k n'est pas
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