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Quelques exercices corrigés (2) Correction de l'exercice 7 6 On n'a pas calculé tout le développement en série de Laurent de f sur un petit disque épointé

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1 (1 − z)3 en z0 = 1 Solution 1 1 La fonction sin est holomorphe en π/4 Son développement en série de Laurent se confond donc avec

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a) Donner le développement en série enti`ere de f dans le disque z < 1 b) Trouver le développement en série de Laurent de f dans la couronne 1 < z < 2

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lorsque f est une fonction holomorphe sur U, zo ∈ U et n ∈ N Exercice 3 Déterminer la série de Laurent de f(z) = 1 z(z−1)(z−2) dans les couronnes suivantes:

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Exercice 1 Déterminer le rayon de convergence des séries entières Exercice 7 Calculer le développement en série entière en zéro des fonctions suivantes :

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Exercice 1 Soit un développe alors en série de Laurent : f(z) = ∞ Avec s ∈ R réel, s > 1, en prenant le logarithme et en utilisant le développement en série

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Corrigé 1 Soit U = {1 < z < 2} et soit f : U → C une fonction holomorphe On note unicité il s'agit du développement en série de Laurent de f dans la couronne

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z( (2z 1)dz φ 2πi+Res(/,0) + Res)/, 1 2*,φ 2πi+ 1 + 2 log 3 2, 6 4 Exercices 6 4 1 Exercices résolus Exercice 6 1 Donner le développement en série de Laurent

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ROMBALDI J -É , Exercices et problèmes corrigés pour l'agrégation de Développement en série entière d'une fonction holomorphe 55 Séries de Laurent

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