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calcul de l'aire d'un parallélogramme en fonction des coordonnées de ses sommets par Rachid Arrass, Inès Viadère, du lycée

Jacques Feyder d'Epinay-sur-Seine (93)

enseignants : Marc Anquetil, Jean-Pierre

Perrin

chercheur : François Parreau Il est possible de calculer l'aire d'un parallé- logramme en le plaçant dans un repère, et en n'utilisant que les coordonnées de deux de ses sommets.On obtient alors une formule simple qui peut s'appliquer à tous les parallé- logrammes dont un autre des sommets est placé à l'origine.

Première méthode.

Par différentes translations des côtés du parallélogramme étudié, on obtient un rec- tangle de même aire, mais dont deux des côtés reposent sur les axes du repère.

En trouvant les intersections Met Nque font

les droites (AC) et (BN) avec les axes (Ox) et (O y) du repère, on pourra calculer l'aire du rectangle qui sera aussi celle de notre parallé- logramme. Posons M(x, 0) et N(0, y). En utilisant la règle du parallélogramme (i.e.OC=OA+OB), on peut exprimer les coordonnées du point Cen fonction de a, b, cet d: xC= a+ cet yC= b+ d. Cherchons à présent à exprimer les coeff i- cients directeurs des droites (A C) et (A M) afin de trouver x. Le coefficient directeur de (AC) est : et celui de (AM) : O

A(a, b)

B(c, d)

x yC(xC , yC)C(xC , yC) O

A(a, b)

B(c, d)

x y

C(xC , yC)

O

A(a, b)

B(c, d)

x y M N yC Ð b xC Ð a b a Ð x page 135

ÒMATh.en.JEANSÓ en 1997

O r, comme A, Cet Msont alignés, on peut

poser l'égalité de ces coefficients directeurs : (yCÐ b)(aÐ x) = b(xCÐ a)

En isolant x, on obtient :

ayCÐ xyCÐ ab+ bx= bxCÐ ab ayCÐ bxC= xyCÐ bx ayCÐ bxC= x(yCÐ b)

D'où :

En remplaçant xCet yCpar les valeurs précé- demment trouvées, on obtient :

Les coordonnées des points Met Nsont donc

D'où :

• On peut ainsi calculer les longueurs OMet

ON: OM= | x| et ON= | d| ;

• L'aire du parallélogramme OACBpeut donc être exprimée par le produit de ces deux lon- gueurs : AP= | x´d|.Et en remplaçant xpar sa valeur, on obtient : AP= | adÐ bc|.

Deuxième méthode.

Toujours en translatant le parallélogramme

par deux fois pour le coller aux axes du repè- re, on obtient le rectangle de même aire :

OMLN. Seulement, on ne connaît pas la lon-

gueur OM.

En calculant l'aire du

grand rectangle O Q P N et en lui ôtant l'aire de la bande L P Q M, on obtient aussi l'aire de

O M L N, soit l'aire du

p a r a l l é l o g r a m m e .Or on connaît l'aire de OQPNqui est AOQPN=ad. Il reste maintenant à lui ôter celle de LPQM, que nous appellerons M', et que nous allons calculer.

Posons M=A' + A+C' et M' = A+A' + C.

Comme la diagonale (MS)

du parallélogramme LSRM coupe celui-ci en deux moitiés égales, on a :

B' + C' + A' = A+ B+ C.

Or A' = Aet B' = B.Donc

C' = C.Ainsi M' = Met comme M=bc,M'

(qui est l'aire de LPMQ) est aussi égale à bc.

Enfi, comme AP= AO Q P NÐ AL P Q M, on

obtient : AP= adÐ bc. yC Ð b xC Ð a = b a Ð x x = a yC Ð b xC yC Ð b x = a yC Ð b xC yC Ð b a b + d Ð b a + c b + d Ð b a b + a d Ð a b Ð b c d x = a d Ð b c d M a d Ð b c d ; 0 et N (0, d). OM a d Ð b c d 0 et ON 0 d. OM = a d Ð b c d

C(xC , yC)

O

A(a, b)

B(c, d)

x y M N QR PS L MQR SP

A(a, b)

A A'C C' B B' d c b page 136

ÒMATh.en.JEANSÓ en 1997

Troisième méthode.

Cette méthode plus géométrique permet

directement de donner la formule du parallé- logramme.

En calculant l'aire du

grand rectangle (AG) passant par les som- mets du parallélo- gramme, et en lui

ôtant les aires des

petits triangles et rec- tangles, on obtient l'aire APde notre parallélogramme passant par les points A, Bet C.

Soit l'aire du grand rectangle :

AG= ( a+ c)(b+ d)

La formule des deux rectangles et des quatre

triangles est : 2 bc+ cd+ ab. Ainsi :

AP= AGÐ (2 b c + c d + ab)

= ( a+ c)(b+ d) Ð 2 bcÐ cdÐ ab = ab+ ad+ bc+ cdÐ 2 bcÐ cdÐ ab

AP= adÐ bc.

O

A(a, b)

B(c, d)

x y Nb d ac page 137

ÒMATh.en.JEANSÓ en 1997

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