Si la suite (Un) est à termes strictement positifs on peut calculer le quotient : Si pour tout entier n, Un> 0 et 1 alors la suite (Un) est croissante Pour tout entier n, Un > 0 et < 1 alors la suite (Un) est strictement décroissante
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Si la fonction est croissante sur [0 ; + ∞ [ alors la suite est croissante aussi Si la fonction Tout d'abord, il faut prouver que tous les termes de la suite sont positifs Puis, on calcule Nous venons de montrer que si 0 < < 1 alors 0 < < 1 donc
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Fiche de synthèse sur les suitesFiche de synthèse sur les suitesFiche de synthèse sur les suitesFiche de synthèse sur les suites
( niveau : première - chapitre : SUITES ) Sauf indication contraire les suites seront définies pour tout entier naturel n. Comment montrer qu"une suite (Un) est croissante ou décroissante ? Attention on ne peut pas se contenter de calculer quelques termes ! Rappel : Dire qu"une suite (Un) est croissante signifie que pour tout entier n, Un+1 Un.Dire qu"une suite (U
n) est décroissante signifie que pour tout entier n, Un+1 Un. On alors peut choisir l"une des deux méthodes suivantes :On calcule la différence Un+1 - Un :
Si pour tout entier n, Un+1 - Un 0 alors la suite (Un) est croissante. Si pour tout entier n, Un+1 - Un 0 alors la suite (Un) est décroissante.Exemple :
Etudions le sens de variation de la suite (Un) définie par Un = n² + 2. U n+1 - Un = [(n+1)² + 2] - [n² + 2] U n+1 - Un = [n² + 2n + 1 + 2] - [n² + 2] U n+1 - Un = [n² + 2n + 3] - [n² + 2] U n+1 - Un = n² + 2n + 3 - n² - 2 U n+1 - Un = 2n + 1 n étant un entier naturel, 2n + 1 > O donc U n+1 - Un > 0La suite (U
n) est strictement croissante. Si la suite (Un) est à termes strictement positifs on peut calculer le quotient : Si pour tout entier n, Un> 0 et 1 alors la suite (Un) est croissante. Si pour tout entier n, Un> 0 et 1 alors la suite (Un) est décroissante.Exemple :
Etudions le sens de variation de la suite (Un) définie par Un = (0.5)n.Puisque 0.5 > 0 alors pour tout entier n 0.5
n > 0 (on a élevé chacun des 2 membres à la puissances n)Donc la suite (U
n) est à termes strictement positifs.De plus :
Pour tout entier n, U
n > 0 et < 1 alors la suite (Un) est strictement décroissante. Existe-t-il des suites croissantes et négatives ? Bien sûr, prenons par exemple la suite (Un) définie par Un = Cette suite est évidemment à termes négatifs. On montre avec l"une des méthodes précédentes qu"elle est croissante. Voici la représentation graphique de ses premiers termes : Comment montrer qu"une suite (Un) est arithmétique ?On calcule la différence Un+1 - Un , si cette différence est un réel ne dépendant pas de n
(constant) alors la suite (U n) est arithmétique. Attention on ne peut pas se contenter de calculer quelques termes !