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On note Fp le corps Z/pZ k[x]/P o`u k est un corps commutatif et P est un polynôme irréductible 2– Caractéristique d'un corps Proposition 1 Un corps fini  

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Caractéristique d'un anneau 5 3 Groupe multiplicatif d'un corps fini 6 4 Corps finis comme quotients de Fp[X] 7 5 Polynômes irréductibles sur un corps fini

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F poss`ede une structure de Fp-espace vectoriel de dimension finie Ainsi, il existe n ∈ N∗, F = pn Proposition 2 Soit F un corps fini de caractéristique p 

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On ne revient pas sur la construction du corps Fp = Z/pZ (pour p premier) Ce corps est fini de cardinal p et de caractéristique p également Proposition : Si p est un 

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Lemme 30 1 1 Soient k ⊆ k deux corps finis, de cardinal q et q respecti- vement 1) On a q = qn, Construction de modules (I) : sommes directes finies 35 6 4

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6 mar 2008 · Corps finis Arithmétique dans les corps finis Exemples de constructions de corps finis Principes généraux Construction d'un corps `a q = pn 

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3 2 0 1 Application : construction des corps de petit cardinal — Nous savons que Fpn = Fp[X]/(P), o`u P ∈ Fp 

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Existence, unicité et construction des corps finis

RiffautAntonin

2013-2014

Existence et unicité des corps finisSoitkun corps. Le noyau du morphisme d"anneaux':n2 Z7!n:1k2kest un idéal deZ, donc de la formenZ, avecn2Z. CommeZ=nZ'Im'est intègre, alorsn= 0ounest un nombre premier. Sin= 0,'est injectif, et le sous-corps premier dekest isomorphe àQ. Sinon, le sous-corps premier isomorphe àZ=nZ.ns"appelle lacaractéristiquedek. Désormais,kdésigne un corps fini de caractéristiquep, avecpun nombre premier. Proposition 1.(i)Le cardinal dekest une puissance dep. (ii)Réciproquement, pour toutn2N, il existe un corpskde cardinalpn. De plus,kest unique à isomorphisme près. Démonstration.(i)Le sous-corps premi erde kétant isomorphe àZ=pZ,kpossède une structure naturelle deZ=pZ-espace vectoriel. En notantn= [k:Z=pZ], alorsjkj=jZ=pZjn=pn. (ii) Soit n2N. Sikest un corps fini de cardinalpn, alorskest le corps de décomposition de X pnXsurZ=pZ: en effet, pour toutx2k,xest racine deXpnX, doncXpnXpossède sespnracines dansk. Réciproquement, soitKle corps de décomposition deXpnXsurZ=pZ. Soitkl"ensemble des éléments deKqui sont racines deXpnX. Vérifions quekest un sous-corps deK: d"une part, 1 K2k; d"autre part, six;y2k, alorsxpn=xetypn=y, donc(x+y)pn=xpn+ypn=x+y et(xy1)pn=xy1, si bien quex+y;xy12k. Par ailleurs,(XpnX)0=1est premier avec X pnX, donc les racines deXpnXsont simples, de sorte quejkj=pn: par conséquent,

k=Kest un corps àpnéléments, et il est unique à isomorphisme près, par unicité du corps de

décomposition deXpnXsurZ=pZ.

On noteraFqle corps fini àq=pnéléments.

Construction des corps finisSoitP2Fp[X]un polynôme irréductible surFp. En notantn= deg(P), alorsFp[X]=(P)est le corps de rupture dePsurFp, de cardinalpn. Nous allons démontrer que pour toutn2N, il existe un polynôme irréductible surFpde degrén. Proposition 2.Pour toutn2N, posonsI(n;p)l"ensemble des polynômes deFp[X]unitaires, irréductibles, de degrén. Alors pour toutn2N, dansFp[X], X pnX=Y djnY

P2I(d;p)P:(1)

Démonstration.SoitPun facteur irréductible deXpnXsurFp, de degréd. Le corps de rupture dePsurFpest un sous-corps de cardinalpddu corps de décomposition deXpnX surFp, c"est-à-direFpn, doncdjn. 1 Réciproquement, soientdjn, etP2I(d;p). Soitune racine dePdans le corps de rupture dePsurFp; alorsFp()'Fpd. On en déduit queest racine deXpnX. Or commePest irréductible, alorsPest le polynôme minimal desurFp, doncPjXpnX. Pour conclure, il suffit de remarquer que les facteurs irréductibles deXpnXsurFpsont simples (par le même argument que précédemment), d"où la formule annoncée. Corollaire 3.Pour toutn2N, il existe un polynôme irréductible surFpde degrén. Démonstration.Il s"agit de montrer quecardI(n;p)>0. Pour ce faire, en passant au degré dans la formule (1), on obtient p n=X djndcardI(d;p): Il s"ensuit que pour toutd2N,pddcardI(d;p), puis que ncardI(n;p) =pnX djn;d6=ndcardI(d;p) pnX djn;d6=np d pnn1X d=1p d pnppn11p1>0:

Références

[Per]Daniel Perrin,Cours d"algèbre, Ellipses. 2quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35