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mercredi 12 novembre 2013

Examen de Probabilites:

Cha^nes de Markov

13h30-15h30

Exercice 1.(5 points environ)

On considere une cha^ne de Markov (Xn)n0sur l'espace d'etatsE=f1;2;3g de matrice de transitionPavec P:=0 @12 14 14 12 012 012 12 1 A

On notera0la loi initiale de la cha^ne.

1. Tracer le graphe oriente associe aP. (Voir annexe)

2. Montrer que la cha^ne de Markov est irreductible et aperiodique.

On a 1!3!2!1 donc il n'y a qu'une classe communiquante. La cha^ne est irreductible.P1;1>0, donc la periode de 1 est 1. La periode est une propriete de classe donc la cha^ne est aperiodique.

3. On verie que

(2;2;3)P= (2;2;3);

2;(p22);p2

P=p2 4

2;(p22);p2

2;(p22);p2

P=p2 4

2;(p22);p2

4. On considere que la loi initiale est donnee par0=27

;27 ;37 :Donner la loi de la cha^ne au tempsn.

On a0=17

(2;2;3). On en deduit que0P=0et par recurrence immediate:0Pn=0. La loi de la cha^ne au tempsnest donc encore

0. On dit que la mesure0est invariante.

5. On considere que la loi initiale est donnee par0=47

;0;37 :En remarquant que 47
;0;37 =27 ;27 ;37 +114

2;(p22);p2

+114

2;(p22);p2

1 donner la loi de la cha^ne au tempsn. Quelle est la limite de cette loi quandn!+1? En utilisant la question 3, on trouve que la loi de la cha^ne au temps nest donnee par:

0Pn=27

;27 ;37 P n+114

2;(p22);p2

Pn+114

2;(p22);p2

Pn 27
;27 ;37 +114
p2 4 n

2;(p22);p2

+114
p2 4 n

2;(p22);p2

p2 4 <1 donc0Pnconverge quandn! 1vers la mesure de proba- bilite invaraiante:27 ;27 ;37

Exercice 2.(7,5 points environ)

Un robot Google parcourt internet de la maniere suivante: quand il est sur une page web, il regarde tous les liens internet presents sur cette page et choisit un de ces liens avec probabilite uniforme.

Ici les pages web presentent les liens suivant:

Sur la page 1, on trouve un lien vers les pages 2 et 4. Sur la page 2, on trouve un lien vers les pages 3 et 6.

Sur la page 3, on trouve un lien vers la page 6.

Sur la page 4, on trouve un lien vers la page 5.

Sur la page 5, on trouve un lien vers la page 4.

Sur la page 6, on trouve un lien vers la page 1.

1.Question de cours:Donner la denition d'une cha^ne de Markov.

Soit (

;F;P) un espace probabilise et (Xn)n2Nune suite variables aleatoires denie sur ( ;F;P) a valeurs dansE. On dit que (Xn)n2N est unecha^ne de Markovsi, pour tout (n+1)-uplet (x0;x1;:::;xn) de points deEtel queP(\

0jn1fXj=xjg)>0 on a

P(Xn=xnjXn1=xn1;Xn2=xn2;:::;X0=x0) =P(Xn=xnjXn1=xn1):

2. Justier en une phrase que la position du robot Google au cours du

temps est une cha^ne de Markov homogene. 2 La position du robot au tempsn+ 1 ne depend pas de toute la tra- jectoire mais juste de la position du robot a l'instantn. La position du robot peut donc bien ^etre modelisee par une cha^ne de Markov. De plus les transitions du robot ne dependent pas de l'instant de saut, la cha^ne de Markov est donc homogene. Donner sa matrice de transition et tracer le graphe oriente associe.

Voir annexe.

3. Preciser les classes communiquantes. On a 1!2!3!6!1

et 4!5!4. On voit facilement (sur le graphe) que les classes communiquantes sont bienf1;2;3;6getf4;5g.

4.Question de cours:Donner la denition d'un etat recurrent et d'un

etat transient. Soiti2Eun etat. On noteNi=Ni(X) = cardfn

0;Xn=iglenombre de passagesde la cha^ne eni. L'etatiest dit

recurrentsiPi(Ni=1) = 1. Il est dittransientsiPi(Ni=1) = 0.

5. Preciser les etats recurrents et transients de la cha^ne de Markov. La

classef1;2;3;6gn'est pas fermee(car 1!4). Elle est donc tran- siente. La classef4;5gestfermee et nie. Elle est donc recurrente.

6.Question de cours:Donner la denition de la periode d'un etat. Soit

i2Eun etat. Laperioded(i) deiest denie par d(i) := PGCDfn1;Pni;i>0g (avec la convention PGCD(;) =1).

7. Donner la periode de chaque etat.

Pour le point 1, on a les chemins: 1!2!6!1 et 1!2!3!

6!1. La periode de l'etat 1 d(1) divise donc le PGCD de 3 et de 4.

Or PGCD(3;4) = 1 doncd(1) = 1. La periode est une propriete de classe, d'oud(2) =d(3) =d(6) = 1. L'ensemble des longueurs des chemins partant de 4 et revenant en 4 est:f2;4;6;:::g. La periode de 4 (et de 5) est donc 2.

8. Le robot part (au temps 0) de la page 4. Que se passe-t-il? Donner la

loi de la position du robot au tempsn. Au temps 1 necessairement il sera en 5. Puis au temps 2, il sera necessairement en 4. On voit donc que sinest pair,Xnsera presque s^urement en 4 et sinest impairXnsera presque s^urement en 5. Rq: On aurait pu calculer: (0;0;0;1;0;0)P;(0;0;0;1;0;0)P2;:::. 3

9. Le robot part (au temps 0) maintenant de la page 2. Donner la loi

de la position du robot au temps 1,2 et 3. On notenla loi de la cha^ne au tempsn. On peut calculer,1= (0;1;0;0;0;0)Ppuis

2=1Ppuis3=2P:On trouve1= (0;0;1=2;0;0;1=2),2=

(1=2;0;0;0;0;1=2) et3= (1=2;1=4;0;1=4;0;0). Rq: On aurait pu aussi suivre ce qui se passe sur le graphe.

Exercice 3.(7,5 points environ)

On considere l'espace d'etatsE:=N=f1;2;3;:::g. On considerePla matrice denie surEpar: P(k;1) =pk; P(k;k+ 1) =qketP(k;j) = 0 sinon; pourk1: ou les nombrespketqkverient 0< pk<1 etqk= 1pk.

1.Question de cours:Donner la denition d'une matrice stochastique.

Une matriceP= (Pi;j)i;j2Eest unematrice stochastiquesi elle verie: (a)8i;j2E;Pi;j0 (b)8i2E;X j2EP i;j= 1

2. Montrer quePest une matrice stochastique.

On a bienPi;j0 pouri;j2Eet pouri2E,

X j2EP i;j=Pi;1+Pi;i+1=pi+qi= 1:

3. Tracer le graphe oriente associe aP.

Voir annexe.

4. On considere (Xn)n0une cha^ne de Markov de matrice de transition

P. Montrer que la cha^ne est irreductible et aperiodique. Soiti1, on a clairement que 1!2! !i!1. Donc 1 etisont dans la m^eme classe. Il n'y a donc bien qu'une seule classe:E=N.

La cha^ne est irreductible.

P

1;1=p1>0 donc la periode de 1 est 1. La cha^ne est donc

aperiodique.

5.Question de cours:Donner la denition d'un temps d'arr^et adapte a

la cha^ne de Markov (Xn)n0. Soitune variable aleatoire denie sur le m^eme espace probabilise que la cha^ne de Markov (Xn)n0. On dit queest untemps d'arr^etadapte a la suite (Xn)n2Nsi: 4 (a)prend ses valeurs dansNSf1g, (b)8n0, on afng 2(X0;:::Xn).

6. On denit le temps de retour en 1 par:

1:= inffk >0;Xk= 1g:

Montrer que1est un temps d'arr^et.

prend ses valeurs dansNSf1g. Ensuite,f10g=; 2(X0).

Soitn1, on a

f1ng=n[ k=1fXk= 1g: OrfXk= 1g 2(Xk)(X0;:::;Xn). Donc par union denombrable (nie ici)f1ng 2(X0;:::;Xn).

7. Dans cette question, on considere que les nombrespketqksont con-

stants, respectivement egaux apetq(0< p <1;q= 1p). Montrer que, partant de 1,1suit la loi geometrique de parametrep; c'est-a-dire P

1(1=n) =qn1p; n1:

La seule facon partant de 1 d'avoir1=nest de faire le chemin

1!2! !n1!1:On a donc

P

1(1=n) =P1(X2= 2;X3= 3;:::;Xn1=n1;Xn= 1)

=P1;2P2;3:::Pn2;n1Pn1;1 =qn1p:

8.Question de coursEnoncer le critere de recurrence et de transience

faisant intervenir le temps de retour. L'etatiest recurrent si seulement siPi(i<1) = 1. L'etatiest transient si et seulement siPi(i<1)<1.

9. En deduire que la cha^ne est recurrente.

On regarde l'etat 1. La loi du temps de retour en 1 partant de 1 est un loi geometrique de parametrep,p >0. On en deduit que ce temps de retour est ni presque s^urement: P i(i<1) =X k1P i(i=k) =X k1q k1p=1p p= 1:

L'etat 1 (et donc toute la cha^ne) est recurrent.

5

10. On revient maintenant au cas general. CalculerP1(1> n),n2N.

L'evenementf1> ngpartant de 1 correspond exactement a l'evenement fX1= 1g \ fX2= 2g \:::;fXn=ng. D'ou: P

1(1> n) =P1(X2= 2;X3= 3;:::;Xn1=n1;Xn=n)

=P1;2P2;3:::Pn2;n1Pn1;n =q1q2:::qn1:

11. On admettra ici que la limite du produit

Qn k=1qkest strictement pos- itive si et seulement si la serieP k1pkest nie. (Le montrer s'il vous reste du temps).

Que peut-on dire sipk=1k+1? et sipk=1(k+1)2?

L'intersection:

n0f1> ngest une intersection decroissante dont la limite est l'evenementf= +1g. On en deduit P

1(= +1) = limn!1P1(1> n) = limn!1q1q2:::qn1:

Si la limite du produitq1q2:::qn1est strictement positive: l'etat 1 (et toute la cha^ne) est transient. Si la limite du produitq1q2:::qn1est 0 : l'etat 1 (et toute la cha^ne) est recurrent. On a: n Y k=1q k=nY k=1e lnqk= exp nX k=1lnqk! = exp nX k=1ln(1pk)!

La limite du produit

nY k=1q kest>0 si et seulement si la serie a termes negatifs +1X k=1ln(1pk) est convergente. Sipkne tend pas vers 0 quand k!0, cette serie diverge. Sipktend vers 0, on a l'equivalent ln(1 p k) pkquandk!+1. La serieetant a termes de signes constants, elle a le m^eme comportement que la serie+1X k=1p k. 6

Sipk=1k+1cette serie diverge doncnY

k=1q k!0 quandn!+1. La cha^ne est alorsrecurrente.

Sipk=1(k+1)2cette serie converge doncQn

k=1qka une limite strict- ment positive quandn!+1. La cha^ne est alorstransiente. Rq: Dans le caspk=1k+1, on aqk=kk+1et on peut directement calculer: q

1q2:::qn1=12

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:::n1n =1n !0 quandn!+1: 7quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12