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On calcule, en fonction de la charge d'une armature, par exemple Q1, ( souvent à l'aide du théorème de Gauss ) le champ électrostatique E entre les armatures 

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G.P.DNS01Septembre 2012

DNS Sujet

Champs E et B dans un condensateur...................................................................................................2

III.Champ E dans un condensateur plan (sans effets de bords) en électrostatique...........................4

A.Discontinuité de E à la traversée d'une surface chargée (rappel)............................................4

1)Exemple de la sphère......................................................................................................4

2)Exemple du plan infini...................................................................................................5

B.Champ électrostatique dans un condensateur plan..................................................................5

IV.Champs dans un condensateur plan en régime lentement variable.............................................6

A.Champ E entre les armatures...................................................................................................7

B.Champ B entre les armatures...................................................................................................7

1)Le théorème d'Ampère...................................................................................................7

2)Détermination de B........................................................................................................7

V.Étude générale des champs dans un condensateur plan en régime variable.................................8

A.Méthode par approximations successives...............................................................................9

1)Étape 1............................................................................................................................9

2)Étape 2............................................................................................................................9

3)Étape 3............................................................................................................................9

B.Méthode résolution de l'équation différentielle vérifiée par E................................................9

1)Équation différentielle pour le champ électrique...........................................................9

2)Résolution de l'équation différentielle pour le champ électrique.................................11

1/32

G.P.DNS01Septembre 2012

Champs E et B dans un condensateur

I.Généralités

1.Donner l'unité pour le champ E(champ électrostatique ou électrique).

2.Donner l'unité pour le champ B(champ magnétique).

II.Symétries

3.En électromagnétisme, qu'appelle-t-on:

•plan de symétrie pour une distribution de charges et de courants •plan d'antisymétrie pour une distribution de charges et de courants.

Le champ électrique

Eest un " vrai » vecteur ou vecteur polaire. Le champ magnétiqueBest un " faux » vecteur ou " pseudo » vecteur ou vecteur axial. On rappelle:

- SiM'est le point symétrique deMx,y,zpar rapport à un planPde symétrie de la

distribution des sources, on a:

BM'symétriquedeM/plan=-symétriquedeBM/plan- SiM'est le point symétrique de

Mx,y,zpar rapport à un planPd'antisymétrie de la distribution des sources, il faut faire le " contraire ».

4.Compléter les quatre schémas suivants (le planPest un planxy, le champ est supposé

dans le planxzpour simplifier) en traçantEM'(ou BM').

2/32Plan de symétrieM

M'E ExEz

Étude de E

(Plan de symétrie)

G.P.DNS01Septembre 2012

3/32Plan de symétrieM

M'B BxBz

Étude de B

(Plan de symétrie)

Plan d'antisymétrieM

M'E ExEz

Étude de E

(Plan d'antisymétrie)

Plan d'antisymétrieM

M'B BxBz

Étude de B

(Plan d'antisymétrie)

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On note par exemple pourEM(idem pourBM):Ex,y,z=Exx,y,zuxEzx,y,zuzoùux,uy,uzdésignent les vecteurs unitaires. On suppose que le plan de symétrieP(ou

d'antisymétrie) a pour équationz=0.

5.Pour chacun des quatre cas (cf: les quatre schémas précédents), donner l'expression du champ en

M'et en déduire la parité ou l'imparité des composantes

ExetEz(ouBxetBz) par

rapport àz.

6.On envisage alors le cas particulier oùMse trouve sur le planPde sorte que ce plan

Mxyest un plan de symétrie (ou d'antisymétrie). Que peut-on en déduire dans les quatre cas concernant

EM(ouBM). Justifier avec précision en partant de l'étude précédente et

illustrer à chaque fois par un schéma.

7.On vient donc dans la question précédente de retrouver les règles de base connues, à utiliser en

premier, lors de l'étude des symétries. Énoncer ces règles. III.Champ E dans un condensateur plan (sans effets de bords) en électrostatique A.Discontinuité de E à la traversée d'une surface chargée (rappel)

1)Exemple de la sphère

On considère une sphère de centreO, de rayonRchargée uniformément en surface par une charge totaleQ.

8.Donner l'expression de la densité surfacique de chargeen fonction des données. Quelle est

l'unité de?

9.Soit un pointMquelconque.

•Existe-t-il des plans de symétrie ou d'antisymétrie contenant le point

M? Préciser et en

déduire la direction de EM. •Le point Mest repéré en coordonnées sphériques dans une base sphérique. Rappeler sur un dessin les coordonnées sphériques ainsi que la base sphérique utilisée. Justifier finalement queEM=Eruravecur: vecteur unitaire radial.

10.On rappelle le théorème de Gauss: le flux de

Esortant d'une surface ferméeest caractéristique de la sourceQintcontenue à l'intérieur de cette surface fermée. Il vaut1

4/32OM

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EdS=1 Qint. On utilise ici le théorème de Gauss pour déterminerE. •Quelle surface de Gauss passant parMdoit on utiliser pour que la simplification EdS=EMSsoit possible ? Justifier avec précision. •En déduireErRet ErRen fonction notamment de. •Déterminer la limite à droite deErpour r=R. Idem pour la limite à gauche. Que vient-on de vérifier ici concernant Er=R?

11.La relation de discontinuité pour

EMà la traversée d'une surface chargée entre deux milieux

1et2est la suivante:

n12(au voisinage de M dans le milieu 2)(au voisinage de M dans le milieu 1)(n12est la normale en M du milieu

1 vers le milieu 2 )

Montrer que cette relation est bien vérifiée dans le cas de la sphère chargée en surface.

2)Exemple du plan infini

On considère un plan d'équationz=0uniformément chargé par. On considère un point

Mn'appartenant pas à ce plan.

12.Préciser le(s) plan(s) de symétrie ou d'antisymétrie passant par

M.

13.Montrer que

EM=EzuzavecEzfonction impaire dez.

14.En utilisant le théorème de Gauss sur une surface intelligemment choisie, montrer queEest

uniforme pour z0. Idem pourz0.

15.Par utilisation de la relation de discontinuité de

Eà la traversée d'une surface chargée (relation rappelée plus haut), déterminer alorsEen tout point de l'espace. B.Champ électrostatique dans un condensateur plan Un condensateur plan est constitué de deux armatures: - un disque D1enz=0, de rayonR, de centreO, d'axeOzsupposé chargé uniformément par (supposé positif)

5/32Mxz

s

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-un disque identiqueD2enz=d, de même axe, chargé uniformément par-. Dans la suite, on suppose toujours que la distance à l'axe rest telle que:rRet l'on suppose aussi que le champ est le même que si les deux plans étaient d'extension infinie.

16.Par superposition des champs créés par chaque armature, déterminer

E=Ezuzen fonction de •pour z0•pour

0zd•pour

zdTracer

Ezen fonction dez.

17.Déterminer le potentiel électrostatique

Ven fonction d'une constante arbitraire et tracer

Vz en fonction dez.

18.On noteVz=0=V1,

Vz=d=V2,U=V1-V2(différence de potentiel),Qcharge du disqueD1. •Montrer que Q=CUoùCdésigne la capacité du condensateur plan, à exprimer en fonction de •Exprimer E=E0uzentre les armatures avecE0à déterminer en fonction deUet d.

IV.Champs dans un condensateur plan en régime

lentement variable.

Le condensateur est soumis désormais à une tension alternative basse fréquence, à50Hz, notée

ut=Umaxcost. Il existe alors un champ électrique Emais aussi un champ magnétique Bdans l'espace interarmatures.

19.Calculer la valeur numérique de

et préciser son unité.

20.On travaille en coordonnées cylindriques d'axe

Oz. Rappeler l'expression générale d'un

déplacementdlen coordonnées cylindriques r,,zdans la baseur,u,uz.

21.Montrer queBM,test de la forme

6/32D1D2

s-sz Od

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A.Champ E entre les armatures

On admet que l'on peut, à cette fréquence, travailler dans le cadre de l'approximation des régimes

quasistationnaires électriques. Dans ce cas, le champEdans le condensateur se calcule comme en

électrostatique mais, cette fois, la tension, donc le champ, dépendent du temps.

22.ÉcrireEM,tsous la formeEM,t=E0costuzet donner l'expression deE0en

fonction deUmaxet des autres données de l'énoncé.

B.Champ B entre les armatures

1)Le théorème d'Ampère

En magnétostatique (

Bindépendant du temps), le théorème d'Ampère s'écrit sous la forme: ∮C

Bdl=0Ienlacé. Mais dans le cas général (Bdépendant du temps), on doit utiliser le

théorème d'Ampère généralisé:∮CBdl=0Ienlacé1 c2d dt∬SEdS(Sdésigne la surface ouverte orientée s'appuyant sur le contour fermé orienté C) oùcdésigne la vitesse de la lumière dans le

23.Justifier que, si l'on reste dans l'espace interarmatures, le théorème d'Ampère s'écrit:

∮CBdl=1 c2dE dtrelation1

Que signifieE?

2)Détermination de B

Pour déterminerBM,t, on choisit un cercle ( courbe

C1) de cotez, de rayonr,

centré sur l'axeOzet passant par le pointM. Ce cercle est orienté par l'axeOz(voir sens positif sur la figure).

24.Montrer que

∮C1 Bdl=BM,t×L1et préciserL1.

25.La surface

S1est la surface plane s'appuyant sur le cercleC1. Exprimer l'élément de surface dS1en cylindriques en utilisant le produit de deux déplacements élémentaires et un vecteur unitaire. 7/32z O+C1 M

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26.ExprimerEpuisdE

dt.

27.En déduireBM,ten fonction deE0et des autres données du problème.

3)L'approximation

Les champs

EetBdoivent vérifier: •le théorème d'Ampère ( ici: relation1) •la loi de Faraday:∮CEdl=-d

Sdésigne la surface ouverte

orientée s'appuyant sur le contour fermé orientéC) Pour vérifier larelation2, on choisit un rectangle ( courbe

C2) d'angle, de largeur

r, de hauteurz=zmax-zmin0orientée par le vecteur uet passant par le pointM(voir figure). La surfaceS2est la surface plane s'appuyant sur le contour.

28.Exprimer l'élément de surface

dS2en cylindriques en utilisant le produit de deux déplacements élémentaires et un vecteur unitaire.

29.En utilisant l'expression de

Bobtenue précédemment, donner l'expression deBpuis de -dB dt.

30.En utilisant l'expression de

Eobtenue précédemment, déterminer la circulation∮C2 Edl. Montrer avec précision que cette circulation se ramène à deux termes qui s'annulent

31.En déduire que dans le cadre de l'approximation des régimes quasistationnaires électriques, la

relation1est vérifiée mais larelation2n'est pas vérifiée rigoureusement.

V.Étude générale des champs dans un condensateur plan en régime variable. On utilise désormais les notations complexes et l'on pose: 8/32z O+C2

Mzminzmax

ruq G.P.DNS01Septembre 2012Er,t=Erexpjtuz

Br,t=BrexpjtuOn choisit aussi de désigner le champ électrique en

r=0par:

Er=0,t=E0expjtuzA.Méthode par approximations successives

1)Étape 1

32.Le champEest supposé uniforme comme en électrostatique. On noteEr,t=E0t.

Écrire

E0t.

33.Le champBest choisi pour vérifier la

relation1(théorème d'Ampère). On note Br,t=B0r,t. DéterminerB0r,t.

2)Étape 2

34.Le champEdoit vérifier larelation2(loi de Faraday). On note

Er,t=E0tE1r,toùE1est un terme correctif par rapport à l'étape 1. Ce terme est

choisi nul sur l'axe. DéterminerE1r,tdont l'expression est en lien avecB0r,t.

35.Il faut alors corriger

B. On poseBr,t=B0r,tB1r,toùB1est un terme correctif.

DéterminerB1r,tdont l'expression est en lien avecE1r,t.

3)Étape 3

36.On en arrive alors à poser:

Er,t=E0tE1r,tE2r,t. DéterminerE2(en lien avec

B1).

37.De même:

Br,t=B0r,tB1r,tB2r,t. DéterminerB2(en lien avecE2).

4)Conclusion

38.On peut poursuivre la démarche indéfiniment et doncEetBapparaissent sous forme de

développements. Écrire le résultat pour ces deux champs en limitant le développement à trois

termes. B.Méthode résolution de l'équation différentielle vérifiée par E

1)Équation différentielle pour le champ électrique

On se propose de déterminer directementEren partant toujours de larelation1et de la

relation2. On ne peut plus travailler sur une surface finie puisque ne connaissant pas, a priori,

la dépendance des champs avec r, on ne pourrait calculer les intégrales de surface. On choisit

alors un contour élémentaire, entourant une surface élémentaire ne faisant intervenir qu'une seule

valeur de r. Plus exactement,rvariera formellement de manière élémentaire entreret rdr. (On pourrait envisager de travailler entre retrret considérer ensuite des limites lorsque r0, ce qui reviendrait à ne garder que les termes du premier ordre en r. D'une certaine façon, c'est ce que l'on fait en travaillant directement 9/32

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avec la notation différentielledret les éventuels termes qui apparaitraient endr2sont donc à éliminer . La méthode avecrserait bien plus lourde à

manipuler). On rappelle donc les écritures mathématiques utilisées ici: drdr(fait apparaître une dérivée) et ∂rdr(fait apparaître une dérivée partielle)

(la différentielle de la fonctiongr,tcorrespondrait avec cette notation à

On verra donc apparaître des dérivées et l'on pourra obtenir finalement l'équation différentielle

recherchée. a) Théorème d 'Ampère sur un contour élémentaire

Pour le théorème d'Ampère

relation1, le contour fermé utilisé est le suivant:

Il s'agit d'un contour à

On remarque bien que le dessin ne doit pas induire en erreur puisque drest en fait un élément différentiel.

10/32+z

+M err+dr z ++Mrr+dr

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39.Appliquer le théorème d'Ampère et en déduire une première équation différentielle reliant

EretBr.

b) Loi de Faraday sur un contour élémentaire Pour la loi de Faradayrelation2, le contour fermé utilisé est le suivant:

40.Appliquer la loi de Faraday et en déduire une deuxième équation différentielle reliantEret

Br.

c) Équation différentielle

41.Déduire des deux équations différentielles couplées, l'équation différentielle vérifiée par

Er.

2)Résolution de l'équation différentielle pour le champ électrique

On rappelle que: Er=0=E0.

On donne: dE

drr=0=0car sur l'axe se trouve un extremum pour le champ.

42.Rechercher pour le champ une solution de la forme

Er=∑n=0

anrn.

43.Comparer le résultat final au début de solution obtenu par la méthode précédente.

11/32z

M zminzmax ruq r+dr

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