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Chapitre 1option informatique

Arbres binaires

1.

Intr oductionDans son acceptation la plus générale, un arbre est un graphe connexe acyclique enraciné1: tous les sommets,

à l"exception de la racine, ont un unique parent.1 2 56
9103
74
8 1112

Figure1 - Un exemple d"arbre enraciné en 1.

Si une arête mène du sommetiau sommetj, on dit queiest lepèredej, et en conséquence quejest lefilsdei.

Par exemple, le sommet 3 est le père de 7, le sommet 6 est le fils de 2.

Il est d"usage de dessiner un arbre en plaçant un père au dessus de ses fils, si bien que l"on peut sans ambigüité

représenter les arêtes par des traits simples à la place des flèches, ce que l"on fera par la suite2.

Dans ce contexte, il est fréquent de parler denoeudau lieu de sommet. Un noeud qui n"a pas de fils est appelé

unefeuille(ou noeud externe), les autres sont appelés desnoeuds internes. Dans l"exemple ci-dessus, les feuilles

sont les sommets 5, 7, 9, 10, 11, et 12 et les noeuds internes les sommets 1, 2, 3, 4, 6, et 8.

Enfin, on notera que chaque noeud est la racine d"un arbre constitué de lui-même et de l"ensemble de ses

descendants; on parle alors desous-arbrede l"arbre initial. Par exemple, les sommets 2, 5, 6, 9 et 10 constituent

un sous-arbre de l"arbre représenté ci-dessus. 1.1

Définition f ormelled"un arbr ebinair e

On appellearitéd"un noeud le nombre de branches qui en partent3. Dans la suite de notre cours, nous nous

intéresserons plus particulièrement auxarbres binaires, c"est à dire ceux dont chaque noeud a au plus deux fils.

Pour ne pas avoir à distinguer les noeuds suivant leur arité, il est pratique d"ajouter à l"ensemble des arbres

binaires un arbre particulier appelé l"arbre vide. Ceci conduit à adopter la définition qui suit.

Un ensemble E étant donné, on définit par induction les arbres binaires étiquetés par E en convenant que :

-nilest un arbre binaire sur E appelé l"arbre vide;

six2Eet siFgetFdsont deux arbres binaires étiquetés parE, alorsA= (Fg;x;Fd)est un arbre binaire

étiqueté par E.

x

est l"étiquette de laracinedeA; quant àFgetFd, ils sont appelés respectivement lesous-arbre gaucheet le

sous-arbre droitde l"arbre binaire A.

De manière usuelle, on convient de ne pas faire figurer l"arbre vide dans les représentations graphiques

des arbres binaires (voir la figure 2). Ainsi, suivant la représentation choisie les feuilles pourront désigner

exclusivement l"arbre vide (et dans ce cas tous les noeuds seront d"arité égale à 2) ou alors les noeuds dont les

deux fils sont vides (dans ce cas l"arité d"un noeud pourra être égale à 0, 1 ou 2). C"est cette seconde convention

qui sera utilisée dans la suite de ce cours.1. La définition précise de ces termes sera donnée dans le chapitre suivant.

2

. Plus précisément, nous démontrerons qu"une fois la racine choisie, il existe une unique orientation des arêtes qui permette de se

déplacer de la racine vers chacun des autres sommets.

3. sondegré sortant, pour employer le vocabulaire des graphes.

Jean-Pierre Becirspahic

1.2option informatique0

1 1 nilnil2 3 nilnilnil2 nil0 nilnil0 1 12 32
00 1 12 32
0 Figure2 - Trois représentations du même arbre binaire.

Mise en oeuvre pratique

La définition formelle que nous avons adoptée peut se résumer à :

Arbre=nil+ArbrenoeudArbre

et conduit à la définitionCamlsuivante :type"a arbre = Nil | Noeudof("a arbre*"a*"a arbre) ;;1.2F onctionsinductives

Preuve par induction structurelleLa plupart des résultats qui concernent les arbres binaires se prouvent parinduction structurelle, c"est-à-dire en

utilisant le résultat suivant :

Théorème. -SoitRune assertion définie sur l"ensembleAdes arbres étiquetés parE. On suppose que :

(i)R(nil)est vraie; (ii)8x2E,8(Fg;Fd)2A2, l"implicationR(Fg)etR(Fd)=)R(Fg;x;Fd)est vraie; Alors la propriétéR(A)est vraie pour tout arbreAdeA.

De même, de nombreuses fonctionsf:A!F se définissent par la donnée d"un élémenta2F, d"une fonction

': FEF!F et les relations : -f(nil) =a; -8x2E,8(Fg;Fd)2A2,f(Fg;x;Fd) ='(f(Fg);x;f(Fd)). Définition. -LataillejAjd"un arbreAest définie inductivement par les relations : -jnilj= 0;

Si A = (Fg;x;Fd)alorsjAj= 1+jFgj+jFdj.

Lahauteurh(A)d"un arbreAse définit inductivement par les relations : -h(nil) =1;

Si A = (Fg;x;Fd)alorsh(A) = 1+max(h(Fg);h(Fd)).

Avec ces conventions,jAjest le nombre de noeuds d"un arbre eth(A)la longueur maximale du chemin reliant la

racine à une feuille, autrement dit la profondeur maximale d"un noeud. La définitionCamlde ces fonctions est immédiate :letrec taille =function | Nil> 0 | Noeud (fg, _, fd)> 1 + taille fg + taille fd ;; let rec hauteur =function | Nil>1 | Noeud (fg, _, fd)> 1 + max (hauteur fg) (hauteur fd) ;;

Arbres binaires1.3

Autre exemple, pour calculer le nombre de feuilles d"un arbre binaire on utilise la fonction :letrec nb_feuilles =function

| Nil> 0 | Noeud (Nil, _, Nil)> 1

| Noeud (fg, _, fd)> nb_feuilles fg + nb_feuilles fd ;;Théorème. -SoitAun arbre binaire. Alorsh(A)+16jAj62h(A)+11.

Preuve.On raisonne par induction structurelle.

Si A = nil,jAj= 0 eth(A) =1 et le résultat annoncé est bien vérifié.

Si A = ( F

g;x;Fd), supposons le résultat acquis pour Fget Fd. On a : jAj= 1+jFgj+jFdj>1+h(Fg)+1+h(Fd)+1>2+max(h(Fg);h(Fd)) = 1+h(A)

etjAj= 1+jFgj+jFdj62h(Fg)+1+2h(Fd)+11622max(h(Fg);h(Fd))+11 = 2h(A)+111.3Arbr esbinair eséquilibr ésRevenons sur le résultat énoncé dans le dernier théorème, qu"on peut aussi écrire : siAest un arbre binaire alors

log(jAj+1)16h(A)6jAj1. Dans la suite de ce cours nous aurons à plusieurs reprises intérêt à utiliser des

arbres qui, pour une taille donnée, ont une hauteur minimale, autrement dit pour lesquelsh(A) = O(log(jAj)).

De tels arbres seront ditséquilibrés.

Étudions tout d"abord le cas optimalh(A) =log(jAj+1)1, correspondant aux arbres binairescomplets. D"après

la preuve du théorème précédent, pour queA= (Fg;x;Fd)soit complet il faut et il suffit queFgetFdsoient

complets et de même hauteur. Il est dès lors facile d"établir par induction qu"un arbre binaire est complet si et

seulement si toutes ses feuilles sont à la même profondeur.0 1 1 402
322
8 510
37
Figure3 - Un exemple d"arbre binaire complet :jAj= 15 eth(A) = 3.

Cependant, la plupart des arbres binaires que l"on rencontre dans la pratique ne sont pas complets, cette notion

étant trop restrictive; c"est pourquoi on privilégie certaines catégories d"arbres qui garantissent l"équilibrage :

arbres rouge-noir4, arbres AVL, etc.

Par exemple, la catégorie des arbres AVL introduit la notion dedéséquilibre: le déséquilibre d"un arbre

A = (Fg;x;Fd) est égal à l"entierh(Fg)h(Fd). On adopte alors la définition : Définition. -Un arbre binaireAest un arbreAVL5lorsqu"il est vide ou égal à(Fg;x;Fd)avec : -FgetFdsont des arbres AVL; le déséquilibr ede Aest égal à1,0ou1.

Autrement dit, un arbre AVL est un arbre dans lequel le déséquilibre de chaque sous-arbre est égal à1,0ou1.

Théorème. -Tout arbre AVL est équilibré.4. Voir l"exercice 5 à ce sujet.

5. D"après le nom de leurs inventeursAdelson-VelskyetLandis.

Jean-Pierre Becirspahic

1.4option informatique0

0 0 001 01 1000
0 0 001 02 10 Figure4 - L"arbre de gauche est un AVL, pas celui de droite6.

Preuve.On considère la suite deFibonaccidéfinie parf0= 0,f1= 1et la relationfn+2=fn+1+fn. Nous allons

montrer par induction structurelle que tout arbre AVL A de hauteurhcontient au moinsfhnoeuds.

Si A = nilalorsjAj= 0 =f0.

SiA= (Fg;x;Fd), l"un des deux sous-arbresFgouFdest de hauteurh1donc contient au moinsfh1noeuds, l"autre est au moins de hauteurh2donc contient au moinsfh2noeuds. On en déduit queAcontient au moinsfh1+fh2+1 =fh+1 noeuds.

Sachant quefh=('h) avec'=1+p5

2 on en déduit :'h(A)= O(jAj), soith(A) = O(logjAj).2.Arbr esbinair esde r echerche

Un arbre binaire de recherche (en abrégé : ABR) permet l"implémentation sous forme d"arbre binaire de certaines

structures de données stockant des éléments formés d"unecléet d"unevaleur, tels les dictionnaires7. Nous

allons donc considérer un ensemble ordonné de clésCainsi qu"un ensemble de valeursV, et utiliser des arbres

binaires étiquetés par E = CV.

Les arbre binaire de recherche supportent nombre d"opérations qu"on utilise dans les structures de données, en

particulier : la recherched"un valeur associée à une clé donnée; la recherche de la v aleurassociée à la clé maximale(ouminimale);

la recherche dusuccesseurd"une cléc, c"est à dire la valeur associée à la plus petite des clés strictement

supérieures àc; la recherche d uprédécesseurd"une clé; et bien sûr l" insertionou lasuppressiond"un nouveau couple clé/valeur.15 6 4 2 357
13 919
17 1820

Figure5 - Un exemple d"arbre binaire de recherche (seules les clés ont été représentées)

Définition. -un arbre binaireAest un arbre binaire de recherche s"il est vide ou égal à(Fg;(c;v);Fd)où :

-FgetFdsont des arbres binaires de recherche; toute clé de Fgest inférieure (ou égale8) àc;

toute clé de Fdest supérieure (ou égale) àc.6. Les arbres sont étiquetés par leur déséquilibre.

7. Voir le cours de première année.

8. Il serait préférable d"imposer aux clés présentes d"être deux à deux distinctes, mais cela n"est pas toujours vérifié dans la pratique.

Arbres binaires1.5Autrement dit,Aest un arbre binaire de recherche lorsque tout noeud deAest associé à une clé supérieure ou

égale à toute clé de son fils gauche, et inférieure ou égale à toute clé de son fils droit.

Dans la suite du cours, on utilisera le type :type("a, "b) data = {Key : "a; Value : "b} ;;et les arbres binaires de recherche seront représentés par le type("a, "b) data arbre.

2.1

P arcoursinfix ed"un arbr ebinair ede r echerche

La propriété des arbres binaires de recherche permet d"afficher toutes les valeurs de l"arbre par ordre croissant

de clé à l"aide d"unparcours infixe. Rappelons rapidement le principe de l"exploration en profondeur d"un arbre

(Fg;x;Fd): chaque sous-arbre est exploré dans son entier avant d"explorer le second sous-arbre. Le parcours

infixe consiste à parcourir l"arbre dans l"ordre : Fg!x!Fd.

Sitraitementest une fonction de type"b> unit, le parcours infixe d"un arbre binaire de recherche prendra la

forme suivante :letrec parcours_infixe =function | Nil> () | Noeud (fg, x, fd)> parcours_infixe fg ; traitement x.Value ; parcours_infixe fd ;;À l"évidence, le coût temporel de ce parcours est un(n) lorsquen=jAj.

Théorème. -Lors du parcours infixe d"un arbre binaire de recherche, les clés sont parcourues par ordre croissant.

Preuve.On procède par induction :

si A = nil, il n"y a rien à prouver; si A = ( F g;x;Fd), on suppose que les parcours infixes de Fget de Fdse font par ordre de clés croissantes.

Sachant que toute clé deFgest inférieure à la clé dexet toute clé deFdsupérieure à cette dernière, le

parcours Fg!x!Fdest bien effectué par ordre croissant de clé.2.2R equêtesdans un arbr ebinair ede r echerche

quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44