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1ère NSI Séquence 7 : Représentations des entiers relatifs et des réels

Page 1 sur 5 Germain BECKER & Sébastien POINT, Lycée Mounier, ANGERS

Chapitre 2 : Représentation binaire des

nombres réels Vous avez vu que Python pouvait manipuler des nombres décimaux particuliers appelés nombres flottants qui correspondent aux représentations en machine de nombres réels. Dans ce chapitre, nous allons voir comment on peut écrire en binaire un nombre réel et comment sont encodés les nombres flottants. I. En notation décimale, les chiffres à droite de la virgule représentent les dixièmes, les centièmes, les millièmes, etc. De la même manière, en binaire, les chiffres à droite de la virgule représentent les demis, les quarts, les huitièmes, les seizièmes, etc.

Conversion de la base 2 vers la base 10

Les chiffres à gauche de la virgule correspondent à des puissances de 2 positives, ceux situés à droite correspondent à des puissances de 2 négatives.

Exemple ?

Ecriture binaire 1 0 1 , 1 1 0 1

Conversion de la base 10 vers la base 2

Pour la partie décimale (à droite de la virgule), on effectue des multiplications

Exemple ?

On fait des multiplications successives par 2 sans reporter la partie entière : Les parties entières (0 ou 1) donnent les chiffres après la

Ͳǡͺͳʹͷ, à lire de haut en

bas :

A faire Exercice 1

1ère NSI Séquence 7 : Représentations des entiers relatifs et des réels

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Ecritures infinies

Comme on ne peut pas représenter en machine un mot infini, il ne sera pas possible de !). Nous verrons cela un peu plus tard avec tous les problèmes que cela engendre.

II. Représentation des nombres réels

Dans un ordinateur, les nombres à virgule (réels) sont codés en virgule flottante. On parle de nombres flottants (le type float de Python). La représentation binaire en

écriture scientifique des nombres décimaux

dont voici quelques rappels.

Ecriture scientifique

exemple,

Dans cette écriture, on distingue :

Un signe (൅ ou െ) ;

Un entier relatif ݊, appelé exposant͵ et െʹ.

La norme IEEE 754

La norme IEEE 754 est la plus utilisée pour représenter les nombres flottants. Ils sont

représentés sur 32 bits (format appelé " simple précision » ou binary32) ou sur 64 bits

(format appelé " double précision », ou binary64) sous la forme : où : ݊ son exposant en puissance de 2, codé sur 8 bits (en format 32 bits) ou sur 11 bits (en format 64 bits) ; ݉ sa mantisse codée sur 23 bits (en format 32 bits) ou sur 52 bits (en format 64 bits). Ainsi, en machine, un flottant est représenté en format 32 bits (simple précision) par un mot binaire de la forme

1 bit 8 bits 23 bits

signe exposant mantisse

1ère NSI Séquence 7 : Représentations des entiers relatifs et des réels

Page 3 sur 5 Germain BECKER & Sébastien POINT, Lycée Mounier, ANGERS et en format 64 bits (double précision) par un mot binaire de la forme

1 bit 11 bits 52 bits

signe exposant mantisse Exemple Représentation machine du nombre 5,8125 On sait que ͷǡͺͳʹͷ est positif donc le bit de signe sera 0 : signe exposant mantisse 0 ? ? la gauche. En faisant cela, on a fait apparaître : la mantisse : ݉ൌͳǡͲͳͳͳͲͳ

Il reste

Codage de la mantisse

Comme cette mantisse commence toujours par le chiffre 1, il a été choisi de ne pas coder ce " 1 » mais uniquement les chiffres après la virgule. Exemple (suite) Représentation machine du nombre 5,8125

La mantisse de ce nombre est ݉ൌͳǡͲͳͳͳͲͳ. Comme le " 1 » à gauche de la virgule

011101

que nécessaires pour arriver à 23 bits (simple précision) ou 52 bits (double précision) :

signe exposant mantisse

0 ? 011101

(23 ou 52 bits)

256 valeurs : les entiers compris entre െ127 et 128. Sur 11 bits on peut coder 2048

valeurs : les entiers compris entre െ1023 et 1024 (voir Chapitre 1, Séquence 7). mais utilisé : Dans le format simple précision (32 bits), le décalage est -à-d Dans le format double précision (64 bits), le décalage est de 1023.

1ère NSI Séquence 7 : Représentations des entiers relatifs et des réels

Page 4 sur 5 Germain BECKER & Sébastien POINT, Lycée Mounier, ANGERS . En effet, dans le format simple précision, en procédant à ce décalage de 127, on obtient des valeurs positives : Exposants signés െ127 െ126 0 127 128

Entier ݊ à coder 0 1 127 254 255

Exemple (suite) Représentation machine du nombre 5,8125 La norme IEEE 754 ne prévoit pas de coder ൅

127 en format simple précision (1023 en format double précision) : on obtient alors

éventuellement des zéros (à gauche !

Dans le format simple précision (sur 32 bits), on obtient finalement : signe exposant mantisse

0 10000001 0111

(8 bits) (23 bits) Dans le format double précision (sur 64 bits), on ajouterait 1023 à la puissance pour signe exposant mantisse

0 10000000001 0111

(11 bits) (52 bits) Bilan : En format simple précision, le nombre réel 5,8125 est représenté sur 32 bits en machine par le mot :

0 10000001 01110100000000000000000

En format double précision, il est représenté sur 64 bits en machine par le mot :

0 10000000001 0111010000000000000000000000000000000000000000000000

A faire Exercices 2, 3, 4 et 5

III. Une représentation approximative

Codage approché de certains réels

manière exacte en machine. Par exemple, on a vu que le nombre décimal ͳǡʹ a une La mantisse de ce nombre est ݉ൌͳǡͲͲͳͳͲͲͳͳͲͲͳͳǥ

23 ou 52 bits réservés pour coder la mantisse.

mantisse à 23 ou 52 bits. Cela signifie nombre ͳǡʹ est codée par le mot binaire de 23 bits les autres bits ne pouvant pas être codés. + 127

1ère NSI Séquence 7 : Représentations des entiers relatifs et des réels

Page 5 sur 5 Germain BECKER & Sébastien POINT, Lycée Mounier, ANGERS Seule une valeur tronquée de la mantisse peut être codée et donc la représentation en machine du nombre réel ͳǡʹ ͳǡʹ. Autrement dit, le est impossible de représenter de manière exacte en machine.

Méfiance

En particulier, dans un langage de

manipule des nombres flottants. Par exemple, ajouter ou soustraire des flottants peut conduire à des résultats surprenants (voir ci-contre)

De même, il ne faut jamais tester

flottants (voir ci- contre). Impossibilité de coder tous les nombres réels flottants. Nombre flottant Représentation format double précision (mantisse sur 52 bits)

1.5 et 1.5000000000000002.

Le flottant 1.5000000000000001 est donc représenté comme 1.5. La précision possible avec une mantisse sur 52 bits se situe au niveau dernier bit qui vaut ʹൈͳͲିଵ଺, on ne peut pas trouver un flottant compris entre les deux.

A retenir

Les nombres flottants sont une représentation approximative des nombres réels exacte en machine tous les nombres réels. La manipulation de nombres réels par un langage informatique est donc à prendre avec précaution car elle peut engendrer des flottants.

Sources :

Documents ressources du DIU EIL, C. DECLERCQ, Université de Nantes. Prépabac spécialité 1ère NSI, C. Adobet, G. Connan, G. Rozsavolgyi, L. Signac,

éditions HATIER

Numérique et Sciences Informatiques, T. BALABONSKI, S. CONCHON, J.-C.

FILLIATRE, K. NGUYEN, Ellipses.

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