Le conjugué d'une différence est égal à la différence des conjugués z z − =− z z' z z' − = − En effet, l'opposé du nombre complexe z a Propriété : le conjugué de l'inverse est égal à l'inverse du conjugué Le conjugué d'un quotient est égal au quotient des conjugués
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Quotient de deux nombres complexes 4 Conclusions Le conjugué d'un nombre complexe s'obtient en changeant le signe de sa partie imaginaire, ce qui
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Vestiges d"une terminale S - Conjugué d"un nombre complexe - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l"Irlandais(www.tanopah.com) Page 1 sur 2
Avertissement préalable Dans ce qui suit, les nombres a et b du complexe z a .b= + i sont deux réels. Ce sont ses parties réelle et imaginaire. Définition du conjugué d"un nombre complexe Définition : le conjugué du nombre complexe z a .b= + i est le complexe z a .b= - i Déterminons quelques conjugués de nombres complexes ? 3 3- + = - - i i3 2. 3 2. 3 2. 3 2.- - = - + - = - - - = - +
i i i i5 5 0. 5 0. 5= + = - =
i i ?0 1. 0 1.= + = - = -i i i i
Propriété : le conjugué du conjugué d"un nombre complexe est le nombre lui-même. z z=En effet, nous avons :
z a .b a .b a .b a .b a .b z= + = - = + - = - - = + = i i i i iUn nombre complexe, son conjugué, ses parties réelle et imaginaire Propriété : les parties réelle et imaginaire d"un nombre complexe z sont égales à :
z z Re z 2+ z z Im z 2.- iPour tout nombre complexe
z a .b= + i , nous pouvons écrire : z z a .b a .b a .b a .b 2.a 2.Re z+ = + + - = + + - = =i i i i z z a .b a .b a .b a .b 2. .b 2. .Im z- = + - - = + - + = =i i i i i iCorollaire : les seuls complexes qui sont leurs propres conjugués sont les nombres réels. En effet :
Les seuls complexes dont la partie imaginaire est nulle sont les nombres réels z z z z z z 0 0 Im z 0 z est un réel2.-= ? - = ? = ? = ?i
Module d"une nombre complexe Définition : le module du nombre complexe z a .b= + i est le réel positif ou nul noté z et défini par : 2 2 z a b= +Calculons quelques modules de nombres complexes :
2 20 0 0 0 0 0= + × = + =
i Le seul nombre complexe ayant un module nul est celui de 0 223 3 0 3 0 9 3- = - + × = - + = =
i Le module d"un nombre réel est égal à sa valeur absolue. 2 20 1 0 1 1 1= + × = + = =i i
223 4. 3 4 9 16 25 5- = + - = + = =
iUn nombre complexe, son conjugué et son module Propriété : le produit d"un complexe et de son conjugué est égal au carré du module.
2 2 2Cette formule est à retenir
z z z a .b a .b a b× = ? + × - = + i iEn effet, pour tout nombre complexe
z a .b= + i , nous pouvons écrire : 222 2 2 2 2 2 2 2
z z a .b a .b a .b a .b a 1 .b a b z× = + × - = - = - = - - = + =i i i iConjugué d"une somme Propriété : le conjugué d"une somme est égal à la somme des conjugués.
z z" z z"+ = +En effet, pour tous nombres complexes
z a .b= + i et z" c .d= + i , nous pouvons écrire : ? D"une part : z z" a .b c .d a .b c .d a c . b d+ = + + + = - + - = + - + i i i i i ? De l"autre : z z" a c . b d a c . b d+ = + + + = + - + i iD"où l"égalité
z z" z z"+ = + Vestiges d"une terminale S - Conjugué d"un nombre complexe - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l"Irlandais(www.tanopah.com)Page 2 sur 2
Conjugué d"un opposé et conjugué d"une différence Propriété : le conjugué d"un opposé est égal à l"opposé du conjugué. Le conjugué d"une différence est égal à la différence des conjugués.
z z- = - z z" z z"- = -En effet, l"opposé du nombre complexe
z a .b= + i est le complexe z a .b- = - - iPar conséquent :
z a .b a .b a .b a .b z- = - - = - - - = - - = - + = - i i i iDonc le conjugué de l"opposé est l"opposé du conjugué. Pour ce qui est du conjugué de la différence, il vient alors :
Conjugué d"une somme...Conjugué de l"opposé z z" z z" z z" z z" z z"- = + - = + - = + - = -Conjugué d"un produit et conjugué d"une puissance Propriété : le conjugué d"un produit est égal au produit des conjugués. Le conjugué de la puissance est égal à la puissance du conjugué.
z z" z z"× = × ()n nz zEn effet, pour tous nombres complexes
z a .b= + i et z" c .d= + i , nous pouvons écrire : ? D"une part : 2 z z" a .b c .d a .b c .d a.c .a.d .bc .b.d a.c . a.d b.c 1 .b.da.c b.d . a.d b.c× = + × + = - × - = - - +i i i i i i i i i ? De l"autre, comme z z" a .b c .d (a.c b.d) . a.d b.c× = + × + = - + +i i i alors : z z" (ac bd) . ad bc (ac bd) . ad bc× = - + + = - - +i iD"ou l"égalité
z z" z z"× = × Pour la puissance, il vient alors que pour tout n?? : ()n n n facteurs n facteurs toujours. Le produit des conjugués... ...est le produit des conjuguész z z z z z z zConjugué d"un inverse et conjugué d"un quotient Propriété : le conjugué de l"inverse est égal à l"inverse du conjugué. Le conjugué d"un quotient est égal au quotient des conjugués.
1 1z z z zz" z"