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FORMULES de topographie - JLV octobre 2013

mise à jour septembre 2020 Plutôt que de les connaître par coeur, pour la plupart, il faudrait savoir les retrouver. Comprendre une formule est essentiel. Des explications les accompagnent ci-dessous.

Tout ce qui peut être représenté sur plan après report de mesures du terrain peut se calculer.

Calcul à faire sur le TERRAIN, tout de suite après chaque mesure

1. la vérification stadimétrique quand les mesures sont faites sur une mire graduée :

(indispensable avant de terminer une mesure, à chaque visée pour vérifier sa justesse) : v = FSH + FSB - 2*FN - pour la retrouver, se souvenir que FN est le fil du MILIEU, entre FSH et FSB donc : FN = (FSH + FSB) / 2 - autrement écrit : FSH - FN = FN - FSB Au bureau : calculs PRÉLIMINAIRES à partir des lectures stadimétriques :

2. le calcul de DISTANCE horizontale pour une visée : Dh = (FSH - FSB) * 100

- 100 est la constante stadimétrique, caractéristique de la lunette ; - la distance est horizontale car la visée est horizontale, sur mire verticale ;

- cela correspond au fait qu'à 100 mètres de la mire graduée, on voit 1 mètre de mire entre les fils

haut et bas ; - le résultat est dans la même unité que FSH et FSB (le mm) ;

- pour trouver la distance en m, il faut diviser par 1000 le résultat en mm, ce qui fait que la formule

devient : - Dh (en m) = (FSH - FSB) / 10 FSH et FSB étant en mm - les lectures en mm étant des nombres entiers, la division par 10 fait que la précision sur la distance est obtenue avec 1 chiffre après la virgule (décimètre). Avec un théodolite dont la visée est oblique, la formule ci-dessus surestime la distance horizontale. Il faut la corriger en fonction de l'inclinaison de la lunette (angle de pente) ou de sa position par rapport au zénith (angle zénithal = Z).

Dh = (FSH - FSB)/10 x sin(Z)^2

3. le calcul de DÉNIVELÉ, entre 2 points visés (le 1er (AR=arrière) sert de référence)

(impossible à faire s'il n'y a qu'une seule visée faite depuis le point de station) - ∆h = FNAR - FNAV (∆ pour " différence » et h pour " hauteur ») - important : les 2 points visés sont visés depuis une même station - la lunette de la station fait toutes ses visées dans un même plan horizontal - quand la lunette vise le haut d'une mire (FN élevé), c'est que le point est bas - quand la lunette vise le bas d'une mire (FN faible), c'est que le point est haut

Autres calculs

4. L'écart angulaire entre 2 directions ∆a

L'écart angulaire entre les visées est la différence de leurs gisements (∆a = la différence des angles lus) - en particulier pour 2 visées partant d'une même station Le gisement est un angle, lu dans le sens des aiguilles d'une montre à partir d'une direction de

référence. L'azimut est un gisement particulier dont la direction de référence est le Nord.

4.1. ∆a = gisementMAX - gisementMIN = azimutMAX - azimutMIN

L'écart angulaire de 2 directions ne dépend pas de la direction de référence. Le résultat peut être l'angle intérieur (< 200 gr) ou l'angle extérieur (> 200 gr).

Il est en général préférable de calculer l'angle intérieur, mais pour situer correctement une direction

par rapport à l'autre il est essentiel de tenir compte du fait que les angles, en topographie, sont

mesurés dans le sens des aiguilles d'une montre.

4.2. angle int = 400 - angle ext

4.3. Les écarts angulaires peuvent se cumuler, en les additionnant, tout en

respectant le sens des aiguilles d'une montre.

5. La distance entre 2 points visés (d12 en les points 1 et 2) par rayonnement

La connaissance de l'écart angulaire entre les 2 visées : ∆a (cf 6.1.), et de la longueur de chacune des 2 visées, d1 et d2, permet de tracer le triangle formé par le point de station et les 2 points visés. La formule d'Al Kashi permet de calculer la distance entre les 2 points visés.

5.1. d12^2 = d1^2 + d2^2 -2 * d1 *d2 * COS ( ∆a )

^ est l'opérateur puissance (du tableur) - ^2 signifie que la distance est au carré. On peut voir cette formule comme une formule de pythagore améliorée.

Toutes les distances doivent être dans la même unité (a priori en m). Il faut faire la racine carrée

pour trouver le résultat pour la distance 1.

5.2. Les 2 distances et l'écart angulaire permettent aussi de calculer des

coordonnées rectangulaires (x,y) (cf 4.1 et 4.2). à partir des coordonnées rectangulaires, on peut appliquer un autre mode de calcul de la distance entre 2 points : d12^2 = ∆x^2 + ∆y^2, avec ∆x = x1 - x2 et ∆y = y1 - y2

C'est la formule de Pythagore,

qui est applicable car ∆x et ∆y sont 2 côtés d'un triangle rectangle.

6. Le calcul des COORDONNÉES rectangulaires d'un pt visé depuis un pt de station :

il faut : - un point de référence - le plus simple est de prendre le point de station - une direction de référence - le plus simple est de prendre celle de la 1ère visée (mise à 0) soient xv et yv les coordonnées du point visé et xS,yS celles du point de station : - 6.1. xv = xS + distance Sv * SIN (gisement Sv - 6.2. yv = yS + distance Sv * COS (gisement Sv - la distance Sv est la longueur (horizontale) de la visée S -> v - le gisement Sv est l'angle, lu dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de la direction de référence (celle de la mise à 0 du limbe) - pour faire le calcul, l'unité du gisement et celle de la calculatrice doivent correspondre (grade, degré ou radian) - pour convertir un angle du grade au degré, il faut le multiplier : x 0,9 - pour convertir sur le tableur (ordinateur) du grade au radian : /200 * pi()

Quand on connaît l'azimut

(par rapport au Nord) de la première visée (azimut.0), pour calculer des coordonnées géographiques, on l'ajoute au gisement : - 6.3. xv = xS + distance Sv * SIN (gisement Sv +azimut.0) - 6.4. yv = yS + distance Sv * COS (gisement Sv + azimut.0) - gisement Sv + azimut0 donne l'azimut de la visée (azimut Sv ) (cf 4.3). - le calcul est correct même si gisement Sv + azimut0 dépasse 400 gr... - mais pour indiquer l'azimut de la visée enlever ces 400 gr est préférable. distance Sv * SIN (angle) correspond à la VARIATION d'abscisse (∆x = xv - xS ) et distance Sv * COS (angle) correspond à la VARIATION d'ordonnée (∆y = yv - yS que l'angle soit un gisement ou qu'il soit un azimut. selon la direction de référence choisie, qui est celle de l'axe des ordonnées, soit généralement : le Nord, ou la mise à 0 d'angle horizontal d'une station.

7. L'enchaînement de mesures entre 2 stations consécutives

Pour associer dans le plan les relevés de 2 stations dans un même plan, il faut : soit 2 points communs soit 1 point commun et une direction commune Le plus simple est de terminer les relevés de la 1ère station par une visée AV vers la suivante, ce qui permet de situer la nouvelle station (point commun) ; puis une visée AR de la nouvelle station vers la précédente (direction commune), (mise à 0 du limbe au moment de la visée AR) ce qui permettra d'orienter les visées de la nouvelle station. L'azimut de deux visées OPPOSÉES est égal à 200 gr près : azimut (S n+1 -> S n ) = azimut (S n -> S n+1 ) ± 200 (on trouve ainsi l'azimut de la visée AR de la nouvelle station car cette visée est la première et sert de référence : mise à 0) S n est une station qui fait une visée AV vers la suivante, S n+1 S n+1 est une station qui fait une visée AR vers la précédente, S n les relevés de la station S n et ceux de la station S n+1 peuvent ainsi être orientées dans un même repère, l'azimut de la visée arrière étant l'azimut.0 (cf 4.3 et 4.4.).

8. L'écart de fermeture et sa correction

Cette notion sous-entend un enchaînement de mesure, c'est-à-dire un cheminement.

8.1. Définition de l'écart de fermeture

C'est l'écart entre le point d'arrivée et la position qu'il devrait avoir. Il peut être défini,

- soit par un dénivelé (écart altimétrique - e h - soit par une distance (écart planimétrique - e d - soit, plus précisément par une distance (e d ) et une direction (azimut ou gisement) soit, dans un repère donné, par deux écarts, l'un en abscisse et l'autre en ordonnée (e x et e y Cet écart doit être nul quand le cheminement est un cheminement fermé. e = valeur finale - valeur normale (soit la valeur initiale pour un cheminement fermé)

8.2. Distances cumulées et distances partielles

La distance cumulée est celle parcourue depuis le début du cheminement. Elle commence à 0, et augmente de point en point jusqu'à atteindre la longueur totale du cheminement. D'un point au suivant on parle de distance partielle.

8.3. Correction : x.corr = x - e * dcum/dtot (idem avec y, ou avec alt)

On enlève l'écart à la valeur calculée initialement pour chaque point intermédiaire : valeur corrigée = valeur calculée - écart * distance cumulée / longueur totale

8. Calculs de surface

Pour un triangle, 8.1. et 8.2. ci-dessous :

8.1. a et b sont les 2 côtés adjacents à l'angle C.

S = a * b /2 * SIN (C) = d1 * d2 /2 * SIN(∆a) L'angle C est opposé au 3ème côté, c, dont on peut calculer la longueur (cf 5.). La formule est applicable pour une station qui vise 2 points (1 et 2) : les lectures stadimétriques permettent de trouver les 2 distances (d1 et d2), les lectures angulaires permettent de trouver l'écart angulaire, ∆a (cf 4.).

8.2. Formule de Héron

soit p le 1/2 périmètre : p = (a + b + c) / 2 S = racine carrée [ p * (p-a) * (p-b) * (p-c) ] exemple : a = 3, b = 4, c = 5 (triangle rectangle) ; p=(3+4+5)/2 = 6 p-a = 3 ; p-b = 2 ; p-c = 1 S = racine carrée [ 6 * 3 * 2 * 1 ] = racine carrée [36] = 6 m2 8.3. Pour un polygone à n côtés dont on connaît les coordonnées x,y des sommets. Pour chaque côté, i de 1 à n, calculer ∆x * my = s i ∆x = x2 - x1 = variation d'abscisse, my = (y1 + y2) /2 = moyenne des ordonnées). Garder toujours le signe (+/-). Autrement exprimé : s i = (x i - x i-1 ) * (y i + y i-1 )/2 ces résultats pourront être négatifs

La valeur absolue de la somme des n s

i , en conservant leur signe, donnera la surface, soit :

S = | ∑ ∆x * my | = | s

i 8.4.

Pour une figure non géométrique,

La surface sera approchée avec un niveau de précision qui sera variable et qui dépendra du nombre de point de mesure sur le terrain et de leur précision. (cf 12.

à suivre

9. Autres formules dans le triangle : soient a, b, et c, les 3 côtés (cf 8),

A l'angle opposé au côté a, B l'angle opposé au côté b, C l'angle opposé au côté c.

9.1. Formule des sinus : a / SIN(A) = b / SIN(B) = c / SIN(C)

9.2. Formule d'Al Kashi pour trouver les angles quand on connaît les côtés.

C = acos[ (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc) ]

10. Calculs d'altitude : il faut un point d'altitude connue (référence ; visée arrière)

10.1. altAV = altAR + ∆h (cf 3.).

10.2. altAV = altAR + FNAR - FNAV Attention aux unités (tout en m ou en mm)

le résultat d'un calcul d'altitude doit être donné en m, avec 2 chiffres après la virgule.

11. Calculs de pentes

Soient 2 points 1 et 2 entre lesquels on connaît le dénivelé ∆h et la distance dh horizontale, - p (%) = ∆h / dh

0,01 = 1% ; 0,001 = 0,1% ; 1 = 100%

- 100% de pente correspond à un angle de pente de 50 gr (45°). - la pente est la tangente de l'angle de pente, ∆h étant le côté opposé, et dh, le côté adjacent

12. Autres méthodes de calcul de surfaces

à partir de mesures sur plan,

un préalable consiste à toujours commencer par convertir les mesures faites en cm en distances-terrain (en m), selon l'échelle

12.1. trouver un rectangle dont la surface s'approche de l'aire à mesurer

vérifier sur les marges et ajuster L et l pour que ce qu'on compte en trop compense ce qu'on ne compte pas

S = L * l

12.2. décomposer un polygone à n côtés en (n-2) triangles :

S = b * h / 2

(b pour la base, h pour la hauteur)

12.3. utiliser une grille de points (ou un quadrillage, ce qui est moins pratique)

S = nb de points * s

s = surface occupée par 1 point (ou 1 carreau), qui dépend de l'échelle et de l'espacement des points (5mm pour des raisons pratiques et d'efficacité)

13. Calculs de volumes

V = S * ∆h S : surface plane

∆h : hauteur moyenne, en déblai, en remblai, ou en eau dans un bassin.

V = s * L s : section

de déblai, de remblai, ou mouillée sur un profil (par exemples) L : longueur applicable d'une section sur un linéaire (ex : tranchée)quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32