DIAGONALISATION
Exercice 1 1 Déterminer si les matrices suivantes sont diagonalisables (sur R ou C) Lorsque c’est le cas, les diagonaliser puis calculer leur puissance 100-ième (i) M 1 = 4 1 9 2 (ii) M 2 = 6 8 4 6 (iii) M 3 = 2 1 2 0 Corrigé de l’exercice 1 1 (i)Première étape : valeurs propres Le polynôme caractéristique de M 1 est det(M
Chapitre 7 Diagonalisation - univ-angersfr
§2 Une matrice A semblable à une matrice diagonale M On dit que A est semblable à M si A s’écrit A =PMP−1, ou bien P−1AP =M , avec P une matrice inversible Exemple A = 3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b =P a 0 0 b P−1 avec P = 1 2 1 3 Une fois avoir exprimé A sous cette forme, il est beaucoup plus
Sujets de l’année 2006-2007 1 Devoir à la maison
Exercice 10 1 Donner un exemple de matrice dans M 2(R), diagonalisable sur C mais non diagonalisable sur R (justi-fier) 2 Donner un exemple de matrice dans M 2(R) non diagonalisable, ni sur C, ni sur R (justifier) Correction H [002600] Exercice 11 Soit A la matrice suivante : A = 0 1 1 0 1 Diagonaliser la matrice A
Trigonalisation et diagonalisation des matrices
calcul des puissances d’une matrice diagonalisable et la r´esolution des syst emes diff` ´erentiels lineaires d´ efinis par une matrice diagonalisable Nous reviendrons sur ces deux applications´ dans les prochains chapitres, notamment dans le cas ou ils mettent en jeu des matrices non` diagonalisables x1 Trigonalisation des matrices 7 1 1
Feuille d’exercices n 6 : Diagonalisation et trigonalisation
Exercice 2 Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est A = 0 1 0 −4 4 0 −2 1 2 1 Calculer le polynome caract´eristique de A Montrer que f est trigonalisable sur R L’endomorphisme f est-il diagonalisable sur R? 2 Trouver une matrice inversible P et une matrice triangulaire sup´erieure T telles que A
CORRECTION DU TD 3 - TSE
Exercice 1 1) Pour savoir si cette matrice est diagonalisable dans , on détermine son polynôme caractéristique : Ainsi, on a : Pour conclure, on étudie le sous -espace propre associé à la valeur propre en résolvant l’équation matri ielle : On a : Par conséquent, on a : avec donc
Feuille d’exercices n 9 : Réduction des V A endomorphismes et
Exercice 1 ˝) Prouver que la matrice Aest diagonalisable et déterminer une matrice P inversible de M 2(R) et une matrice diagonale Dde M 2(R) dont la
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