Séquence 4 - brunolpbayardfreefr

2 Fonctions sinus et cosinus 3 Limites de fonctions 4 Continuité d’une fonction 5 Dérivation et applications 6 Synthèse de la séquence Dans cette séquence, il s’agit d’une part d’in-troduire deux nouvelles fonctions usuelles (les fonction sinus et cosinus) et, d’autre part, de compléter et d’approfondir les

Mathématiques - Cjointcom

Imprimé au Cned - Institut de RENNES 7, rue du Clos Courtel 35050 RENNES CEDEX 9 Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes

Dérivabilité

Montrer que les graphes des fonctions f et g,,déﬁniessurR∗,tellesquef(x)=x2 et g(x)= 1 x admettent une unique tangente commune Exercice 4 17 Soit P un polynôme à coeﬃcients réels, de degré n Montrerquel’équationP(x)=ex admet au plus n+1solutions sur R

Séquence 5 - Free

Généralités sur les fonctions Dans cette séquence, plusieurs notions sur les fonctions doivent être connues 1 Limites z Limites des fonctions de référence (fonctions carré, cube, racine, et leurs inverses) aux bornes de leurs ensembles de définition z Règles opératoires et formes indéterminées z Composition

FONCTIONS DUNE VARIABLE RÉELLE 1

a pour image par f au plus un (i e un ou zéro) nombre réel de B f ainsi définie est une fonction de la variable réelle x 2- Ensemble de définition L'ensemble de définition Df de f, est la partie de A dont les éléments ont une image dans B Le mot défini signifie déterminé Le mot indéfini signifie infini

Sujet du bac ES Mathématiques Obligatoire 2017 - Liban

4) Pour sauvegarder les îles menacées par la montée des eaux, la température terrestre ne doit pas dépasser de plus de 1,5 °C la température de l'année 1900 Déterminer l'année au cours de laquelle la température terrestre atteindra ce seuil, selon ce modèle Rangs des années Nombre de °C au-dessus de la température de 1900

Nouvelle Calédonie mars 2019 - Meilleur en Maths

Étudier les variations de la fonction f sur R 3 Démontrer que le maximum de la fonction f sur R est égal à α3 α+2 Partie C : Aire d’un domaine Dans un repère orthonormé (O;⃗i;⃗j) , on note d le domaine compris entre la courbe représentative c f de la fonction f, la parabole p d’équation y=x2 et les droites d’équations x

Exercices de mathématiques - educationfr

On précisera les valeurs exactes de f(0) et f(1) b) Démontrer que la fonction f s’annule une fois et une seule sur l’intervalle [0 ; 1] en un réel D Donner la valeur de D arrondie au centième 2 En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel a pour lequel les aires A 1 et A 2 sont égales Partie B

1Séquence 4 - MA02

équence 4

La fonction

exponentielle

Dans cette séquence, on introduit une nou-

velle fonction : la fonction exponentielle.

Cette fonction est fondamentale dans beau-

coup de domaines des mathématiques. En

Terminale S, nous la rencontrerons dans les

chapitres sur les fonctions, mais aussi en probabilité et en statistiques.

Sommaire

1. Pré-requis

2. Définition de la fonction exponentielle,

propriétés algébriques

3. Étude de la fonction exponentielle

4. Synthèse © Cned - Acadmie en ligne

3Séquence 4 - MA02

Calcul sur les puissances

Rappelons les propriétés des puissances, vues au collège.

Pour tout réel

a et tout entier naturel n, on a≠: aaaa n n fois a 0

1= pour a?0≠;

aa 1 a a n n =1 pour a?0≠; aaa npnp a aa n pnp pour a?0≠; aa npnp

Fonction

Dans cette séquence, plusieurs notions sur les fonctions doivent être connues. Les propriétés essentielles sont rappelées ici.

1. Limites

Il faut connaître les limites des fonctions de référence (fonc?tions carré, cube, racine, et leurs inverses) aux bornes de leurs ensembles de définition. Les règles opératoires seront utilisées et il faut savoir recon?naître les quatre cas de formes indéterminées (dans ces rappels, la notation ? désigne un nombre réel ou + ? ou ?≠, mais ? doit avoir la même signification pour chacune des deux limites qui interviennent dans chaque cas) : pour la fonction différence fg si lim ( ) lim ( ) xx fx gx (de même si on remplace + ? par ?≠) ; A B 1

Pré-requis© Cned - Acadmie en ligne

4Séquence 4 - MA02

pour la fonction produit fg× si lim ( ) x fx

0 et lim ( )

x gx (de même si on remplace + ? par ?≠) ; pour la fonction quotient f g si lim ( ) x fx et lim ( ) x gx (de même si on remplace + ? par ?≠) ; et pour une autre fonction quotient f g si lim ( ) x fx

0 et lim ( ) .

x gx 0

Composition

Propriété

Soit f la fonction définie sur un intervalle I comme composée des fonctions g et h, cest à dire que pour tout xI?, on a fx h gx hgx() () (())==.

≠≠≠≠≠ ( ) ≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠?≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠ (gx Xfx=))()(())

≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠?≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠==hX hgx

Si lim ( )

x gx ? et si lim ( ) X hX L , alors lim ( ) x fx L (dans cet énoncé ?, ? et L désignent des réels ou +? ou ?≠).

Si, pour x au voisinage de

où désigne un réel a ou ? ou ? et si alors fx ux() ()?lim ( ) x ux lim ( ) x fx fx vx() ()?lim ( ) x vx lim ( ) x fx ux fx vx() () ()??lim ( ) x ux L et lim ( ) x vx L lim ( ) x fx L (théorème des gendarmes) fx L ux() ()?lim ( ) x ux

0lim ( )

x fx L fx gx()<() ou fx gx() ()?lim ( ) x fx L et lim ( ) x gx L LL?' (compatibilité avec lordre)© Cned - Acadmie en ligne

5Séquence 4 - MA02

2. Continuité

Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant un réel a .

On dit que

f est continue en a si lim ( ) ( ) xa fx fa

On dit que

f est continue sur I si elle est continue en tout réel de I.

Définition

du théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction définie, continue et strictement monotone sur un inter- valle ab;???? où a et b sont deux réels tels que ab<.

Pour tout réel

k compris entre fa() et fb(), l"équation fx k()= admet une unique solution sur l"intervalle ab;????.

Corollaire

On admet le prolongement du théorème et de son corollaire au cas o

ù f

est définie sur un intervalle ouvert ab???? ou semi-ouvert ab; ???? ou ; ab???? avec a et b finis ou infinis. Dans ce cas, l"énoncé des théorèmes est à adapter en considérant les limites en a ou en b au lieu des images de ces réels. Afin de facilité la rédaction lors de l"utilisation du corollai re du théorème des valeurs intermédiaires, on convient que les flèches obliques utilisées dans les tableaux de variations, traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l"intervalle considéré.

Théorème des valeurs intermédiaires

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle ab;???? où a et b sont deux réels tels que ab<.

Pour tout réel

k compris entre fa() et fb(), l"équation fx k()= admet au moins une solution sur l"intervalle ab;????.

Théorème

6Séquence 4 - MA02

3. Dérivation

Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant un réel a.

On dit que

f est dérivable en a si et seulement silim()() h fa h fa h 0 existe et est finie.

Dans ce cas, on note

lim()()(). h fa h fa hfa 0

Le réel

fa"( ) ainsi défini est appelé nombre dérivé de f en a.

Définition

Il faut connaître les liens entre le sens de variation d"une fonction sur un inter- valle et le signe de sa dérivée.

Propriété

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et deux nombres réels a et b.

Soit la fonction

g, définie par gx fax b() ( )=+ sur un intervalle J tel que, pour tout x de J, ax b+ est dans I. La fonction g est dérivable sur J et g x af ax b"( ) "( ).=+

En particulier pour

a=-1 et b=0 : gx f x() ( )=- et gx f x"( ) "( ).=- -

Et pour

a=1 : gx fx b() ( )=+ et gx fx b"( ) "( ).=+

Propriété

7Séquence 4 - MA02

Définition de la fonction exponen-

tielle et propriétés algébriques

Objectifs du chapitre

On définit ici la fonction exponentielle, une des fonctions essentielles des mathé- matiques.

On étudie ses propriétés algébriques, cest-à-dire les propriétés de la fonction

exponentielle lorsquon utilise les opérations +×÷,,,.

Pour débuter

La désintégration des noyaux composant un corps radioactif est alé atoire mais est régie au niveau global par la loi suivante : le taux de variations du nombre N de noyaux en fonction du temps est proportionnel au nombre de noyaux.

On obtient donc :

N tN = où est un nombre positif qui dépend de lélément radioactif considéré (le taux daccroissement est bien sûr négatif puisque

N diminue).

N est une fonction qui dépend du temps.

Le nombre de noyaux est une fonction qui prend seulement des valeurs entières, mais dans la pratique ce nombre est très grand et on peut lapproc her par une fonction continue et même dérivable sur un intervalle I.

En prenant la limite de ce quotient quand

t tend vers 0 on trouve alors : Nt Nt'( ) ( )= sur I, soit NN',= ou encore d dN tN =comme on lécrit aussi en Sciences Physiques.

Cette relation fait intervenir la fonction

N et sa fonction dérivée, on dit quil sagit dune équation différentielle.

On cherche à déterminer

Nt() en fonction de t, connaissant et le nombre

initial

N()0 de noyaux.

Parmi les fonctions usuelles (polynômiales, rationnelles, trigonométriques, racine carrée), aucune ne vérifie une relation du type : ff'.= Il est donc indispen- sable pour ce problème dutiliser des nouvelles fonctions, les solutions des équa- A B

8Séquence 4 - MA02

tions différentielles de la forme : fkf fy" ?0 0 où k est un réel donné.

On suppose qu"il existe une fonction

f définie et dérivable sur ? telle que f()01= et ff"= (c"est-à-dire ft ft"( ) ( )= pour tout réel t). En utilisant la fonction f, déterminer une fonction g définie et dérivable sur ? telle que gg"=3 et g() .01= De même, déterminer une fonction h définie et dérivable sur ? telle que hh"=3 et h() ,.002= En supposant que le nombre initial de noyaux est égal à 10 6 et que

λ=-0 003, et en utilisant la fonction

f, trouver une fonction N définie et dérivable sur ? telle que NN",=-0 003 et N() .010 6 Cours

1. Définition

L"existence d"une telle fonction est admise.

Démontrons qu"il existe une seule fonction vérifiant ces conditions. Pour cela, on montre d"abord qu"une telle fonction ne peut pas s"annuler.

Soit donc

f une fonction telle que ff"= et f() .01=quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

[PDF] Séquence 4 - brunolpbayardfreefr

1Séquence 4 - MA02

équence 4

La fonction

Dans cette séquence, on introduit une nou-

Cette fonction est fondamentale dans beau-

Terminale S, nous la rencontrerons dans les

Sommaire

1. Pré-requis

2. Définition de la fonction exponentielle,

3. Étude de la fonction exponentielle

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3Séquence 4 - MA02

Calcul sur les puissances

Pour tout réel

1= pour a?0≠;

Fonction

1. Limites

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4Séquence 4 - MA02

0 et lim ( )

0 et lim ( ) .

Composition

Propriété

Si lim ( )

Si, pour x au voisinage de

0lim ( )

5Séquence 4 - MA02

2. Continuité

On dit que

On dit que

Définition

Pour tout réel

Corollaire

ù f

Théorème des valeurs intermédiaires

Pour tout réel

Théorème

6Séquence 4 - MA02

3. Dérivation

On dit que

Dans ce cas, on note

Le réel

Définition

Propriété

Soit la fonction

En particulier pour

Et pour

Propriété

7Séquence 4 - MA02

Définition de la fonction exponen-

Objectifs du chapitre

Pour débuter

On obtient donc :

N diminue).

N est une fonction qui dépend du temps.

En prenant la limite de ce quotient quand

Cette relation fait intervenir la fonction

On cherche à déterminer

Nt() en fonction de t, connaissant et le nombre

N()0 de noyaux.

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8Séquence 4 - MA02

On suppose qu"il existe une fonction

λ=-0 003, et en utilisant la fonction

1. Définition

L"existence d"une telle fonction est admise.

Soit donc

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