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RechercheOpérationnelle

PremièrePartie

PaulFeautrier

Paul.Feautrier@ens-lyon.fr.

ENSLyon

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Plan

Introductionetprincipauxconcepts

Optimisationcontinuesanscontrainte

Programmationlinéaire

Optimisationcontinuesouscontrainte

Optimisationcombinatoire

Exploration

Métaheuristiques

Programamtiondynamique

ElémentsdeComplexité

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Qu'estcequelarechercheopérationnelle?

programme). processusdeprisededécision.

Inconnues:lesvariablesdedécision.

"objectif». (oumaximisent)lafonctionobjectif.

RO-MIM2-3/76

Rechercheopérationnelle

modélisationoptimisation action sonargent.

RO-MIM2-4/76

Informatiqueoumathématique?

MathématiqueInformatique

Recherche Opérationelle

Complexité

Théorèmes d'existence

ConvergenceAlgorithmes

Preuves de terminaison

ArtificielleIntelligence

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Vocabulaire

courbes de niveau de la fonction objectif optimum contraintes

Formecanonique:

trouver qui minimise

RO-MIM2-6/76

Optimumlocal,global

Minimumlocal:

estunminimumlocalde s'ilexisteunvoisinage de tel que:

Minimumglobal:

estunminimumglobalde dans ssi: local global

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Convexité

Unensemble

estconvexesi,pourtoutepairedepoints de contientaussilesegment

convexe convexe convexe non convexe

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Fonctionconvexe

estconvexedansunensembleconvexe ssi: Sf x y

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Intérêtdelaconvexité

Théorème1Si

estconvexedansunensembleconvexe ?,alorstoutminimumlocalde estun minimumglobal. Soit unminimumlocal,et l'ouvertcontenant danslequel:

Sionsupposequ'ilexisteunpoint

telque alorsona:

Ilestpossibledetrouverun

suffisammentprochede1pourque soitdans ?.Encepoint: unecontradiction.

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Classification

Selonlanaturedesvariablesdedécision:

Optimisationcontinue.

Selonlanaturedescontraintes:

pointsatisfaisantlescontraintes. convexité.

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Optimisationmulticritère

Formecanonique:trouver

quiminimise donner? estletempsd'exécutiondel'algorithme. estleprixdel'équipement.

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Domination

Onseplacedanslecas

Lasolution

dominelasolution ssi dessolutionsnondominées.

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Pareto

prix latence domination

QuefaireavecunPareto?

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Pondération

prix latence optimum pondéré

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Transformationobjectif/contrainte

prix latence borne du prix optimum

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Optimisationcontinuesanscontrainte

Uneseulevariable

Sionconnaîtladérivée

de maximumouunpointd'in¯exion. renseignementsquel'onpeutavoirsur

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Fonctionsunimodales

Unefonction

estunimodaledansl'intervalle s'ilexisteun point telquesi alors etsi alors

Ilestévidentquesi

estunimodaledans ,alors estun minimumglobal.

Théorème2Si

estcontinueconvexedans ,alors est unimodale. Soit leminimumde ,et et quiviolentla conditiond'unimodalité,parexemple et .Soit telque .Parconvexitéondoitavoir maisaussi unecontradiction.

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Méthodepartrichotomie

a c d ba c d b

Ondivisel'intervalle

entroispartieségalesàl'aidedes points .Oncalcule et

Ondétermineleminimumde

parmiles4points minimimdiscret. .Onpoursuit jusqu'àlaprécisionvoulue.

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Améliorations

par après

évaluationsdelafonction.

agrandirlessegmentsextrêmes.

évaluer

divisépar2.Laconvergenceesten doncplusrapide.

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Méthodesparexploration

duminimum.

Onsupposetoujoursque

estunimodale.Onchoisitunpas d'exploration ?.Oncalcule auxpoints jusqu'à trouversoitunecon®guration ,soitjusqu'à atteindrelepoint

Onfait

etonrecommence. estlefacteurdeconvergence.

Ons'arrètequand

estdevenusuf®sammentpetit.

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L'algorithmeconverge

Lenombredepasd'explorationestauplus

.L'exploration s'arrèteenuntemps®ni. Soit le ?-ièmeintervalled'explorationet le ?-ième pasd'exploration.Ona et Les

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Optimisationàplusieursvariables

Formeduproblème:

Lesinconnuessontles

composantesduvecteur

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Recherchedirectionnelle

unpointdedépart etunedirection

Onminimiselafonctionàunevariable

àl'aidede

l'unedesméthodesvuesplushaut.

Siledéplacement

estsuf®sammentpetit,onarrète.

Sinon,onchangededirectionetonrecommence.

Lepointimportantestlechoixdesdirections.

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Recherchesuivantlesaxes

Onprendcommedirections

lesvecteurscanoniquesdela base.Cecirevientà®xer variablesdelafonction ,et

àoptimisersuivantla

?-ième.

Onpasseensuiteàlavariable

suivante.

Laméthodeesttrèslenteet

peutmêmenepasconverger silescourbesdeniveausont

àpeuprèsparallèlesauxdia-

gonales.

Onpeutl'accélérereneffec-

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