Démonstation exigibles dans le programme de TS
Caractériser les points d’un plan de l’espace par une relation ax + by + cz + d = 0 avec a , b , c trois nombres réels non tous nuls 6- Orthogonalité droite et plan Démontrer qu’une droite est orthogonale à toute droite d’un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan Probabilités :
Démonstrations exigibles au bac - maths-francefr
Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une « restitution organisée de connaissances » I - Suites Enoncé I-1
Exercices et démonstrations sur les suites
Exercices et démonstrations sur les suites Sommaire Ex 57 P35 (DM2) Page 2 Ex 97 P39 (DM2) Page 2 Ex 99P40 Page 2 Ex 100P40 Page 3 Ex 108P40 Page 4 Ex 110 Page 5 Ex 102P41 Page 6 Ex 118P46 Page 7 Ex 122P48 Page 9 Correction de propriété du cours Page 10 Bonus :
Mathématiques Cours, exercices et problèmes Terminale S
Les exercices sont de difficulté très variable et les objectifs poursuivis sont divers : ⋆Peu difficile – à faire par tous pour la préparation du bac ⋆⋆Moyennement difficile – à considérer pour toute poursuite d’études scientifiques ⋆⋆⋆Très difficile – à essayer pour toute poursuite d’études exigeante en maths
DÉMONSTRATIONS AU PROGRAMME POUR LE BAC S - Maths & tiques
n) est majorée par L D3 - Démonstration au programme (non exigible BAC) : Démontrons par l’absurde en supposant le contraire, soit:«Il existe un entier p, tel que u p >L » - L'intervalle ouvert L−1;u p ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ contient L Or, par hypothèse, n lim n→+∞ u=L Donc l'intervalle L−1;u p ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ contient tous les
Cahier de textes TS1 2013-2014
les résultats conjecturés Pour le 08/11 : Exercices 49 et 51 page 53 04/11/2013 1 heure Vie de classe : inscription au Bac Le 06/11 : Rapporter les confirmations d'inscription signées par les parents 06/11/2013 Module Etudier le signe d'une expression (activité 1 page 60)
Terminale S Les ROC : complexe/géométrie à connaître
Les ROC : complexe/géométrie à connaître Vous trouverez ici les démonstrations que vous avez officiellement dues faire en cours (dans le programme) Il est important de préciser que cela ne signifie en aucun cas qu’il ne faille pas connaître les autres
1 PGCD
Pour la première , on applique les définitions La deuxième et la troisième sont des con-séquences d’Euclide Les deux dernières utilisent les définitions Les démonstrations 1 On démontre la propriété en deux temps • Si b=PGCD(a;b)alors par définition , b divise a • Supposons que b divise a
TS CoursSpé maths : DIVISIBILITE DIVISION EUCLIDIENNE
TS – CoursSpé maths : DIVISIBILITE –DIVISION EUCLIDIENNE - CONGRUENCES 5 c) Congruences et opérations Théorème 2 : Soit n un entier supérieur ou égal à 2 La relation de congruence modulo n est compatible avec l’addition et la multiplication dans
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YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 1DÉMONSTRATIONS AU PROGRAMME POUR LE BAC S SUITES Propriété : Si q > 1 alors
lim n→+∞ q n. D1 - Démonstration au programme (exigible BAC) :Prérequis : Pour tout entier naturel n, on a : ()11
n ana+≥+ (inégalité de Bernoulli qui se démontre par récurrence). On suppose que q>1 , alors on peut poser q=a+1 avec a>0 . ()11 n n qana=+≥+ . Or ()lim1 n na car a>0 . Donc par le théorème de comparaison lim n→+∞ q n. Théorème de comparaison : Soit (un) et (vn) deux suites définies sur ℕ. Si, à partir d'un certain rang,
u n n et lim n→+∞ u n alors lim n→+∞ v n . D2 - Démonstration au programme (exigible BAC) :Soit un nombre réel a. - lim n→+∞ u n , donc l'intervalle a;+∞contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note n1. On a donc pour tout
n≥n 1 aalors la suite (un) est majorée par L. D3 - Démonstration au programme (non exigible BAC) :Démontrons par l'absurde en supposant le contraire, soit:"Il existe un entier p, tel que u p >L .»- L'intervalle ouvert L-1;u p contient L. Or, par hypothèse, lim n→+∞ u n =L . Donc l'intervalle L-1;u pcontient tous les termes de la suite (un) à partir d'un certain rang (1). - Comme (un) est croissante :
u n ≥u p pour n>p . Donc si n>p , alors u n ∉L-1;u p (2). (1) et (2) sont contradictoires, on en déduit qu'il n'existe pas p ϵ ℕ, tel que u p >L . Et donc la suite (un) est majorée par L.YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 2Propriétés : - Si une suite croissante est non majorée alors elle tend vers +∞
. - Si une suite décroissante est non minorée alors elle tend vers -∞. D4 - Démonstration au programme (non exigible BAC) :Soit un réel a. Comme (un) n'est pas majorée, il existe un entier p tel que
u p >a . La suite (un) est croissante donc pour tout n>p , on a u n ≥u p . Donc pour tout n>p , on a u n >a. Et donc à partir d'un certain rang p, tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle
a;+∞ . On en déduit que lim n→+∞ u n . FONCTIONS Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f'=f et f(0)=1. D5 - Démonstration de l'unicité au programme (exigible BAC) :- Démontrons que f ne s'annule pas sur ℝ. Soit la fonction h définie sur ℝ par
h(x)=f(x)f(-x) . Pour tout réel x, on a : h'(x)=f'(x)f(-x)+f(x)-f'(-x) =f'(x)f(-x)-f(x)f'(-x) =f(x)f(-x)-f(x)f(-x) =0La fonction h est donc constante. Comme
h(0)=f(0)f(0)=1 , on a pour tout réel x : f(x)f(-x)=1 . La fonction f ne peut donc pas s'annuler. - Supposons qu'il existe une fonction g telle que g'=g et g(0)=1 . Comme f ne s'annule pas, on pose k(x)= g(x) f(x) k'(x)= g'(x)f(x)-g(x)f'(x) f(x) 2 g(x)f(x)-g(x)f(x) f(x) 2 =0 . k est donc une fonction constante. Or k(0)= g(0) f(0) 1 1 =1 donc pour tout x : k(x)=1 . Et donc f(x)=g(x) . L'unicité de f est donc vérifiée. Propriétés : lim x→-∞ e x =0 et lim x→+∞ e x D6 - Démonstrations au programme (exigible BAC) :- Soit la fonction g définie par g(x)=e x -x YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 3Pour x positif, g'(x)=e x -1≥e 0 -1=0 car la fonction exponentielle est croissante. Donc la fonction g est croissante sur0;+∞
. On dresse ainsi le tableau de variations : x 0 +∞ g'(x)0 +
g(x)1 Comme
g(0)=1 , on a pour tout x, g(x)≥1 . Et donc g(x)=e x -x≥0 , soit e x ≥x . D'après le théorème de comparaison des limites, on en déduit que lim x→+∞ e x car lim x→+∞ x=+∞ lim x→-∞ e x =limX→+∞
e -X =limX→+∞
1 e X =0. Théorème : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]. La fonction F définie sur [a ; b] par
F(x)=f(t)dt
a xest dérivable sur [a ; b] et sa dérivée est la fonction f. D7 - Démonstration dans le cas où f est strictement croissante (non exigible BAC) : - On considère deux réels x et x+h de l'intervalle [a ; b] avec
h>0 . On veut démontrer que lim h→0F(x+h)-F(x)
h =f(x)F(x+h)-F(x)=f(x)dx-f(x)
a x dx a x+h =f(x) x x+h dx. On a représenté ci-contre, la courbe de la fonction f (en vert). Cette différence est égale à l'aire de la surface colorée en rouge. Elle est comprise entre les aires des rectangles ABFE et ABHG. Or,
AireABFE
=h×f(x) etAireABHG
=h×f(x+h) . Comme f est croissante sur [a ; b], on a : h×f(x)F(x+h)-F(x)
hF'(x)=f(x)
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 4Propriété : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. D8 - Démonstration dans le cas d'une fonction admettant un minimum (non exigible BAC) : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b] admettant m comme minimum. - Si m ≥