Triplets pythagoriciens
Triplets pythagoriciens 1 Description arithmétique 2 Description algébrique : Euclide via Gauss 3 Description algébrique arborescente 4 Description géométrique 5 Triplets « pythagoroniens » 6 Les équations x 2 + y 2 = pz2 , p premier impair Pierre-Jean Hormière _____ « Pythagore estimait l’arithmétique au-dessus de tout
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Lycée La Martinière Monplaisir Année 2020/2021 MPSI - Mathématiques le 26 novembre Devoiràlamaisonn° 8 À rendre le 3 décembre Triplets pythagoriciens
Triplets pythagoriciens
Triplets pythagoriciens 1 Description arithmétique 2 Description algébrique : Euclide via Gauss 3 Description algébrique arborescente 4 Description géométrique 5 Triplets « pythagoroniens » 6 Les équations x 2 + y 2 = pz2 , p premier impair Pierre-Jean Hormière _____ « Pythagore estimait l’arithmétique au-dessus de tout
Les triplets pythagoriciens
Remarque : On se limitera donc à l’étude des triplets pythagoriciens (a, b, c), avec a, b et c premiers entre eux deux à deux Un tel triplet est appelé triplet irréductible 2 2 Étude de la parité Soit (a, b, c) un triplet pythagoricien irréductible Étudions d’abord la parité de a, b et c
Les triplets pythagoriciens
Remarque : On se limitera donc à l’étude des triplets pythagoriciens (a, b, c), avec a, b et c premiers entre eux deux à deux Un tel triplet est appelé triplet irréductible 2 2 Étude de la parité Soit (a, b, c) un triplet pythagoricien irréductible Étudions d’abord la parité de a, b et c
Activité 4 : découverte des triplets pythagoriciens avec un
Vous avez généré deux séries de triplets dans les colonnes C,D,E et H,I,J 8 Ces triplets sont-ils pythagoriciens ? Justifier 9 Déterminer quelques triangles rectangles dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers et dont la longueur de l'hypoténuse est comprise entre 60 et 70
DEVOIR MAISON - SFR
2005/2006 TS spé maths DEVOIR MAISON Les triplets pythagoriciens On cherche les triplets d’entiers naturels non nuls (x ; y ; z) tels que ; x² + y² = z² Soit E l’ensemble de ces triplets On les nomme triplets « pythagoriciens » 1
Examen terminal d’arithm etique Triplets Pythagoriciens
M1 Maths Jf Culus Examen terminal d’arithm etique Triplets Pythagoriciens Partie I: Restriction de la recherche 1 Supposons que (a;b;c) est un triplet pythagoricien, donc nous avons a 2+b2 = c Aussi, pour tout entier naturel n, nous avons en multipliant la pr ec edente egalit e par nque (na)2+(nb)2 =
Tles maths expertes : Sujets à travailler seul ou en groupe
Ces triplets seront nommés « triplets Pythagoriciens» en référence aux triangles rectangles dont ils mesurent les Côtés, et notés en abrégé TP Ainsi (3, 4 5) est TP +42-9+ 16=25-52 Partie A : généralités l Démontrer Clue, si (x y, z) est TP, et p un entier naturel non nul, alors le triplet (PX, py, pz) est lui aussi un Te 2
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DERNIÈRE IMPRESSION LE27 août 2020 à 17:02
Les triplets pythagoriciens
1 Définition
Définition 1 :On dit que trois nombresa,betcentiers naturels forment un triplet pythagoricien s"ils vérifient la relation :a2+b2=c2.Remarque :Rechercher des triplets pythagoriciens
revient à chercher des triangles rectangles dont les côtés sont des nombres entiers. Le plus connu des tri- plets pythagoriciens est (3; 4; 5), connu depuis l"An- tiquité et utilisé par les architectes égyptiens pour tracer des angles droits. On utilise une corde à noeuds : sur une corde fermée, on place 12 noeuds régulièrement espacés. On peut ainsi reconstituer le triangle rectangle (3; 4; 5), et fa- briquer ainsi une équerre de poche pliable!2 Restriction de la recherche
2.1 Triplets irréductibles
Théorème 1 :Si (a;b;c) est un triplet pythagoricien alors, pour tout entier natureln, (na;nb;nc) est aussi un triplet pythagoricien. Démonstration :Immédiate, cela revient à multiplier l"égalité d"origine parn2 Remarque :(6; 8; 10) et (27; 36; 45) sont obtenus en multipliant (3; 4; 5) respec- tivement par 2 et 9. Ce sont donc des triplets pythagoriciens. Théorème 2 :Si deux des trois nombres composant un triplet pythagoricien ont un diviseur commund, alorsddivise aussi le troisième nombre. Démonstration :En effet, supposons quedsoit un diviseur commun àaetb: il existe alors deux entiers,a?etb?tels quea=da?etb=db?. Alorsc2=a2+b2=d2(a?2+b?2). Doncd2divisec2, et doncddivisec. Par un raisonnement similaire sidest un diviseur commun àaetc, oubetc, on montre queddivise respectivementboua.PAUL MILAN1TERMINALE MATHS EXPERTES
2 RESTRICTION DE LA RECHERCHE
Supposons queaetbsoient premiers entre eux, alorsaetcsont premiers entre eux. Sinon on pourrait trouver un diviseur commund?=1 àaetc, qui diviserait alorsb, ce qui est absurde puisqueaetbsont supposés être premiers entre eux. Théorème 3 :Tout triplet pythagoricien peut se ramener a un triplet pytha- goricien "réduit", oùa,betcsont premiers entre eux deux a deux. Il suffit même que deux d"entre-eux le soient. Remarque :On se limitera donc à l"étude des triplets pythagoriciens (a,b,c), aveca,betcpremiers entre eux deux à deux. Un tel triplet est appelétriplet irréductible.2.2 Étude de la parité
Soit (a,b,c) un triplet pythagoricien irréductible. Étudions d"abord la paritédea, betc. Ces trois nombres ne peuvent pas être tous pairs car ils sont premiers entre eux deux à deux. Pour la même raison, il ne peut pas y avoir deux nombres pairs (et unimpair) : cela est immédiat, puisquea,betcsont premiers entre eux deux à deux.Prouvons que les trois nombres ne peuvent pas être tous impairs :Siaetbsont impairs,a2etb2sont donc impairs, donca2+b2=c2est pair.