Trigonalisation et diagonalisation des matrices
On notera que toute matrice triangulaire superieure´ ´etant semblable a une matrice triangu-` laire inferieure, une matrice est trigonalisable dans´ M n(K)si, et seulement si, elle est semblable a une matrice triangulaire inf` erieure ´ 7 1 2 Exercice — Soit A une matrice de M n(K) et soit une valeur propre de A Montrer
CORRECTION DU TD 3 - TSE
2) D’après l’exercice 1 , la matrice est trigonalisable et la décomposition de Jordan de cette matrice est : 3) Pour tout , on en déduit que : On doit donc chercher la puissance de la matrice ; pour cela, on la décompose en : où est une matrice nilpotente d’indice Comme les
Diagonalisation et trigonalisation
dans laquelle la matrice de uest triangulaire sup erieure En particulier, etant donn e une base B, uun endomorphisme et A= Mat B(u), alors uest trigonalisable si, et seulement si, il existe Ttriangulaire sup erieure et P2GL n(K) telles que A= PTP 1: Th eor eme 4 2 Soit Aune matrice de M n(K), K = R ou C On suppose que P A(x) est scind e
Décomposition de Dunford et réduction de Jordan
Démontrons que A est trigonalisable sur R et trouvons une matrice P telle que P 1AP soit triangu-laire supérieure 1 Commençons par calculer le polynôme caractéristique de A: ˜A(X) = 1 X 4 2 0 6 2X 3 1 4 X = = (3 X)(2 X) Comme ˜A est scindé sur R, la matrice est trigonalisable sur R (Nous verrons plus tard si elle est diagonalisable ou
Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1
Une matrice A (2,2), ou un endomorphisme ϕ, dont le polynˆome caract´eristique est scind´e et qui n’est pas diagonalisable a une valeur propre double λ Proposition 2 2
L2 Math ematiques Math ematiques: ALGEBRE LINEAIRE II Cours
Si toute matrice carr ee complexe est trigonalisable, ceci n’est pas vrai pour les matrices r eelles Ceci signi e qu’il n’existe pas toujours une matrice triangulaire r eelle semblable a la matrice r eele donn ee, la matrice de passage devant ^etre aussi r eelle Prenons par exemple la matrice M= 0 1 1 0 :
Analyse Num´erique Corrig´e du TD 6 - unicefr
Universit´e de Nice Sophia-Antipolis Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 1 3 Matrices triangulaires sup´erieures On consid`ere une matrice triangulaire sup´erieure U d’ordre n > 0
Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 8 **** Soit A une matrice carrée de format n Montrer que A est nilpotente si et seulement si 8k 2[[1;n]], Tr(Ak)=0 Correction H [005658] Exercice 9 *** I Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant fg gf = f Montrer que f est nilpotent Correction H [005659] Exercice 10 ****
Exercice 2
Licence de mathématiques — algèbre et géométrie Corrigé du partiel du 1er avril 2005 Exercice 2 Préambule On notera : – u l’endomorphisme E → E dont la matrice dans la base (e 1,e 2,e 3) est A, – (f 1,f 2,f 3) une base Jordanisante et – J la matrice de u dans cette base Le polynôme caractéristique de A est P A(X) = (X −1
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