Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2013

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Corrigé du baccalauréat S

Antilles-Guyanejuin 2013

EXERCICE15 points

Commun à tous lescandidats

1.La bonne réponse est b

Par l"absurde : si (IJ) et (EC) étaient coplanaires, alors, le point J appartiendrait au plan (ECI) c"est-à-dire au plan (ECA), ce qui est faux.

2.La bonne réponse est c

Dans le repère mentionné dans le sujet, on a-→AF (1,0,1) et--→BG (0,1,1), d"où-→AF·--→BG=

1×0+0×1+1×1=1.

3.La bonne réponse est d

. On le vérifie en injectant les coordonnées des points A, F et H dans l"équationx+y-z=0.

4.La bonne réponse est b

Un vecteur normal dePest-→n(1,1,-1), or--→EC (1,1,-1). Par conséquent--→EC est nor-

mal àP, et comme-→EL et--→EC sont colinéaires,-→EL est de ce fait aussi normal àP.

5.La bonne réponse est d

On a--→EC (1,1,-1) et E(0,0,1); une représentation paramétrique de la droite (EC) est donc???x=t y=t(t?R)

L?Palors:t+t-(1-t)=0d"oùl"on tiret=1

EXERCICE25 points

Commun à tous lescandidats

Partie A

On a :

f?? p-1 ?n;p+1?n? ??p-1?n?f?p+1?n ?? -f-1 ?n?-p?-f+1?n ??f-1 ?n?p?f+1?n ??p?? f-1 ?n;f+1?n?

On a donc bien :

P f?? p-1 ?n;p+1?n?? =P? p?? f-1?n;f+1?n?? ?0,95

Partie B

1. a.Arbre pondéré illustrant la situation :

RR C BAA r 1-r 1 1/3 1/3 1/3

19JUIN2012 Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2013

b.On a, d"après l"arbre précédent :

P(A)=P(A∩R)+P(A∩

R)=r+13(1-r)=13(3r+1-r)=13(1+2r).

c.On a : PA(R)=P(A∩R)

P(A)=r1

3(1+2r)=3r1+2r.

2. a.L"expérience consiste enunerépétition de400 épreuvesdeBernoulli identiques

et indépendantes, où la probabilité de "succès» (c"est-à-dire que l"étudiant ait

la bonne réponse) est égale à P(A). La variable aléatoire X suit donc la loi bino- miale de paramètresn=400 etp=P(A)=1

3(1+2r).

b.On an=400 etf=240

400=0,6, doncn?30,nf?5 etn(1-f)?5, un intervalle

de confiance au seuil de 95 % de l"estimation depest donc : f-1 ?n;f+1?n? =[0,55 ; 0,65]. Ainsi, avec une probabilité supérieure à 95 % :

0,55?p?0,65

orp=1

3(1+2r), donc :

0,55?1

3(1+2r)?0,65

d"où :

1,65?1+2r?1,95

puis :

0,325?r?0,475

Un intervalle de confiance au seuil de 95 % derest donc : [0,325 ; 0,475]. c.i. Icir=0,4, doncp=1

3(1+2r)=0,6. La loi binomiale de paramètresn=400

etp=0,6 a pour espérancenp=240 et pour variance V=np(1-p)=96. On peut alors l"approcher par la loi normale de paramètresμ=240 etσ=? 96.
ii. Par lecture de la table fournie (ou utilisation de la calculatrice) :

P(X?250)=0,846.

EXERCICE35 points

Commun à tous lescandidats

Partie A

1.limx→+?(x+1)=+? et limx→+?ex=+?, donc, par opérations limx→+?f(x)=+?.

Pour toutx?R,f(x)=xex+ex. Or limx→-?xex=0 (croissances comparées) et limx→-?ex=

0, donc, par opérations lim

x→-?f(x)=0.

2.Pour tout réelx,f?(x)=1ex+(x+1)ex=(x+2)ex.

3.Pour tout réelx, ex>0, doncf?(x) a le même signe quex+2. On en déduit le tableau

de variations suivant : x-∞ -2+? f?(x)-0+

0+∞

f -1/e2

19JUIN2012 Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2013

Partie B

1. a.On a, pour tout réelx:

g m(x)=0??x+1=mex ??(x+1)ex=m ??f(x)=m. b.D"après l"équivalence et le tableau de variations précédents :

sim< -1

e2: l"équationgm(x)=0 ne possède aucune solution, doncCmne coupe pas l"axe des abscisses;

sim=-1

e2: l"équationgm(x)=0 possède une solution, doncCmcoupe l"axe des abscisses en un point;

si-1

e22.La courbe 1 ne coupe pas l"axe des abscisses, donc l"équationgm(x)=0 n"a pas de solution et cela entraîne quem<-1 e2. La seule possibilité est donc quem=-e. La courbe 2 coupe l"axe des abscisses une seule fois, doncm= -1 e2oum?0. La seule possibilité est doncm=0. Par élimination, la courbe 3 correspond àm=e.

3.Pour tout réelx,gm(x)-(x+1)=-mexqui est du signe de-m; on en déduit :

sim>0, alors pour tout réelx,gm(x)-(x+1)<0, doncCmest en dessous deD; sim<0, alors pour tout réelx,gm(x)-(x+1)<0, doncCmest au dessus deD; sim=0, alors pour tout réelx,gm(x)-(x+1)=00, doncCmetDsont confondues.

4.Le domaine D2hachuré :

a. 12345
-1 -21 2 3 4-1 C-e C 0 C e

Δ2b=-4.7

b.Pour touta?0, la courbeC-eeest au dessus deCe, par conséquent l"aireA(a)

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est donnée par :

A(a)=?

a 0 f-e(x)-fe(x)dx a

0?(x+1)+ee-x?-?(x+1)-ee-x?dx

a 0

2ee-xdx

=2e?-e-x?a 0 =2e?-e-a+1? =2e-2e1-a.

On a de plus lim

a→+∞e1-a=0, par conséquent : lima→+∞A(a)=2e.

EXERCICE45 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

1.On au1=u0+v0

2=12etv1=u0+2v03=23.

2. a.Pour N=2, le tableau de l"état des variables dans l"algorithme est :

kwuv

100,50,667

21/20,5830,917

(valeurs approchées à 10-3près) b.Plusgénéralement, pourunentier Nsaisiparl"utilisateur, l"algorithmeaffichera u

NetvN.

3. a.Soitn?N, alors : AXn=?

1 2121
323??
un v n? un+vn

2un+2vn

3? =Xn+1. b.Démontrons par récurrence que, pour toutn?N, Xn=AnX0. Pourn=0, on a A0X0=I2X0=X0(ou I2désigne la matrice identité d"ordre2), donc la propriété est vraie pourn=0 Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entiernatureln: Xn= A nX0, alors : AXn=AAnX0=An+1X0, c"est-à-dire Xn+1=An+1X0et la pro- priété est donc héréditaire.

Donc, pour tout entier natureln: Xn=AnX0.

4. a.On a :?4

565-6
565??
1 2-121 213?
=?1 00 1? =I2 en d"autres termes la matrice P est inversible et son inverseest P?. Démontrons par récurrence que, pour toutn?N, An=P?BnP. A0=I2, or P?B0P=P?I2P=P?P=I2, la propriété est donc vraie pourn=0. Supposons que, pour un certain entier natureln, An=P?BnP, alors A et la propriété est donc héréditaire.

En conclusion, pour toutn?N: An=P?BnP.

b.On a, pour toutn?N: A n=? 1 2-121 213??
1 0 0?16? n?? 4 565-6
565?
1 2-12? 16? n 1 213?
16? n?? 4 565-6
565?
2 5-35? 16? n35-35? 16? n 2 5-25? 16? n35+35? 16? n?

5. a.EnmultipliantlamatriceAnprécédenteàdroiteparlevecteurcolonneX0=?01?

on obtient X n=AnX0=? 3 5-35? 16? n 3 5+35? 16? n? . D"où l"on tireun=35-35? 16? netvn=35+ 3 5? 16? n.

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b.Comme limn→+?? 16? n =0 (car-1<16<1), on obtient par opérations que les suites (un) et (vn) convergent toutes deux vers3 5.

EXERCICE45 points

Candidatsn"ayant passuivi l"enseignementde spécialité

1.On aa0=1 etb0=1.

2.z1=z0+|z0|

3=1+i+?

2 3=1+? 2

3+13i. On a alorsa1=1+?

3etb1=13.

3. a.Pour N=2, le tableau de l"état des variables dans l"algorithme est :

KAB

10,80470,3333

20,55860,1111

b.Plus généralement, pour une valeur de N saisie par l"utilisateur, l"algorithme affichera la valeur deaN.

Partie B

1.On a, pour toutn?N,zn+1=an+1+ibn+1etzn+1=a

n+ibn+? a2n+b2n

3, donc :

a n+1=a n+? a2n+b2n

3etbn+1=bn3.

2.Lasuite (bn)est géométrique depremier termeb0=1et deraison1

3,par conséquent,

pour toutn?N:bn=?1 3? n. Comme-1<13<1, on en déduit que (bn) converge vers 0.

3. a.Pour toutn?N,|zn+1|=????z

n+|zn| 3???? =13|zn+|zn||?13(|zn|+|zn|), c"est-à-dire : zn+1|?2|zn| 3. b.Montrons par récurrence que pour toutn?N,un??2 3? n?2.

On au0=|z0|=?

2 et?23?

0?2=?2, la propriété est donc vraie pourn=0.

Supposons que, pour un certain entier natureln,un??2 3? n?2, alors : u n+1=|zn+1|?2

3un?23?

23?
n?2=?23? n+1?2, la propriété est donc héréditaire. En conclusion, la propriété est vraie pour toutn?N. On a de plus, pour toutn?N,un=|zn|?0, donc : 0?un??2 3? n?2. Comme lim n→+?? 2 3? n?2=0, le théorème " des gendarmes » permet de conclure que la suite (un) converge vers 0. c.On a, pour toutn?N: u n=|zn|=? an+bn??a2n=|an|. Ainsi, pour pour toutn?N,0?|an|?un. Comme (un)convergevers0, le théo- rème "des gendarmes» permet à nouveau de conclure que (|an|)converge vers

0, donc que (an) converge vers 0.

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quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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Corrigé du baccalauréat S

Antilles-Guyanejuin 2013

EXERCICE15 points

Commun à tous lescandidats

1.La bonne réponse est b

2.La bonne réponse est c

1×0+0×1+1×1=1.

3.La bonne réponse est d

4.La bonne réponse est b

5.La bonne réponse est d

L?Palors:t+t-(1-t)=0d"oùl"on tiret=1

EXERCICE25 points

Commun à tous lescandidats

Partie A

On a :

On a donc bien :

Partie B

1. a.Arbre pondéré illustrant la situation :

19JUIN2012  Corrigé du baccalauréat S  Antilles-Guyane juin 2013

P(A)=P(A∩R)+P(A∩

R)=r+13(1-r)=13(3r+1-r)=13(1+2r).

P(A)=r1

3(1+2r)=3r1+2r.

2. a.L"expérience consiste enunerépétition de400 épreuvesdeBernoulli identiques

3(1+2r).

400=0,6, doncn?30,nf?5 etn(1-f)?5, un intervalle

0,55?p?0,65

3(1+2r), donc :

0,55?1

3(1+2r)?0,65

1,65?1+2r?1,95

0,325?r?0,475

3(1+2r)=0,6. La loi binomiale de paramètresn=400

P(X?250)=0,846.

EXERCICE35 points

Commun à tous lescandidats

Partie A

1.limx→+?(x+1)=+? et limx→+?ex=+?, donc, par opérations limx→+?f(x)=+?.

0, donc, par opérations lim

2.Pour tout réelx,f?(x)=1ex+(x+1)ex=(x+2)ex.

3.Pour tout réelx, ex>0, doncf?(x) a le même signe quex+2. On en déduit le tableau

0+∞

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Partie B

1. a.On a, pour tout réelx:

sim< -1

sim=-1

si-1

3.Pour tout réelx,gm(x)-(x+1)=-mexqui est du signe de-m; on en déduit :

4.Le domaine D2hachuré :

Δ2b=-4.7

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A(a)=?

0?(x+1)+ee-x?-?(x+1)-ee-x?dx

2ee-xdx

On a de plus lim

EXERCICE45 points

1.On au1=u0+v0

2=12etv1=u0+2v03=23.

2. a.Pour N=2, le tableau de l"état des variables dans l"algorithme est :

100,50,667

21/20,5830,917

NetvN.

3. a.Soitn?N, alors : AXn=?

2un+2vn

Donc, pour tout entier natureln: Xn=AnX0.

4. a.On a :?4

En conclusion, pour toutn?N: An=P?BnP.

5. a.EnmultipliantlamatriceAnprécédenteàdroiteparlevecteurcolonneX0=?01?

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EXERCICE45 points

1.On aa0=1 etb0=1.

2.z1=z0+|z0|

3=1+i+?

3+13i. On a alorsa1=1+?

3etb1=13.

3. a.Pour N=2, le tableau de l"état des variables dans l"algorithme est :

10,80470,3333

20,55860,1111

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sim< -1

sim=-1

si-1

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Donc, pour tout entier natureln: Xn=AnX0.

En conclusion, pour toutn?N: An=P?BnP.

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On au0=|z0|=?

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