MS2 2F5 chapitrecomplet - Sésamath
forme canonique f(x)=a(x−α)2 +β Le sens de variation d’une fonction dépend du signe de a x f avec a > 0 −∞ α +∞ β x f avec a < 0 −∞ α +∞ β PREUVE La preuve est disponible en complément sur le manuel numérique PROPRIÉTÉ : Extremum Soit a, α, β trois nombres réels f une fonction polynôme de degré 2 définie
Matrices (canoniques) des applications linéaires
Rappel : matrice d’un syst eme lin eaire La matrice du syst eme d’ equations ˆ 8x + 3y + 5z = 1 2x + 4y + 7z = 2 c’est 8 3 5 2 4 7 :
Support de cours : Introduction à la programmation linéaire
La programmation linéaire Forme canonique d’un programme linéaire de n variables non-négatives and m contraintes : maxcx (1) s c (2) Ax b (3) x 0 (4) où cT 2Rn (cT est c transposé, c est donc un vecteur ligne), x2Rn, b2Rm et
Cours de Calcul Matriciel
2 1 2 Algorithme de passage d’une forme echelonn´ee `a une forme canonique ligne 8 k=1 AikBkj avec ” le nombre de blocs en ligne de A et le nombre de blocs en
wwwmathsenlignecom XERCICES FONCTION CARRE ET SECOND DEGRE E 1B
EXERCICE 1B 2 : Ecrire sous forme canonique puis factoriser le polynôme, comme dans l’exemple : A(x) = x² + 6x + 5 = x² + 2 3 x + 5 = (x² + 2 3 x + 3²) – 3² + 5 = (x + 3)² – 9 + 5 = (x + 3)² – 4 = (x + 3)² – 2² = (x + 3 + 2)(x + 3 – 2) = (x + 5)(x + 1) B(x) = x² – 12x + 35 = x 2 6 x+ 35 2
SECOND DEGRÉ (Partie 1) - Maths & tiques
−40 est la forme canonique de f Propriété : Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur par f(x)=ax 2+bx+cpeut s'écrire sous la forme : f(x)=a(x−α) 2 +β, où αet βsont deux nombres réels Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f Démonstration : Comme a≠0, on peut écrire pour tout réel x: f(x)=ax2
ANALYSE ET COMMANDE DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS DANS L
1- Forme canonique commandable 2- Forme canonique observable 3- Forme canonique diagonale (modale) 4- Forme canonique de Jordan 10 10 12 13 14 V Résolution des équations d’état 21 VI Transformation entre les modèles d’état 23 VII Diagonalisation des systèmes (découplage) 28 VIII Stabilité dans l’espace d’état 35 CHAPITRE II
Polycopié De Travaux Pratiques - univ-skikdadz
structures spécifiques sont appelées forme canonique, qu‘on peut classer en trois formes [8] : Forme canonique diagonale La matrice d‘état est diagonale et les éléments de la diagonale sont les valeurs propres Forme canonique commandable Une ligne de la matrice d‘état correspond aux coefficients du polynôme caractéristique de la
Séquence 1 - Retour de classes
f admet un minimum en x= −5 4 qui vaut f − = 5 − 4 49 8 Ceci correspond au sommet S − − 5 4 49 8; de la parabole 4 Conclusion : Dans cet exemple, la forme canonique de f est donnée par : f x a x b a b ac a ( ) ( )= − + = − = − + α β α β2 2 2 4 4 avec et Ce résultat se généralise à toute fonction polynôme de degré 2
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Support de cours : Introduction à la
programmation linéaireViet Hung Nguyen
Hung.Nguyen@lip6.fr
UPEC - Master ScTIC0
La programmation linéaire
Forme canonique d"un programme linéaire denvariables non-négatives andmcontraintes : maxcx(1) s.c.(2)Axb(3)
x0(4) oùcT2Rn(cTestctransposé,cest donc un vecteur ligne),x2Rn,b2Rmet A2Rmn. (02Rnest un vecteur dont tous les composantes sont nulles). (1)est la fonction objectif. (3)sont les contraintes.UPEC - Master ScTIC1
On peut transformer n"importe quel programme linéaire sous forme canonique : Toute égalitésax=best remplacée par deux inégalitésaxbetaxb. Multiplier par un scalaire négatif pour inverser le sens des inégalités et le sens de l"optimisation (maximisation vs minimisation) si nécessaire. Remplacer les variablesxilibre de signe par la différence des deux variables non-négativesx1ix2i.UPEC - Master ScTIC2
Exemple
max4x1+5x2 s.c.2x1+x28
x1+2x27
x 23x
10;x20
On ac=4 5,b=2
487 33
5 etA=2 42 1
1 2 0 13 5
UPEC - Master ScTIC3
Forme standard
maxcx s.c. Ax=b x0 On peut toujours transformer la forme canonique en forme standard en ajoutant des variables d"écart.UPEC - Master ScTIC4
Forme canonique
maxcx s.c. Axb x0Forme standard maxcx s.c.Ax+Ie=b
x0;e0 oùe=2 4e 1... e n3 52Rnest le vecteur dont les composantes sont les variables
d"écart.Exemple.
UPEC - Master ScTIC5
Forme canonique
max4x1+5x2 s.c.2x1+x28
x1+2x27
x 23x
10;x20Forme standard
max4x1+5x2 s.c.2x1+x2+e1=8
x1+2x2+e2=7
x2+e3=3
x1;x2;e1;e2;e30
On va travailler par la suite sur la forme standard. De plus, on va supposer que l"origine 02Rnest toujours une solution pour la forme canonique du problème.UPEC - Master ScTIC6
Forme standard : base et solution de base
Pour une question simplification de notations, on re-écrit la forme standard comme suit: maxcx s.c. Ax=b x0 oùc2Rn,x2Rn,b2RmetA2Rmn. SoitJ=f1;:::;ngl"ensemble des indices des colonnes deA. Pour tout sous-ensembleBJ, soitN=JnB et soientABetANrespectivement les sous matrices deAconsistant en les colonnes indexées parBet parN.UPEC - Master ScTIC7
Forme standard : base et solution de base (cont.)
Définition.Best unebasesiABest carrée (i.e.2mathbbRmm) and régulière (i.e.A1Bexiste). On associe à la baseBle vecteur¯x2Rnqui se décompose en¯xB= A1Bbet¯xN=0. On appelle¯xsolution de baseB. De plus, si¯x0alors
¯xest unesolution de base réalisable. Dans ce cas, on dit queBestune base réalisable.Dans la décomposition¯x=¯xB
¯xN
, les composantes de¯xBsont appelées les variables de baseet celles de¯xNsont appeléesles variables hors base.UPEC - Master ScTIC8
Ré-expression des contraintes principales (hormis lescontraintes de non-négativité) par rapport à une baseÉtant donnée une base réalisableB, on peut récrireAx=benABANxB
x N =bouABxB+ANxN=b.Multiplier ce système parA1B, on obtient
xB+A1BANxN=A1Bb
ou encore xB=A1BbA1BANxN;
UPEC - Master ScTIC9
Coûts réduits ou profits marginaux
Utilisons cette expression pour exprimer la fonction objectif par uniquement les variables hors basexN: cx=cBcNxB x N =cBxB+cNxN=cB(A1BbA1BANxN)+cNxN =cBA1Bb+(cNcBA1BAN)xN SoitP2Rm=cBA1B, les composantes dePsont appeléeles multiplicateurs du simplexe. Soit¯cT2Rnoù¯cB=0et¯cN=cNPTAN. On appelle¯c, le vecteur des coût réduits(si l"objectif est une minimisation) ouprofits marginaux(si l"objectif est une maximisation).UPEC - Master ScTIC10
Tableau du simplexe associé à une base
Étant donné une baseB, on associe àBle tableau suivant:J BA1BA¯
b¯cPboù¯b=A1Bb.
Ce tableau nous renseigne les informations suivantes à propos deB:Est ce queBest réalisable ? (A1Bb0?)
Est ce queBest optimale ? (¯c0si maximisation et¯c0si minimisation). La solution de basexassociée àBestxB=¯bandxN=0. Elle est réalisable siBest réalisable et elle est optimale siBest optimale.UPEC - Master ScTIC11
Changement de base
On peut améliorer la solution actuelle si elle n"est pas optimale en faisant un changement de base. La procédure est la suivante. Choisir une variable hors basexjoùj2Ntel que¯cj>0si on est en maximisation et¯cj<0si on est en minimisation. La variablexjest appeléela variable entrante.Soity=A1BAjla colonnejdu tableau. On calcule
i= argmin(¯bky k:k2Bt:q:yk>0)La variablexiest appeléela variable sortante.
UPEC - Master ScTIC12
On obtient une nouvelle baseB= (Bn fig)[ fjg. On effectue une opération de pivot sur l"élément à la la ligneiet colonnejpour obtenir le tableau associé à la nouvelle base.UPEC - Master ScTIC13
Opération de pivot sur le tableau du simplexe
J BA1BA¯
b¯cPbOn suppose quenpremière colonnes du tableau est indexées parJ. La dernière colonne qui est en fait¯bprend l"indicen+1. Lesmpremières lignes du tableau sont indexées parB. La dernière ligne qui se compose de¯cetPbprend égalementl"indicen+1.L"opération de pivot sur l"élément à la ligneiet à la colonnej(i.e. le pivot)
est comme suit.