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Fundamental Theorems of Vector Calculus
The first term in the dot product is the gradient of the function f The second term in the product is our outward pointing normal vector,N, to the curve σ(t) = (x(t),y(t)), because h dx dt, dy dt i·h dy dt,− dx dt i= 0 Note that kNk= kσ0(t)k It now follows that ZZ D 4fdA = Z b a ∇f·Ndt= Z b a ∇f· N kNk kNkdt = Z b a ∇f· N kNk
MECANIQUE DU POINT MATERIEL - التعليم الجامعي
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2 e
édition
Outils mathématiques pour physiciens et ingénieursRappels de cours et exercices corrigés
Jean-Marc Poitevin9782100758883-FM.indd 111/28/16 8:36 PM© Dunod, 2012, 2017
www.dunod.com ISBN 978-2-10-075888-3Illustration de couverture : © Ninog/Fotolia9782100758883-FM.indd 211/28/16 8:36 PM
III © Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit.1 Nombres réels et complexes, Identités
remarquables, Suites 11. Nombres réels 1
1.1Catégories 1
1.2 Décomposition en facteurs premiers 2
1.3Puissances de 10 3
2. Nombres complexes 3
2.1Représentation d'un point dans un plan 3
2.2Les deux notations 4
2.3Calculs avec les complexes 4
3. Identités remarquables 5
4. Suites arithmétique et géométrique 6
L'essentiel
7Entraînez-vous
8Solutions 10
2 Trigonométrie, Fonctions hyperboliques, Développements ensérie
161. Sinus, cosinus, tangente 16
1.1 Dé nitions, variations 16
1.2 Valeurs particulières 17
1.3 Angles opposés, supplémentaires ouffcomplémentaires 17
2. Relations trigonométriques 18
3. Fonctions trigonométriques inverses 19
4. Fonctions trigonométriques complexes 19
5. Fonctions hyperboliques 20
6. Développements en série 20
6.1Développements au voisinage de zéro 20
6.2 Développements auprès d'une valeur quelconque 21L'essentiel
22Entraînez-vous
23Solutions 26
Table des matières
9782100758883-FM.indd 311/28/16 8:36 PM
Table des matières
IV3 Fonctions devariables réelles ou complexes 39
1. Fonctions réelles de variables réelles 39
1.1Fonctions cartésiennes
391.2
Fonctions paramétriques
401.3
Fonctions polaires
402. Dérivées, étude des variations 40
2.1Dérivée d'une fonction cartésienne
402.2
Dérivée d'une fonction paramétrique
412.3
Dérivée d'une fonction polaire
412.4
Quelques dérivées usuelles
412.5
Tableau de variation
423. Limites 42
4. Fonctions complexes de variables complexes 43
4.1Dé nition
434.2
Représentation
444.3
Dérivation
44L'essentiel 46
Entraînez-vous 47
Solutions 51
4 Séries ettransformations de Fourier 63
1. Série de Fourier 63
1.1Notation réelle
631.2
Notation complexe
641.3
Spectre de fréquences
641.4
Égalité de Parseval
642. Intégrale, ou transformée de Fourier 65
2.1Dé nitions
652.2
Égalité de Parseval
652.3
Spectre
65L'essentiel 66
Entraînez-vous 67
Solutions 72
5 Équations différentielles 90
1. Équations différentielles du 1
er ordre 90 1.1Principe général
909782100758883-FM.indd 412/7/16 1:02 PM
VTable des matières
© Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit. 1.2 Équation linéaire à coefcients constants 911.3 Équation à variables séparées 91
1.4Équation à variables séparables 92
1.5 Équation homogène 92
1.6 Différentielle exacte 92
1.7Équation de Bernoulli 93
1.8Équation de Riccati 93
2. Équations différentielles du 2
e ordre 932.1 Principe général 93
2.2Équation ou y ne gure pas 94
2.3 Équation sans second membre ou x ne gure pas 94 2.4 Équation linéaire à coefcients constants 94 2.5Équation de Legendre 95
2.6Équation de Laguerre 96
2.7Équation de Tchebychev 96
2.8Équation de Bessel 96
L'essentiel
98Entraînez-vous
99Solutions 104
6 Intégrales de fonctions réelles et complexes,
Convolution
1241. Primitives 124
2. Surface, primitive, intégrale 125
2.1Surface délimitée par une courbe 125
2.2De la primitive à l"intégrale 126
3. Intégrales dénies et non dénies 126
4. Méthodes d"intégration 127
5. Intégrales de fonctions complexes 128
5.1 Formulation générale 128
5.2Lemmes de Jordan 128
5.3Théorème de Green 128
5.4 Fonctions holomorphes, théorème de Cauchy 128
5.5Intégrale de Cauchy 129
6. Méthode des résidus 129
6.1Série de Taylor 129
6.2Série de Laurent 130
6.3Résidu 130
9782100758883-FM.indd 511/28/16 8:36 PM
Table des matières
VI 6.4Théorème des résidus 130
6.5Intégrales sur des arcs de cercles 131
7. Convolution 131
7.1Dénition et propriétés 131
7.2Convolution et transformée de Fourier 132
L'essentiel
133Entraînez-vous
134Solutions 141
7 Systèmes d'équations linéaires, Calcul matriciel 170
1. Systèmes d"équations 170
1.1 n variables et n équations 170
1.2 n variables et p équations 171
2. Méthodes de résolution 171
2.1Par substitution 171
2.2Par combinaison 171
3. Notation matricielle 171
4. Calcul matriciel 173
4.1Addition 173
4.2Multiplication par un nombre 173
4.3Multiplication de deux matrices 173
4.4Inversion 174
4.5 Transposition 174
4.6Déterminant 175
4.7Valeurs et vecteurs propres 176
L'essentiel
177Entraînez-vous
178Solutions 182
8 Transformation de Laplace, transformée en z 199
1. Dénition 199
2. Propriétés 200
3. Table des transformées usuelles 201
4. Passage de f(p) à f(t) 202
4.1Décomposition en éléments simples 202
4.2Théorème de Heaviside 203
9782100758883-FM.indd 611/28/16 8:36 PM
VIITable des matières
© Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit.5. Convolution et transformée de Laplace 203
6. Transformée en z 203
6.1Principe, dé nition
2036.2
Propriétés
2046.3
Table des transformées usuelles
2046.4
Passage de
X(z) à x(n) ou x(t)
205L'essentiel 207
Entraînez-vous 208
Solutions 214
9 Analyse vectorielle 243
1. Systèmes de coordonnées 243
1.1Coordonnées cartésiennes (x, y, z)
2431.2
Coordonnées cylindriques (=, +, z)
2441.3
Coordonnées sphériques (r, (, +)
2442. Vecteurs 245
2.1Dé nitions
2452.2
Addition, soustraction
2462.3
Produit scalaire
2462.4
Produit vectoriel
2462.5
Autres produits
2463. Gradient, divergence, rotationnel, laplacien 246
4. Relations entre opérateurs 248
5. Théorème de la divergence (d"Ostrogradsky) 248
6. Théorème du rotationnel (de Stokes ouAmpère) 248
7. Signication des opérateurs 249
7.1Gradient
2497.2