1 Ouvert, ferm e, compact
Soit Kun compact d’un espace m etrique E Alors toute fonction f: KR est born ee et atteint ses bornes Proposition Soit f: EF une fonction Alors : 1 l’image r eciproque par fd’un ouvert de F est un ouvert de E; 2 l’image r eciproque par fd’un ferm e de F est un ferm e de E; 3 l’image directe par fd’un compact de Eest un
CCP PSI 2014
continue (car polynomiale) sur un compact (car fermé borné dans un espace vectoriel de dimension nie) Ce maximum M F véri e toujours M F i; et M F = i dans le cas où F = F i III 4 1) On choisit pour F l'espace engendré par les i premiers vecteurs pro-pres de M n 1; d'après ce qui précède, appliqué à Rn 1: M F = i D'après III 3) : i i
Corrigé 1 Existence et unicité d’une meilleure approximation
aussi fermé car de dimension finie Ainsi C est fermé et borné dans un espace de dimension finie ; il est compact Si l’on avait C = ? alors on aurait kf gk I > 1 + m pour tout g 2 R n[X], en contradiction avec la définition de m 1 2 L’application g 7 kf gk I est continue sur C donc elle admet un minimum atteint en p 2 C Pour g 2 R
POINTS FIXES DAPPLICATIONS HOLOMORPHES DANS UN DOMAINE BORNÉ
sous-espace vectoriel complexe fermé de F Bien sûr, un tel résultat n'est pas vrai pour n'importe quel espace de Banach complexe; cependant, dans [12], j'ai montré, avec quelques hypothèses supplémentaires, que, si D est un domaine borné convexe de C", et si /: D -» D est une application holomorphe ayant deux points fixes
[hal-00580303, v1] Diagnostic des systèmes dynamiques
concentre l'information utile) compact (fermé et borné) O n dit qu'une distribution s'annule sur un ensemble si elle s'annule sur toutes les fonctions à support inclus dans Le
Continuité dans les espaces vectoriels normés - Méthodes
C'est donc un fermé de R2 On a aussi, pour f: KˆEF, (fcontinue Kcompact)f(K) compact Application : Dans le cas où F = R, f(K) est alors un fermé borné de R En
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