1 Ouvert, ferm e, compact
Soit Kun compact d’un espace m etrique E Alors toute fonction f: KR est born ee et atteint ses bornes Proposition Soit f: EF une fonction Alors : 1 l’image r eciproque par fd’un ouvert de F est un ouvert de E; 2 l’image r eciproque par fd’un ferm e de F est un ferm e de E; 3 l’image directe par fd’un compact de Eest un
I Ouverts, ferm´es - Claude Bernard University Lyon 1
1 Montrer que si Aest compact et B ferm´e dans E alors A+B est ferm´e dans E 2 Montrer que si Aet B sont compactes alors A+B l’est aussi 3 Soient A= R×{0}et B = {(x,y ) ∈R2 xy = 1 } Montrer que A et B sont des ferm´es de R2 mais que A+B n’en est pas un Exercice 12 Soit ( E, k k) un espace vectoriel norm´e et X⊂E une partie
Coursd’Analyse4avecExercicesCorrigés YassineAhmedBENIA
1 4Topologie: ouvert,fermé,compact Chapitre1 3) OnditqueFestunfermé deRn siC RnFestouvert 4) On dit que U est borné, s’il existe une boule qui contient tout les élémentsdeU,c’est-à-dire
CARACTERISTIQUES - Honeywell
• Normalement Ouvert et Normalement Fermé selon modèles SMART-T – MOTEUR THERMIQUE LINEAIRE COMPACT FR0P-0267-0506R1-FR03 2 REFERENCES Table 1 Moteurs
Espaces topologiques - Claude Bernard University Lyon 1
F fermé,F⊃A F Proposition 7 Soit Aune partie d’un espace topologique a) Aest un ouvert contenu dans A b) Si Uest un ouvert et U⊂ A, alors U⊂ A Autrement dit, Aest le plus grand ouvert contenu dans A a’) Aest un fermé contenant A b’) Si F est un fermé et F⊃ A, alors F⊃ A Autrement dit, Aest le plus petit fermé
TOPOLOGIE-SÉRIE1 Exercice1 A B A B - EPFL
Or tout ouvert non vide contient un ensemble de la forme aZ + b, qui est en bijection avecZ etdoncinfini Exercice3 Vraisoufaux? (a)Unespacetopologiqueestdiscret(i e chaqueU⊆Xestouvert)sietseulementsichaque singleton{x}⊆Xestouvert (b)PourunespacetopologiquefiniX,sitoutsingleton{x}⊆Xestfermé(i e X\{x}⊆X
Partie de Un€N*
ouvert) contenant x et qui soit contenu dans Non, et e d’une manière forte En effet, pour tout x € , il suffit de considérer la boule ]x-r ; x+r[ intersecte Par conséquent, n’est pas ouvert Plus préisément, = intérieur de ≠ Ø Fermé ? est-il ouvert ? On fixe x il y a 2 cas : (1) x < 0 On peut prendre comme boule
Topologie, Analyse Fonctionnelle
D e nition 1 1 2 Soit Eun espace vectoriel sur K = R ou C Une norme sur Eest une application jj:jj: ER+ v eri ant les propri et es suivante : (1) jjxjj= 0 si et seulement si x= 0
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