Isometries in two and three dimensions - UCL
and then the curious property of (odd)£(odd)-determinants comes into play We close by mentioning that if L: R2R2 is an isometry of determinant ¡1, then S –L has determinant det(S)det(L) = 1, and hence, equals
L e on su r les isom tries p lan es
L e on s su r les isom tries (su ite) (isom tries vectorielles) T itre d e la le on (supprim e en 1995) : C om pos es de r flexions du plan fixant un point donn Invariants l m entaires: effet sur les distances, les angles, G roupe des isom tries fixant un point
ISOMÉTRIES VECTORIELLES ET MATRICES ORTHOGONALES
métries vectorielles de E, noté O(E), est un sous-groupe du groupe linéaire GL(E)de E appelé le groupe orthogonal de E La composée de deux isométries vectorielles et la réciproque d’une isométrie vectorielle sont donc des isométries vecto-rielles Démonstration Toutd’abord, GL(E)estungroupepour la COMPOSITION Ensuite: O(E)⊂ GL
Isom etries d’un espace euclidien
1 Isom etries vectorielles 1 1 D e nition et premi eres propri et es D e nition 1 On dit que l’endomorphisme fde Eest une isom etrie vectorielle ssi 8u2E; kf(u)k= kuk (fconserve la norme): L’ensemble des isom etries vectorielles de Eest appel e groupe orthogonal de E, not e O(E) Exemple 1
Oral I - Agr egation interne Alg ebre Le˘con 125 Isom etries
2 Isom etries vectorielles de l’espace 2 1 Classi cation E est un espace vectoriel euclidien de dimension 3 Proposition Les valeurs propres d’un el ement
Isom etries du plan - Université Paris-Saclay
2 Les isom etries 2 1 D e nition des isom etries et premi eres propri et es 2 1 D e nition Une application f du plan dans lui-m^eme est appel ee une isom etrie si elle conserve les longueurs4, c’est- a-dire si l’on a, pour tous A;Bdans P, f(A)f(B) = AB 2 2 Notation Lorsqu’on a une transformation f du plan, on notera en
Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens
I Isométries vectorielles 1 Définition, propriétés, caractérisations Soit u∈L(E) On dit que uest une isométrie vectorielle si uconserve la norme, c’est-à-dire si ∀x∈E, ku(x)k= kxk Définition Exemple – Dans R 2[X] muni du produit scalaire défini par : aX2 +bX+cαX2 +βX+γ = aα+bβ+cγ, soit ul’endomorphisme
1 Variables aléatoires 2 Endomorphismes remarquables des
2 1 Isométries vectorielles – Isométries vectorielles, caractérisation par la conservation du produit scalaire, par l’image d’une (de toute) base orthonormée – Matrices orthogonales, caractérisation par les colonnes ou lignes, par la relation tMM = I n ou M tM = I n – Groupes orthogonaux O(E) et O(n)
L IC E N C E D E M A T H M A T IQ U E S E T IN F O - WebSelf
¤6 S ym tries, isom tries 38 ¤7 L es vecteurs 50 ¤8 L e corps de la g om trie 55 S E C O N D E P A R T IE : G O M T R IE P L A N E C L A S S IQ U E I L es angles 67 ¤1 L e groupe des rotations vectorielles du plan 67 ¤2 L es angles orient s 67 ¤3 E xem ples d'applications 69 ¤4 L a m esure des angles 71
math 1er S1 et S3 - Examens & Concours
sym”tries orthogonales • Composition de transformations • Transformations r”ciproques Les isom”tries pourront ’tre caract”ris”es entre autre par le nombre de leurs points invariants • Le professeur guidera les ”l‘ves pour les compositions conduisant ‹ des transformations non usuelles • Pour les r”ciproques, on
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