Séries Numériques (corrigé niveau 1)
ln( ) ln( 1) ln 1 Puisque la suite (an) converge (vers 0), la série est donc convergente et sa somme vaut : a2 −0 =ln( 2) −ln( 1) =ln( 2) Remarque : la convergence de la série pouvait être obtenue simplement avec un équivalent 4 On peut s’inspirer d’une situation déjà rencontrée et chercher à mettre un sous forme télescopique
Correction du TD 20 - blog de la sup IV
ln 1− 1 n2 = ln n2 −1 n2 = ln n −1 n −ln n n+1 On reconnaît une somme télescopique Comme on a : lim n→+∞ ln n −1 n =0 , la somme de la série est égale à son premier terme, c’est-à-dire ln 1 2 =−ln2 Correction 5 On multiplie le terme général par k2 afin de savoir si c’est un o 1 k2 On a : k3 (k +1) = 1 (k
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Created Date: 12/18/2011 2:49:17 PM
TD - Sommes et Produits - Weebly
À l’aide d’une somme télescopique, exprimer u n en fonction de n Exercice 4 1 Déterminer deux réels aet btels que pour tous réels xde Rr{−1;0}, 1 x(x+1) = a x+1 + b x 2 En déduire une expression en fonction de nde Xn k=1 1 k(k+1) Exercice 5 Exprimer Xn k=1 1 k(k+2) en fonction de l’entier naturel n Exercice 6 Pour ndans N
1 Questions préliminaires
(c) On peut faire une récurrence ou faire apparaître une somme télescopique vn −v0 = n k=1 (vk −vk−1) ln(2) n k=1 1 2k ln(2) 1 2 1−1 2n 1−1 2 ln(2) 1− 1 2n 2 ln(2)
Exercices 3 Sommes, produits et coefficients binomiaux
Montrer que ln(un) Sommes géométriques aux 1 et 2 La dernière somme est télescopique 6 [Noyaux de Dirichlet et de Féjer
02 - Séries numériques Exercices
a Montrer que (1 −x) un peut se mettre sous la forme du terme général d’une série télescopique b En déduire que la série ∑ n≥0 un converge et préciser sa somme 3 A l’aide d’une série télescopique, montrer la convergence et calculer la somme de la série ∑ − 2 1 ln 1 n 4 Pour : m ∈ , m ≥2, on pose : ∀ n
Sujet C Question de cours Exercices
(somme télescopique) Finalement, 2 f est dérivable sur IR + et f' (x) valeur f (1) = 1/4 De plus, f (0) = 0 et lim f (a;) + 00 — —In(k 1 = —[ln(k — I) — Ink] Ink — In(n — 1) — Donc f admet un maximum en 1 de o - e [O, 1] Puis si pour n > 1, O < un < L, alors par stricte croissance de f sur [0, C [0, 1] 3 Récurrence : —
Dérivabilité
1 Il suffit pour toutk P Nzt0,1u d’appliquer l’inégalité des accroissements finis à la fonctionx ÞÝÑln(ln(x)) sur l’intervalle [k; k +1] 2 Soit n P Nzt0,1u En sommant les inégalités précédemment obtenues pour k P J2,nK, on obtient ÿn k=2 ((ln(ln(k +1)) ´ln(ln(k))) ď Sn Or la somme de gauche est une somme télescopique
SOMMES ET PRODUITS - bagbouton
= å correspond à la somme suivant la ième ligne Pour j fixé, 1 n j i,j i S a = = å correspond à la somme suivant la jème colonne La double somme , 1 1 i n j p ij i j a correspond à la somme de toutes cases du tableau en sommant d’abord les lignes puis en faisant la somme des Si obtenus
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