Cours d’analyse 1 Licence 1er semestre

Fiche d’exercices ⁄ Propriétés de R Motivation Voici une introduction, non seulement à ce chapitre sur les nombres réels, mais aussi aux premiers chapitres de ce cours d’analyse Aux temps des Babyloniens (en Mésopotamie de 3000 à 600 avant J C ) le système de numération était

Algèbre et Analyse Recueil d’Exercices Corrigés

Algèbre et Analyse Recueil d’Exercices Corrigés Avant d’en venir aux ensembles nous commençons par une série d’exercices sur la logique mathématique Exercice 1 1

Cours d’analyse 1 Licence 1er semestre

7 Corrig´e des exercices 69 Remerciements Merci a Thierry Mignon, Vladimir Verchinin, Julien Munier, Denis Trotabas et Daniel Maerten pour les exercices de TD Merci a Michele Bolognesi pour la r´edaction de quelques corrig´es d’exercices Merci a Ivan Babenko pour la preuve de l’irrationnalit´e du nombre d’Euler

EXERCICES d’ANALYSE MATHEMATIQUE

Ce cahier d’exercices est destin e aux etudiants de seconde candida-ture en sciences math ematiques et physiques Il a pour but de compl eter le cours d’analyse du Professeur J Schmets et a servir de base aux s eances de travaux pratiques Les exercices sont nombreux et ont un degr e de di cult e tr es vari-able

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Mathematiques - Niveau L1 Tout le cours en fiches

Exercices 129 Corrigés 133 Partie 2 Exercices 315 Corrigés 323 Partie 3 Analyse Université de Rennes,Institut Mathématique de Rennes

Cours d"analyse 1

Licence 1er semestre

Guy Laffaille

Christian Pauly

janvier 2006 2

Table des mati`eres

1 Les nombres r´eels et complexes 5

1.1 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.2 Nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.3 Densit´e des rationnels et irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.4 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

2 Logique et langage des ensembles 15

2.1 Propositions et op´erateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

2.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

2.3 Techniques de d´emonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.3.1 R´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.3.2 Contrapos´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.3.3 D´emonstration par l"absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.4 Langage des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

3 Suites r´eelles et complexes 21

3.1 Limite d"une suite r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

3.2 Propri´et´es de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

3.3 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

3.4 Comparaison de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

3.5 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

4 Fonctions d"une variable r´eelle 39

4.1 Limite et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

4.2 Propri´et´es de la limite d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

4.3 Propri´et´es des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

4.4 Fonctions d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

4.5 Propri´et´es des fonctions d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

4.6 Application aux suites r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

5 D´eveloppements limit´es 55

5.1 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

5.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

5.3 Calcul de d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

4TABLE DES MATI`ERES6 Fonctions classiques 63

6.1 Fonctions bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

6.2 Logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

6.3 D´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

6.4 Fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

7 Corrig´e des exercices 69

Remerciements.

Merci `a Thierry Mignon, Vladimir Verchinin, Julien Munier, Denis Trotabas et Daniel Maerten pour les exercices de TD. Merci `a Michele Bolognesi pour la r´edaction de quelques corrig´es d"exercices. Merci `a Ivan Babenko pour la preuve de l"irrationnalit´e du nombre d"Euler.

Chapitre 1

Les nombres r´eels et complexes

1.1 Nombres rationnels

On d´esigne parNl"ensemble des entiers naturels

N={0,1,2,3,...}.

Comme chaque entier naturelnadmet un successeurn+ 1, on se convainc sans peine queNest un ensemble infini. On noteN?l"ensembleN\{0}, c"est-`a-dire l"ensemble des entiers naturels non nuls. ´Etant donn´e deux entiers naturelsxetyon sait d´efinir les nombres x+y,x-y,x·yetxy ,siy?= 0.

On remarque que l"addition et la multiplication sont des op´erations qui ont leur r´esultat dansN.

Par contre le r´esultat d"une soustraction ou d"une division n"est pas toujours un entier naturel.

On cr´ee ainsi de nouveaux nombres

Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...},

l"ensemble des entiers relatifs - on noteraZ?=Z\ {0}- et Q=?ab |a?Zetb?Z?? l"ensemble des nombres rationnels dans lequel on identifie la fraction ab aveca·nb·npour touta?Z etb,n?Z?.

On a bien entendu les inclusions suivantes

N?Z?Q

et les quatre op´erations ´el´ementaires +,-,·et/peuvent s"´etendre `a l"ensembleQdes nombres

rationnels. Les Grecs classiques ont cru longtemps que toutes les quantit´es s"exprimaient par des nombres rationnels. Ils se sont aper¸cu que ce n"est pas toujours le cas. En effet on peut construire des nombres qui ne sont pas rationnels. Consid´erons par exemple un triangleABCrectangle enA5

6CHAPITRE 1. LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXESABC

b caSi on noteala longueur du segmentBC,bcelle deCAetccelle deAB, alors le th´eor`eme de

Pythagore dit qu"on a la relation

2=b2+c2.

Ainsi on obtient que la longueur de la diagonale d"un carr´e de cˆot´eb=c= 1 est ´egale `aa=⎷2.

Proposition 1.1.1Le nombre

⎷2n"est pas un nombre rationnel. D´emonstration.Nous allons faire une d´emonstration par l"absurde.1 Supposons que⎷2 est rationnel. Il existe alors deux entiers positifsa,btels que⎷2 =a/b. Si aetbsont pairs, on peut simplifier la fractiona/bpar 2. En simplifiant par 2 autant que possible, on arrive au cas o`u au moins un des deux entiersaoubestimpair.

En ´elevant au carr´e l"´egalit´e⎷2 =a/bet en chassant le d´enominateur, on arrive `a

2b2=a2.

Donca2est pair. Siaest impair, on peut ´ecrirea= 2a?+ 1, alorsa2= 4a?2+ 4a?+ 1 qui est impair. On en d´eduit donc queaestpair, donc on peut ´ecrirea= 2a?, ce qui donne 2b2= 4a?2et en simplifiant par 2, on obtient b

2= 2a?2.

C"est la mˆeme ´equation que ci-dessus aveca?`a la place debetb`a la place dea. Le mˆeme raisonnement montre alors quebest aussipair. On a donc une contradiction et⎷2 ne peut pas ˆetre rationnel.Voici d"autres exemples de nombres irrationnels.

1.Le nombreπ= 3,1415...d´efini comme la circonf´erence d"un cercle de diam`etre 1.2.Le nombre d"Eulere= 2,718..., la base de l"exponentielle, d´efini comme somme infinie2

e= 1 +11! +12! +13! +···+1k!+···3.Les racines carr´es ⎷nsinest un entier qui n"est pas un carr´e, c"est-`a-dire qui n"est pas de la formen=k2aveck?N.Proposition 1.1.2Le nombre d"Euleren"est pas un nombre rationnel.1 voir section 2.3.3

2Par d´efinitionn! = 1·2·3···n

1.2. NOMBRES R

´EELS7D´emonstration.Comme pour⎷2 nous allons faire une d´emonstration par l"absurde. Supposons

donc queeest rationnel. Il existe alors deux entiersa,b?N?tels que e=ab = 1 +11! +12! +13! +···+1n!+··· Multiplions parb!. Alors on obtient l"´egalit´e ab b!-? b! +b! +b!2! +b!3! +···+b!b!?

1b+ 1+1(b+ 1)(b+ 2)+1(b+ 1)(b+ 2)(b+ 3)+···+1(b+ 1)(b+ 2)···(b+n)+···

Il est clair que tous les termes de la somme `a gauche sont des nombres entiers, donc la somme, qu"on noteras, est aussi un entier. En utilisant la minoration (b+ 1)(b+ 2)···(b+n)>(b+ 1)n on obtient un l"encadrement suivant des

0< s <1b+ 1+1(b+ 1)2+1(b+ 1)3+···+1(b+ 1)n+···.

Cette derni`ere somme infinie vaut

1b+1·11-1b+1=1b

d"apr`es la formule donnant la somme d"une s´erie g´eom´etrique (voir (1.1)). Ainsi on obtient l"encadrement

0< s <1b

ce qui contreditsentier.La preuve de l"irrationalit´e deπet d´epasse largement le cadre de ce cours. Nous renvoyons par

exemple au livre "Autour du nombreπ" de Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon.

Par contre l"irrationalit´e de

⎷nse montre de la mˆeme fa¸con que celle de⎷2 (exercice).

1.2 Nombres r´eels

La proposition 1.1.1 dit que

⎷2 n"est pas rationnel, c"est-`a-dire ne peut pas s"´ecrire comme

quotient de deux entiers. Cependant nous savons que le nombre⎷2 peut s"´ecrire sous forme d"un

d´eveloppement d´ecimalinfini⎷2 = 1,41421356...

Dans ce cours nous prenons cette repr´esentation d´ecimale comme d´efinition d"un nombre r´eel.D´efinition 1.2.1 (nombre r´eel)Un nombre r´eel est une collection de chiffres{c0,...,cm}et

{d1,d2,...}compris entre0et9. Les chiffrescisont en nombre fini et les chiffresdjpeuvent ˆetre

en nombre infini. On fait correspondre `a cette collection le nombre donn´e par le d´eveloppement

d´ecimal x=cmcm-1...c1c0,d1d2d3...dn....

Exemples.

8CHAPITRE 1. LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXES1.Les d´ecimales du nombreπsont

0= 3, d1= 1, d2= 4, d3= 1,....2.S"il n"y a qu"un nombre fini de d´ecimalesdjnon nulles, alors le r´eelxest un rationnel et

x=cm10m+cm-110m-1+···+c110 +c0+d110-1+···+dn10-n

(xest rationnel, car c"est une somme de rationnels).3.Un nombre rationnel admet un d´eveloppement d´ecimal, donc est r´eel. On a

= 0,3333...(que des 3)Th´eor`eme 1.2.1Un nombre r´eel est rationnel si et seulement si son d´eveloppement d´ecimal est

p´eriodique `a partir d"un certain rang. Nous admettons ce r´esultat. On peut se convaincre que c"est vrai en effectuant une division de

deux entiers (3/7 par exemple) et en constatant qu"il n"y a qu"un nombre fini de possibilit´es pour

les restes, donc ¸c`a boucle.

Remarques.1.Cette d´efinition nous suffira pour ce cours mais elle n"est pas tr`es satisfaisante. D"abord un

nombre r´eel peut avoir deux d´eveloppements d´ecimaux distincts. Par exemple 1 = 0,9999... (toujours des 9). On peut pour s"en convaincre ´ecrire

0,9999···=910

1 +110

+···+110 n···? On voit qu"on a affaire `a un progression g´eom´etrique et on peut utiliser la formule donnant la somme d"une s´erie g´eom´etrique

11-a= 1 +a+a2+···+an+···(1.1)

vraie pour tout r´eelatel que|a|<1 (ici on prenda=110

.)2.Cette d´efinition fait r´ef´erence au nombre 10. On peut prendre une autre base de num´eration,

ce qui donnerait une d´efinition ´equivalente d"un nombre r´eel.3.Les op´erations addition, multiplication,... ne sont pas si faciles que l"on pourrait le penser

`a cause du probl`eme des retenues.4.Il existe des constructions plus intrins`eques de l"ensemble des r´eels. Ces constructions d´epassent

le cadre de ce cours.5.Il est impossible de d´efinir rigoureusement le nombreπpar son d´eveloppement d´ecimal. Il

faudrait un temps et un espace infini pour calculer TOUTES les d´ecimales deπ! Donner une

valeur approch´ee (utilis´ee dans le calcul num´erique) d"un nombre r´eel, aussi bonne qu"elle

soit, n"est pas une d´efinition au sens math´ematique. L"ensemble des r´eels sera not´eRet l"on a les inclusions

N?Z?Q?R.

On notera tr`es souventR?l"ensemble des r´eels non nuls. r´eels.

1.2. NOMBRES R

´EELS9D´efinition 1.2.2 (majorant, minorant, partie born´ee)

siAa un minorant.3.Si la partieAest major´ee et minor´ee, on dit queAestborn´ee.D´efinition 1.2.3 (intervalle, segment)

aussi que[a,b]est un segment.2.On note]a,b[l"ensemble des r´eelsxtels quea < x < b. C"est un intervalleouvert.

On d´efinit de mˆeme les intervalles mixtes ou semi-ouverts [a,b[ et ]a,b]. On introduit aussi le

Exemples.-1,23,πsont des majorants du segmentA= [0,1]. 1 est un majorant deA= [0,1[.-L"intervalle [a,+∞[ n"a pas de majorant.Th´eor`eme 1.2.2 (Propri´et´e d"Archim`ede)Soientxetydeux r´eels>0, alors il existe un

entierntel queny > x.

Nous ne d´emontrons pas cette propri´et´e. Elle dit qu"en faisant assez de pas de longueuryon

d´epassex. D"ailleurs avec notre d´efinition des r´eels la propri´et´e d"Archim`ede est ´evidente, ce qui

est loin d"ˆetre le cas quand on d´efinit un nombre r´eel de mani`ere intrins`eque.D´efinition 1.2.4 (borne sup´erieure, borne inf´erieure)SoitAune partie non vide deR(ou

le minimum de l"ensemble des majorants deAetborne inf´erieuredeAle maximum de l"ensemble des minorants deA.

Avant d"´enoncer le th´eor`eme d"existence de la borne sup´erieure dansR, montrons que la borne

sup´erieure n"existe pas toujours. On se place dansQmuni de l"ordre naturel.Proposition 1.2.1Consid´erons la partieA={x?Q|x2<2}. AlorsAn"a pas de borne

sup´erieure dansQ. D´emonstration.SoitMun majorant deAdansQ. Il y en a : 2,127 en sont. Posons M ?=M2+ 22M. Nous allons v´erifier queM?est un autre majorant (dansQ) et queM?< M, ce qui prouve qu"il n"y a pas de plus petit majorant. Montrons queM?est un majorant : il suffit de voir queM?2>2. On calcule M ?2-2 =(M2+ 2)24M2-2 =M4-4M2+ 44M2=(M2-2)24M2

10CHAPITRE 1. LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXESqui est bien strictement positif. En effetM2-2?= 0, car sinon⎷2 serait rationnel (voir proposition

1.1.1).

V´erifions queM?< M. On calcule

M-M?=M-M2+ 22M=M2-22M

qui est bien strictement positif puisqueMest un majorant rationnel deA. On peut aussi tracer le graphe de la fonction qui donneM?en fonction deM y=x2+ 22x C"est une hyperbole de centre l"origine, d"asymptotex= 0 ety=x/2 qui coupe la premi`ere

bissectrice au point (⎷2,⎷2) o`u on a une tangente horizontale. On voit alors imm´ediatement sur

le dessin que⎷2< M?< Msi on a prisM >⎷2.MM0p2Remarque. Le choix de la fonctionfqui d´efinitM?=f(M) n"est pas essentiel. Ici on a choisif(x) =x2+22x, mais n"importe quelle fonction rationnelle (=quotient de deux polynˆomes) satisfaisant aux trois conditions (1)f(⎷2) =

aurait pu servir dans la preuve pr´ec´edente. Ceci sera expliqu´e en d´etail un peu plus tard (section

4.6).Th´eor`eme 1.2.3SoitAune partie non vide deR.1.SiAest major´ee, alorsAadmet une borne sup´erieure, not´eesupA.2.SiAest minor´ee, alorsAadmet une borne inf´erieure, not´eeinfA.

Nous admettons ce th´eor`eme.

Exemples.-On a sup[0,1] = 1 et sup[0,1[ = 1.-On a sup{x?Q|x2<2}=⎷2 mais comme partie deQon vient de voir que cette partie

n"a pas de borne sup´erieure.

1.3. DENSIT

´E DES RATIONNELS ET IRRATIONNELS111.3 Densit´e des rationnels et irrationnels D´efinition 1.3.1 (densit´e)SoitAune partie deR. On dit queAestdensedansRsiArencontre tout intervalle ouvert]a,b[aveca < b.Th´eor`eme 1.3.1L"ensembleQest dense dansR. D´emonstration.Soita,bdeux r´eels tels quea < b. Il s"agit d"exhiber un rationnelp/qtel que a < p/q < b.

En appliquant la propri´et´e d"Archim`ede (th´eor`eme 1.2.2), on voit qu"il existe un entierqtel

que1b-a< q (on prendy= 1 etx= 1/(b-a)). On obtient qa+ 1< qb.(1) Soitple plus petit entier relatif tel quep > qa. On a alors D´emonstration.Soitiun nombre irrationnel, par exemple⎷2.

Soientaetbdeux r´eels tels quea < b. On applique le th´eor`eme pr´ec´edent `a ]a-i,b-i[ : il

existe un rationnelrtel quea-i < r < b-i. Alorsa < i+r < b. Le nombrex=i+rest irrationnel, sinoni=x-rserait rationnel contrairement `a l"hypoth`ese. Le th´eor`eme est donc d´emontr´e.Remarque. Il y a beaucoup plus de nombres r´eels que de nombres rationnels. On peut montrer que les ensemblesZetQpeuvent ˆetre mis en bijection avecN, c"est-`a-dire que l"on peut num´eroter avec les entiers naturels les ´el´ements deZetQ. On dit queZetQsont d´enombrables. Par contreR n"est pas d´enombrable (th´eor`eme de Cantor) et pourtantQest dense dansR.

1.4 Nombres complexes

Certains polynˆomes `a coefficients r´eels, par exempleP(x) =x2+1, n"ont pas de racines r´eelles.

Le polynˆomeP(x) =ax2+bx+caveca?= 0 a deux racines -b±⎷Δ 2a

si le discriminant Δ =b2-4acest≥0. Si Δ<0, il y a un probl`eme. Grˆace aux nombres complexes

on peut donner un sens math´ematique aux racines carr´ees de nombres n´egatifs.D´efinition 1.4.1 (nombre complexe)Un nombre complexe est un couple de nombres r´eels

(a,b).

12CHAPITRE 1. LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXESOn d´efinit l"addition et la multiplication des nombres complexes par les formules

(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) (a,b)·(c,d) = (ac-bd,ad+bc) On noteile nombre complexe (0,1). La formule du produit donnei2= (0,1)·(0,1) = (-1,0).

En identifiant le r´eelaavec le nombre complexe (a,0), l"´egalit´e pr´ec´edente s"´ecrit

i 2=-1. Ainsiiapparait comme une racine carr´e de-1. C"est pourquoi on ´ecrit tr`es souventi=⎷-1.

On peut alors noter de mani`ere plus agr´eable (a,b) =a+ibet on v´erifie que la formule qui donne

le produit vient du d´eveloppement de (a+ib)(c+id) =ac+i(bc+ad) +i2bd=ac-bd+i(ad+bc). Siz=a+ib, avecaetbr´eels,aest appel´e la partie r´eelle dezetbsa partie imaginaire. Sizest un nombre complexe non nul, c"est-`a-dire siaoubest non nul, alorsza un inverse multiplicatif : il existez?tel quezz?= 1.

On v´erifie aussi quez·z?=z?·zpour tout nombre complexezetz?.D´efinition 1.4.2 (conjugu´e, module, argument)Soitz=a+ibun nombre complexe avec

a,br´eels.1.Leconjugu´edezest le nombre complexez=a-ib.2.Lemoduledezest le nombre r´eel positif⎷a

2+b2=⎷zz. On note|z|le module dez.3.L"argumentdezest le nombre r´eelθ?[0,2π[tel que

z=|z|(cosθ+isinθ). On ´etablit sans peine les formules suivantes-|z·z?|=|z| · |z?|-|z|=|z|-1 z =z |z|2pourz?= 0

L"ensemble des nombres complexes sera not´eC.

Interpr´etation g´eom´etrique : plan complexeOn associe `az=a+ibaveca,br´eels le point du plan de coordonn´ees (a,b).

1.5. EXERCICES13b= sin

a= cosz=a+ib D´efinition 1.4.3 (exponentielle)L"exponentielle complexe est d´efinie par e z= 1 +z1! +z22! +···+znn!+···

Il faut ´evidemment donner un sens `a cette somme infinie. On a alorsTh´eor`eme 1.4.1 (Formule de Moivre)Pour toutθ?R, on a

e iθ= cosθ+isinθ.Th´eor`eme 1.4.2Pour toutz,z??Con a la formule e z+z?=ez·ez?. Cette formule jointe `a la formule de Moivre permet de retrouver beaucoup de formules de trigo- nom´etrie.

1.5 Exercices

Exercice 1.1.Trouver des entiers naturelsa,btels queab = 5,1736363636...- `a partir de la

troisi`eme d´ecimale le d´eveloppement d´ecimal est compos´e d"une suite infinie de nombres 36.

Exercice 1.2.Pour chacune des parties suivantes deRdire si elle est major´ee, minor´ee, born´ee.

14CHAPITRE 1. LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXESExercice 1.3.Pour tout nombre r´eelx?=-1/3, on pose

g(x) =2x+ 13x+ 1.1.Tracer le graphe de la fonctionx?→g(x).2.On poseg(N) ={g(0),g(1),g(2),...}Quel est le plus petit majorant deg(N)? de l"ensemble

g(Z)?3.Trouver le plus grand minorant de l"ensembleg(N).4.L"ensembleg(Z) est-il born´e? Exercice 1.4.Mettre les nombres complexes suivants sous la formea+ib, aveca,br´eels :

15 + 3i,3 + 2i3-2i,1(4 + 3i)(3-2i).

Exercice 1.5.Calculer sous la formea+ib, aveca,br´eels, les racines carr´ees des nombres complexes suivants

1 +i⎷3,5 + 12i,1 +i1-i.

Exercice 1.6.Calculer les racines quatri`emes dei. En d´eduire cos(π8 ) et sin(π8

Chapitre 2

Logique et langage des ensembles

Le but de ce chapitre est de pr´esenter les quantificateurs?et?qui apparaˆıtront dans ce cours

(limite d"une suite, continuit´e d"une fonction) et de rappeler les d´efinitions ´el´ementaires de la

th´eorie des ensembles.

2.1 Propositions et op´erateurs logiquesD´efinition 2.1.1Une relation (ou proposition) est une phrase affirmative qui est vraie ou fausse

(V ou F en abr´eg´e). Une relation porte sur des objets math´ematiques comme des nombres, des fonctions, des figures g´eom´etriques,etc. Voici quelques exemples de relations. On indique entre parenth`eses la valeur de v´erit´e (V = vrai et F= faux).

Exemples.-5 + 7 = 11.(F)-L"aire d"un triangle est ´egale `a la moiti´e du produit de la base par la hauteur (V).

-⎷2 est un nombre rationnel (F) (voir proposition 1.1.1)

SoientRetSdeux relations. On peut en former d"autres :-la conjonction, not´ee (RetS).-la disjonction, not´ee (RouS). (le ou n"est pas exclusif)-la n´egation, not´ee (nonR).D´efinition 2.1.2

-L"implication(R?S)est la relation (nonR) ouS.-L"´equivalence(R?S)est la relation(R?S)et(S?R). Ainsi la valeur de v´erit´e d"une relation comme par exempleR?SouR?Ssera fonction

des valeurs de v´erit´e deRetS. La situation est d´ecrite dans la table suivante.RSRetSRouSnon R(R?S)(R?S)VVVVFVV

VFFVFFF

FVFVVVF

FFFFVVV

16CHAPITRE 2. LOGIQUE ET LANGAGE DES ENSEMBLESProposition 2.1.1On a les ´equivalences suivantes :

1.non(nonR)?R2.non (RouS)?(nonRet (nonS)3.non(RetS)?(nonR) ou (nonS)4.Ret (SouT)?(RetS) ou (RetT)5.(P?Q)?(nonQ?nonP)

D´emonstration.Il suffit d"´ecrire la table des v´erit´es pour chacune des relations. Traitons le

dernier cas. La relation (P?Q) est par d´efinition la relation ((nonP) ouQ) qui ´equivaut `a (Q

ou (nonP)) qui par d´efinition est la relation (nonQ?nonP).Tr`es souvent une relation fait intervenir des param`etres ou variables et la valeur V ou F de la

relation peut d´ependre de ces param`etres. Soit par exempleR(x) la relation "x2-2≥0" o`ux est un param`etre r´eel. AlorsR(x) est vraie pourx??-∞,-⎷2 ?oux??⎷2,+∞?etR(x) est fausse pourx??-⎷2,⎷2 Il peut arriver queRfasse intervenir plusieurs variables (x,y,z,a1,a2,...).

2.2 Quantificateurs

Nous avons vu plusieurs proc´ed´es logiques pour former de nouvelles relations. Dans la pratique,

on a besoin d"un autre proc´ed´e qui exprime l"assertion qu"´etant donn´ees une relationRet une

variablexqui intervient dansRil existe au moins un objet math´ematiqueApour lequel la relation obtenue en rempla¸cantxparAest vraie, autrement ditAv´erifieR. On introduit pour cela le quantificateur existentiel, not´e par le symbole La relation (?x)R(x) se lit "il existexqui v´erifieR".

Exemples.

(?x)((x?R) et (x4+ 1 = 0)) (F) (?x)((x?C) et (x4+ 1 = 0)) (V) A partir du symbole?on introduit lequantificateur universelnot´e SiRest une relation etxune variable, on note (?x)R(x) la relation non((?x)(nonR(x))) La relation (?x)R(x) se lit "pour toutxon aR(x)". Ainsi la n´egation de (?x)R(x) est (?x) (non

R(x)), c"est-`a-dire on a l"´equivalence

non((?x)R(x))?(?x)(nonR(x)).

De mˆeme on a l"´equivalence

non((?x)R(x))?(?x)(nonR(x)).

2.3. TECHNIQUES DE D

´EMONSTRATION17Exemple.

La n´egation de "tous les hommes sont mortels" est "il existe un homme immortel". Il convient de prendre garde `a l"ordre des quantificateurs : en g´en´eral on ne peut pas les

´echanger.

Exemples.-?x,x?R,?y,y?R,x < yqui est vraie : ´etant donn´e un r´eelxon peut toujours trouver un

autre r´eelyqui est plus grand.-?y,y?R,?x,x?R,x < yqui est fausse : l"´el´ementyserait plus grand que tous les r´eels.

Il faut savoir qu"en math´ematiques il y a beaucoup d"abus de langage. Sans eux, on ne pourrait

rien faire, mais le d´ebutant risque d"ˆetre perdu. Ainsi on ´ecrit presque toujours?x?R,?y?R,x <

yau lieu de ?x(x?R?(?y(y?Retx < y))) On se ram`ene syst´ematiquement `a une ´ecriture plus correcte en rempla¸cant?x?E ...par ?x(x?E?...) et?x?E ...par?x(x?Eet...).

2.3 Techniques de d´emonstration

2.3.1 R´ecurrence

Cette technique repose sur le fait que toute partie non vide deNa un plus petit ´el´ement. Soit

R(n) une propri´et´e d´ependant d"un entiern. On suppose que1.la relationR(0) est vraie,2.la relationR(n)?R(n+ 1) est vraie.

On en d´eduit alors que

R(n) est vraie pour toutn.

En effet siA, l"ensemble des entiersnpour lesquels pour lesquelsR(n) est fausse, n"est pas vide, il a un plus petit ´el´ement qu"on notep. Mais alorsp-1 n"est pas dansAdoncR(p-1) est vraie et par suiteR(p-1 + 1) =R(p) est vraie (`a cause de l"hypoth`ese (2)).

Exemple.

SoitR(n) la relation "2n+ 1 est divisible par 3". Il s"agit de montrer queR(n) est vraie pour tout entiernimpair. Pourn= 1, on a 21+1 = 3. SupposonsR(n) vraie avecnimpair, c"est-`a-dire que l"on peut ´ecrire 2 n+ 1 = 3kaveck?N. Alors 2n= 3k-1. L"entier impair suivant estn+ 2.

On a 2

n+2= 4.2n= 4(3k-1) = 12k-4 = 3(4k-1)-1, d"o`u 2n+2+1 = 3(4k-1). C"estR(n+2).

La propri´et´e est donc d´emontr´ee.

Le lecteur pr´ecautionneux expliquera pourquoi dans cet exemple on consid`ereR(1) etR(n+2) au lieu deR(0) etR(n+ 1).

2.3.2 Contrapos´ee

C"est l"´equivalence d´ej`a vue :

(P?Q)?(nonQ?nonP)

18CHAPITRE 2. LOGIQUE ET LANGAGE DES ENSEMBLESExemple.

Un entier est premier s"il n"est divisible que par 1 et lui-mˆeme. On veut montrer que si 2 n+ 1 est premier alorsnest pair. Ici nonQest "nest impair", on vient de voir qu"alors 2n+ 1 est divisible par 3, donc n"est pas premier, c"est nonP, c"est-`a-direP?Qo`uPest la relation "2n+1 est premier" etQest la relation "nest pair".

2.3.3 D´emonstration par l"absurde

quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

[PDF] Cours d’analyse 1 Licence 1er semestre

Cours d"analyse 1

Licence 1er semestre

Guy Laffaille

Christian Pauly

Table des mati`eres

1 Les nombres r´eels et complexes 5

1.1 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.2 Nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.3 Densit´e des rationnels et irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.4 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

2 Logique et langage des ensembles 15

2.1 Propositions et op´erateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

2.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

2.3 Techniques de d´emonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.3.1 R´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.3.2 Contrapos´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.3.3 D´emonstration par l"absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.4 Langage des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

3 Suites r´eelles et complexes 21

3.1 Limite d"une suite r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

3.2 Propri´et´es de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

3.3 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

3.4 Comparaison de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

3.5 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

4 Fonctions d"une variable r´eelle 39

4.1 Limite et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

4.2 Propri´et´es de la limite d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

4.3 Propri´et´es des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

4.4 Fonctions d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

4.5 Propri´et´es des fonctions d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

4.6 Application aux suites r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

5 D´eveloppements limit´es 55

5.1 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

5.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

5.3 Calcul de d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

4TABLE DES MATI`ERES6 Fonctions classiques 63

6.1 Fonctions bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

6.2 Logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

6.3 D´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

6.4 Fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

7 Corrig´e des exercices 69

Remerciements.

Chapitre 1

Les nombres r´eels et complexes

1.1 Nombres rationnels

N={0,1,2,3,...}.

On cr´ee ainsi de nouveaux nombres

Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...},

On a bien entendu les inclusions suivantes

6CHAPITRE 1. LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXESABC

Pythagore dit qu"on a la relation

2=b2+c2.

Proposition 1.1.1Le nombre

2b2=a2.

2= 2a?2.

1.Le nombreπ= 3,1415...d´efini comme la circonf´erence d"un cercle de diam`etre 1.2.Le nombre d"Eulere= 2,718..., la base de l"exponentielle, d´efini comme somme infinie2

2Par d´efinitionn! = 1·2·3···n

1.2. NOMBRES R

1b+ 1+1(b+ 1)(b+ 2)+1(b+ 1)(b+ 2)(b+ 3)+···+1(b+ 1)(b+ 2)···(b+n)+···

0< s <1b+ 1+1(b+ 1)2+1(b+ 1)3+···+1(b+ 1)n+···.

Cette derni`ere somme infinie vaut

1b+1·11-1b+1=1b

0< s <1b

Par contre l"irrationalit´e de

1.2 Nombres r´eels

La proposition 1.1.1 dit que

Exemples.

8CHAPITRE 1. LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXES1.Les d´ecimales du nombreπsont

0= 3, d1= 1, d2= 4, d3= 1,....2.S"il n"y a qu"un nombre fini de d´ecimalesdjnon nulles, alors le r´eelxest un rationnel et

0,9999···=910

1 +110

11-a= 1 +a+a2+···+an+···(1.1)

N?Z?Q?R.

1.2. NOMBRES R