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Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 5 Méthode : Utiliser un intervalle 2 1) Une variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance 20 et d’écart-type 3 Donner un intervalle de centre 20 qui contient environ 95 des valeurs prises par X 2) Une usine fabrique des boulons en aluminium

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Title: Proba1SM Author: Yvan Created Date: 8/27/2016 8:57:37 PM

TIQUES THÉMA MA I ESSEC E 2012 Lycée Champ ollion Grenoble, p our

normale de paramètres (0,(α σ)2) puisqu'ici, Y ֒→N(0,σ2) On en déduit que Xα suit la loi log-normale de paramètres (0,(α σ)2) Ainsi, la ariable v aléatoire X2 suit loi log-normale de paramètres (0,4σ2), et à ce titre, elle admet une esp érance d'après la question (b), qui aut v: E(X2) = exp 4σ2 2 = e2σ2 La ariable v

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tiques Xavier Buff, ancien élève de l’École normale supérieure de la rue d’Ulm, maître de conférences à l’Institut de Mathématiques de Toulouse Josselin Garnier, ancien élève de l’École normale supérieure de la rue d’Ulm, professeur à l’uni-versité Denis Diderot (Paris)

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?x?R, FX(x) =? 0 ??x?0

1-e-λx

??x >0

X? D???? ???β?]0,1[, v?]0,+∞[?

FX(v) =β??1-e-λv=β??e-λv= 1-β??v=-1λln(1-β) =rβ(X).

Φ?=?:x?→1⎷2π.e-x2/2

?x?R, FX(x) =P(X?x) =P?X-mσ?x-mσ? = Φ?x-mσ?

P(X?v) =β??Φ?v-mσ?

=β??v-nσ= Φ-1(β)??v=m+σ.Φ-1(β). rβ(X+Y) =m+μ+?σ2+s2.Φ-1(β). rβ(X+Y)-rβ(X)-rβ(Y) = (?σ2+s2-σ-s).Φ-1(β) P(Y?v) =β??P(X+c?v) =β??P(X?v-c) =β??v-c=rβ(X) P(Z?v) =β??P(λX?v) =βλ>0??P(X?vλ) =β??vλ=rβ(X) ?x?R,[Y?x]?[X?x] =?P(Y?x)?P(X?x),??????x?R, FY(x)?FX(x)

E(Nx,n) =nFX(x)??V(Nx,n) =nFX(x)(1-FX(x)).

P? ?N x,nn-FX(x)???? n>0=P(|Nx,n-nFX(x)|?nε) =P(|Nx,n-E(Nx,n)|?nε) ?N x,nn-FX(x)???? ?FX(x)(1-FX(x))nε2

X(x)(1-FX(x))nε2= 0

?x?R,?ε >0,limn→+∞P? ?N x,nn-FX(x)???? = 0. Nx,n? ?k??1,n?,P(Xk,n?x) =P(Nx,n?k) =n? r=kP(Nx,n=r) =n? r=k? n r? (FX(x))r(1-FX(x))n-r. limn→+∞P(|Un-c|?ε) = 0. ?t > c,limn→+∞P(Un?t) = 0. P(c-ε < Un< c+ε)?P(Un?t)??P(|Un-c|< ε)?P(Un?t)?1 ?t < c,limn→+∞P(Un?t) = 1. ?-ε=?+c2=2c+?-c2=c+ε ? < c???? ?????ε=c-?2>0 ??????c-ε=c+?2=2?+c-?2=?+ε [Un?c-ε]?[Un?un] =?P(Un?c-ε)?P(Un?un)?1.

P(|Yn-θ?|?ε) =P(θ?-ε?Yn?θ?+ε) =FYn(θ?+ε)-FYn(θ?-ε) =P(Yn?θ?+ε)-P(Yn?θ?-ε).

[Yn?θ?+ε] = [X?nβ?,n?θ?+ε] = [Nθ?+ε,n??nβ?]n>0=?Nθ?+ε,nn??nβ?n? [Yn?θ?-ε] = [X?nβ?,n?θ?-ε] = [Nθ?-ε,n??nβ?]n>0=?Nθ?-ε,nn??nβ?n?

P(|Yn-θ?|?ε) =P??Nθ?+ε,nn??nβ?n??

-P??Nθ?-ε,nn??nβ?n?? ?α >0,P? ?N

θ?+εn-FX(θ?+ε)????

= 0 ?x?R,?x??x 0??β-1n0,limn→+∞P? ?N

θ?-ε,nn-FX(θ?-ε)????

= 0 un=?nβ?n

FX(θ?)> FX(θ?-ε)??limn→+∞un> c

limn→+∞P(Un?un) = 0??limn→+∞P??Nθ?-ε,nn??nβ?n?? = 0 rβ(X)? (R1)?X? D,?c?R, ρ(X+c) =ρ(X) +c??? (R2)?X? D,?λ?R+?, ρ(λX) =λρ(X)? (R3)?(X,Y)? D2???? ???????ω?Ω, X(ω)?Y(ω)??????ρ(X)?ρ(Y)?

ω?Ω, X(ω)?Y(ω)??????

D?????

ESβ(X) =11-β?

β(X)xf

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x?[rβ(X),+∞[?x?rβ(X) =?xfX(x)?rβ(X)fX(x)???????fX(x)?0 r

β(X)r

β(X)fX(x)dx=rβ(X)?

β(X)f

X(x)dx=rβ(X).P(X?rβ(X))

=rβ(X).(1-FX(rβ(X))) =rβ(X).(1-β) r

β(X)xf

X(x)dx??

β(X)r

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β(X)xf

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1-β?

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β(X)xf

X(x)dx

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β(X+c)xf

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β(X)+cxf

X(x-c)dx

1-β?

β(X)(u+c)fX(u)du

1-β?

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β(X)f

X(u)du

1-β×?1-FX(rβ(X))?=c1-β×(1-β) =c

?X? D,?c?R, ESβ(X+c) =ESβ(X) +c x?→1λfX?xλ?

ESβ(λX) =11-β?

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β(X)(λu)fX(u)×λdu

1-β?

β(X)uf

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ESβ(X) =11-β?

1 G

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1-βln(u)du=?uln(u)-u?1-β

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lima→1-(1-a)ln(1-a)-(1-a) = 0-0 = 0??? ?1 ln(1-t)dt= (1-β)ln(1-β)-(1-β) ESβ(X) =-(1-β)ln(1-β)-(1-β)λ(1-β)=-1λln(1-β) +1λ=rβ(X) +1λ 1 ESβ(X) =β→1rβ(X) +o(rβ(X))??ESβ(X)≂β→1rβ(X)

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ESβ(X) =11-β?

r β(X)x?(x)dx= limA→+∞11-β×1⎷2π? A r

β(X)xe-x2/2dx

1 ?(rβ(X))

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?A x?(t) t2dt u(t) =?(t)→u?(t) =??(t) =-t?(t) v ?(t) =1 t2→v(t) =-1t ?A x?(t) t2dt=?-?(t)t? A x-? A x ?(t)dt=-?(A)A+?(x)x-?Φ(A)-Φ(x)? x?(t) t2dt x >0,? x?(t)t2dt=?(x)x-1 + Φ(x)??1-Φ(x) =?(x)x-? x?(t)t2dt 0?? x?(t)t2dt t?[x;+∞[?1 t2?1x2 x?(t) t2dt?? x?(t)x2dt x2? x ?(t)dt=1x2?1-Φ(x)? x >0?0?? x?(t)t2dt?1x2?1-Φ(x)? x?(t)t2dt

1-Φ(x)?1x2

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X(ω)-rβ(X)

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[PDF] TIQUES THÉMA MA I ESSEC E 2013 vid Da Lycée Champ ollion

1-e-λx

X? D???? ???β?]0,1[, v?]0,+∞[?

Φ?=?:x?→1⎷2π.e-x2/2

P(X?v) =β??Φ?v-mσ?

E(Nx,n) =nFX(x)??V(Nx,n) =nFX(x)(1-FX(x)).

X(x)(1-FX(x))nε2= 0

P(|Yn-θ?|?ε) =P??Nθ?+ε,nn??nβ?n??

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