Cours d’Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables
Fonctions de plusieurs variables FIGURE 1 – Représentation de la fonction f : R2 7R définie par (x;y) 7z= sin(x2+3y2) 0:1+r2 + (x2 + 5y2) 2 exp(1 r 2) 2; avec r= p x + y2, et projection des courbes de niveau sur les plans z= 0 et z= 9 1
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES Introduction Propriétés et topologie de IRn Rappels sur E est une fonction d :ExEoIR ayant les propriétés d(x,y) ≥ 0 x,y E
Leçon 02 – Cours : Fonctions à plusieurs variables
Soit f(x 1, x 2, x 3, , x n) une fonction numérique à plusieurs variables définie sur un domaine D de IRn La dérivée partielle de f par rapport à x i au point X 0 = (x 01, x 02, x 03, , x 0n ), notée ∂f ∂xi (X 0) ou f’ xi (X 0) est la dérivée en x 0i de la fonction de la seule variable x i définie par
Fonctions de plusieurs variables
Fonctions de plusieurs variables 5 2- Limites et continuitØ Pour une fonction f d’une variable x, on a ØtØ amenØ pour Øtudier la continuitØ de f en un point x0 du domaine de dØnition Df, à considØrer les limites à gauche et à droite de x0, lim xx¯ 0 f (x), lim xx¡ 0 f (x)
Exercices : Fonctions de plusieurs variables : continuité
Fonctions de plusieurs variables : continuité Feuille d’exercices 1 On considère une fonction f : R dé˙nie sur une partie convexe de Rn On dit que f est convexe sur si : 8(x;y) 2 2; 8 2[0;1]; f x + (1 )y 6 f(x) + (1 )f(y): 1 Montrer que les fonctions x 7kxk2 et x 7 e kx 2 sont convexes sur Rn 2 Soit f : R2 R la fonction dé˙nie par
Optimisation des fonctions de deux variables
On a vu en L1 que si une fonction f présente un extremum local au point intérieur x de son ensemble de définition et si elle est dérivable en x, alors f 0(x) = 0 On dispose d’un résultat analogue pour les fonctions de plusieurs variables Théorème 2 Soit f une fonction définie sur un ensemble Dde R2 et X un point intérieur à D
CONVEXITÉ - Maths & tiques
La fonction f est concave sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes Fonction convexe Fonction concave Propriétés : - La fonction carré xx2 est convexe sur - La fonction cube ⎦xx3 est concave sur ⎤−∞,0⎤⎦ et convexe sur ⎡⎣0;+∞⎡
Méthode de Newton - EPFL
Rappel: Méthode de Newton — nvariables Convergence de la méthode de Newton — n variables Soit un ensemble convexe ouvert X ⊆ Rn, et une fonction F :X → Rn Supposons qu’il existe x∗ ∈ X, une boule B(x∗,r)centrée en x∗ de rayon r, et une constante ρ > 0tels que F(x∗)=0, B(x∗,r)⊂ X, J(x∗)est inversible, kJ(x∗)−1k
Processus stochastiques et traitement statistique de signaux
Minimisation de fonctions à plusieurs variables Soit la fonction objectif scalaire à p variables f(x) = f(x1, x2, • • • ,xp), si la fonction est analytique et convexe, nous devons calculer le gradient de f(x) pour trouver son minimum local 1 ( ) ( ) ( ) ( ) x p f x x f x f x x f x x
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