9 mai 2012 Nous allons apprendre ici à calculer les intégrales de domaines non bornés soit parce que l'intervalle d'intégration est infini
Si l'intégrale n'est pas convergente on dira qu'elle est divergente. Ce statut est appelé nature de l'intégrale. Par définition
Théor`eme 1 Une intégrale absolument convergente est convergente. 3. Intégrales Impropres des fonctions `a signe constant. Si f est négative sur I alors ?f
+?. 2. 1 t (ln t)2 dt converge alors notre intégrale initiale est aussi convergente. Mini-exercices.1. Étudier la convergence des intégrales suivantes : ?
1. Montrer que est une intégrale convergente. 2. A l'aide du changement de variable =
Dans ce cas on parle parfois de semi-convergence. • Pour construire un exemple d'intégrale semi-convergente
Lorsqu'on sait calculer explicitement une primitive une premi`ere mani`ere de vérifier qu'une intégrale impropre est convergente est donc d'examiner la limite
19.1 Intégrales impropres On appelle intégrale impropre toute intégrale du type ... Finalement par somme d'intégrales convergentes
19.1 Intégrales impropres. Définition 1. On appelle intégrale impropre toute intégrale du type Donc l'intégrale. Z 1. 0 ln(t)dt est convergente et.
Correction Exercices Chapitre 10 - Intégrales impropres. 10.1 Déterminer si les intégrales suivantes sont convergentes et le cas échéant
INTEGRALES GENERALISEES I Généralités Dans le chapitre précédent a été définie et étudiée la notion d'intégrale de Riemann pour des fonctions définies sur un intervalle fermé et borné [a b] dites intégrables au sens de Riemann On va maintenant s'intéresser aux fonctions f à valeurs réelles ou complexes
Alors les intégrales impropres R +1 a f (t) dt et R +1 a0 f (t) dt sont de même nature Si elles convergent alors Z +1 a f (t) dt = Za0 a f (t) dt + Z +1 a0 f (t) dt « Être de même nature » signi?e que les deux intégrales sont convergentes en même temps ou bien divergentes en même temps
Intégrales Généralisées Exercice 1 Montrer la convergence et calculer la valeur des intégrales : ????1=? 3 ? +? 0; ????2=? 1 ? 2+1 +? 1; ????3=? ln( ) ( 2+1)2 +? 0 Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? ????1=? ln( ) +? 2
Exercice 2 2 Déterminer la nature des intégrales suivantes On pourra comparer à des inté-grales de références (i) Z +1 1 1 cos x x2 dx (ii) Z 1 0 cos x p x dx (iii) Z 1 0 x2 x17=5 + 1 dx (iv) Z 1 0 x2 + 1 x dx (v) 1 0 ex x dx (vi) Z 1 1 ecos x x dx Corrigé de l’exercice 2 2 (i) Posons f(x) = 1 cos x x2 Cette fonction est
Si les intégrales - a f(x)dx et a + f(x)dx sont convergentes on dit que - + f(x)dx est convergente et dans ce cas : - + f(x)dx = - a f(x)dx + a + f(x)dx Remarques : _ il faut donc montrer la convergence séparément en + et en –
8 Montrer que les int´egrales suivantes sont semi-convergentes : a) Z? ? cosx ? x dx b) Z? ?1 cos(x2)dx (poser u = x2) c) Z? ? x2 sin(x4)dx 9 Soit f une fonction de R dans R continue et p´eriodique dont l’int´egrale Z? 0 f(x)dx est conver-gente Montrer que f est la fonction nulle (Raisonner par l’absurde : supposer
x1 1 1 = 1 1 , d’où la convergence de l’intégrale et ?+1 1 1 t dt= 1 1 . ?Si 0, ´etablir, en posant x = 2t, la relation Z? ? e?t?e?2t t dt = Z2? ?
La fonctiont! exp(t)(cos(t))nest continue sur [0;+1[ donc l’intégrale est impropre en +1. On a 8t2[0;+1[: 0?jexp(t)(cos(t))nj=jexp(t)jj(cos(t))jn?exp(t) Or l’intégrale ?+1 0