Définition Etant donné un syst`eme (e1··· em) de vecteurs d'un espace vectoriel E on note Vect(e1··· em) ou encore < e1··· em > l'ensemble des
Preuve Si tout vecteur de notre espace vectoriel est combinaison linéaire des vecteurs du petit syst`eme il l'est a fortiori des vecteurs du grand syst`eme :
Soit F un sous-espace vectoriel Si Vect(A) = F on dit que A est une partie génératrice (ou une famille génératrice) de F ou que A engendre F Notation
Un sous-ensemble W d'un espace vectoriel V est un sous-espace vecto- a) Caractériser le sous-espace R3 engendré par les vecteurs (0 1 0) et (1 ?1
(sev) de E est un sous ensemble de E qui est un K espace vectoriel pour les On défini le sous espace vectoriel (de E) engendré par (v1 vp) :
f(x?) ? F? car F? est un espace vectoriel ; d'o`u le résultat 2 Somme de sous-espaces - Somme directe 2 1 Sous-espace engendré par une famille
Application directe de la définition d'espace engendré Montrer que la famille (v1v2) o`u v1 = (12) et v2 = (?11) engendre R2 Exercice 2 3 Soit D la
(i) L'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant X est appelée le sous-espace vectoriel (de E) engendré par X et notée Vect(X) À ce titre
D´e?nition 4 3 1 Un sous-ensemble W d’un espace vectoriel V est un sous-espace vecto- riel de V si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites : (A1) Si ~u~v ?W alors ~u+~v ?W
( ) s’appelle le sous-espace vectoriel de engendré par Proposition : a) ( ) est un sous-espace vectoriel de b) C’est le plus petit sous-espace vectoriel de qui contienne c’est-à-dire que si est un sev de tel que alors ( ) Démonstration : A faire en exercice Exemples importants : -Soit un espace vectoriel
2 Sous-espaces vectoriels Dans toute la suite l’ensemble E désignera un espace vectoriel Définition Soit E un espace vectoriel et F un sous-ensemble de E (FE? ) F est un sous-espace vectoriel de E si F est lui-même un espace vectoriel pour les lois d’addition et de multiplication par un scalaire définies sur E Remarque
4 2 Sous-espaces vectoriels De?nition 4 3´ SoitV un K-espace vectoriel Une partieW deV s’appelle un sous-espace vectoriel [subspace] de V si W muni des deux lois de composition de V (restreintes a W)` fait deW un K-espace vectoriel Lemme 4 4 Soit V un K-espace vectoriel et W ?V W 6= 0/ Alors W est un sous-espace vectoriel deV si et
À quelle(s) condition(s) un vecteur =( 1 2 3 4) appartient-il au sous-espace engendré par les vecteurs 1 2 3 4 et 5? Définir ce sous-espace par une ou des équations Allez à : Correction exercice 7 Exercice 8 Soit un espace vectoriel sur ? et 1 2 3 et 4
Définition 2 4 : sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs Théorème 2 3 : caractérisation d’un sous-espace vectoriel engendré Définition 2 5 : base d’un K-espace vectoriel 3 Espaces vectoriels de dimension finie (Sup) Définition 3 1 : espace vectoriel de dimension finie Théorème 3 1 : de l’échange
Cet article court présente un sujet plus développé dans : sous-espace vectoriel engendré. En algèbre linéaire, une famille génératrice est une famille de vecteurs d'un espace vectoriel dont les combinaisons linéaires permettent de construire tous les autres vecteurs de l'espace.
L’intersection de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel De manière générale, l’union de deux sous-espaces vectoriels n’est pas un sous-espace vectoriel (voir vidéo ci-dessous) Par contre, la somme de deux sous-espaces vectoriels est un sous espace vectoriel.
Soit E un espace vectoriel de dimension finie (non nulle) égale à n. Si W est un sous-espace de E et que W et E ont même dimension, alors E=W Tous les supplémentaires d'un sous-espace vectoriel F de E ont la même dimension, qui est appelée codimension de F dans E.
Comme la dimension d'une somme directe de sous-espaces est égale à la somme des dimensions, on a . On a vu que, pour toute valeur propre, on a l'inégalité . Il en résulte l'inégalité . Or est un sous-espace vectoriel de E, donc sa dimension est inférieure ou égale à la dimension de E, soit n.